概率論分賭注問題

1、-. z.分賭注問題小論文報告問題來源：分賭注問題是統(tǒng)計學歷史上最著名的問題。1654年,職業(yè)賭徒德梅累向法國數(shù)學家帕斯卡B.Pascal,1623-1662提出一個使他苦惱很久的分賭本問題：甲、乙兩賭徒賭技一樣，各出賭注50法郎，每局中無平局。他們約定，誰先贏三局則得到全部100法郎的賭本。當甲贏了兩局，乙贏了一局時，因故要中止賭博。現(xiàn)問這100法郎如何分才算公平？目錄文獻綜述1相關知識2應用實例3總結感受4文獻列表5文獻綜述主要容：本文以通俗的語言介紹概率開展史上一個著名的問題分賭注問題，并討論它的簡單解法，給出簡單的實際應用。應用：甲、乙兩人進展乒乓球比賽，每局甲獲勝的概率為0.6 ，乙

2、獲勝的概率為 0.4 ，可采用5局3勝制或者7局4勝制進展比賽，問采取哪一種比賽制對甲有利？這一問題實際上是問采取哪一種賽制，甲獲勝的概率更大。因此，只需在5局3勝制或者7局4勝制中，分別計算甲獲勝的概率即可，且這兩個概率是分賭注問題的特殊情形。推出結論：如果每局甲獲勝的概率比輸?shù)母怕蚀?，則多比賽幾局對甲是有利的。主要容：分賭注問題是個很有名的問題，但一般的分賭注只研究兩個人分賭注，如果三個人分賭注該如何呢？本文在詳細討論了兩個人分賭注的前提下，推廣到了三個人分賭注的情況。方法：二項分布應用：甲乙二人扔硬幣比賽，約定出現(xiàn)正面得一分，誰先得三分就獲勝；如果出現(xiàn)雙方都得兩分的情況，則視為平局，此后

3、比賽繼續(xù)下去，誰能比對方多得兩分，誰就獲勝現(xiàn)比賽進展到甲得兩分，乙得一分時感覺成績不如甲，有退賽的想法，問如果繼續(xù)比賽下去，乙獲勝的概率還有多大？改良：在詳細討論了兩個人分賭注的前提下，推廣到了三個人分賭注的情況。主要容: 盡管由帕斯卡和惠更斯等人所啟動的概率論這門學科被稱作概率演算, 但早期概率學者研究的一個中心問題是期望而不是概率。早期概率論中對于數(shù)學期望的強調是由于這個概念承載了當時常用的/ 期望0術語的兩種不同的定性含義, 一是人們對于法律中公平公正的期望, 另一種是源于經(jīng)濟學中的公平獲利的思考。這兩重含義使得它成為將數(shù)學概率與社會科學連接起來的橋梁, 并將概率論與理性和道德科學的啟蒙

4、觀念聯(lián)系在一起, 于是對于期望思想的探討便成為 17、18 世紀啟蒙思想實踐的一局部。然而至 19 世紀, 隨著啟蒙運動的完畢, 這個議題失去了其主要的素材來源, 也失去了有效性的判斷標準, 隨之期望作為概率論研究的中心地位也就被其它方面的研究取而代之了。方法：歷史分析和文獻考證。 主要容：系統(tǒng)探討和分析惠更斯在論賭博中的計算中所給出的 14個概率命題, 以提醒其概率思想。結果：惠更斯首次提出數(shù)學期望的概念, 創(chuàng)立了 /惠更斯分析法 0, 第一次把概率論建立在公理、命題和問題上而構成一個較完整的理論體系, 第一次將以往概率論知識系統(tǒng)化、公式化及一般化。結論惠更斯的概率思想奠定了概率論的根底,

5、且對今日數(shù)學創(chuàng)造仍有重要啟發(fā)意義。方法：歷史分析和文獻考證。 主要容:惠更斯是概率論學科的奠基者之一。其論賭博中的計算是第一部概率論著作,該書首次提出數(shù)學期望的概念,創(chuàng)立了惠更斯分析法,第一次把概率論建立在公理、命題和問題上而構成一個較完整的理論體系。方法：歷史分析和文獻考證。主要容及改良：惠更斯在第一部概率論著作中提出5個概率問題，但均無求解過程。這5個問題即可看作實際問題，又可看作該書中的命題延伸，這些問題以時機問題為研究對象，把賭博問題的分析提升到一定的理論高度。這就為概率論的進一步開展奠定了堅實的根底。本文嘗試以惠更斯的方法來解決這些問題，再比照今日所用之法，從中得到假設干結論。方法：

6、文獻考察，歷史分析，理論驗證相關知識1.二項式定理2.二項分布概率公式P(*=k)=C(n,k)(pk)*(1-p)(n-k),n是試驗次數(shù),k是指定事件發(fā)生的次數(shù),p是指定事件在一次試驗中發(fā)生的概率。3.一人進展*種概率實驗，實驗可以獨立重復進展，每一次實驗獲勝的概率是p1，失敗的概率是p2=1-p1。則n1次獲勝在n2次失敗之前的概率是Pn1，n2= QUOTE 4.甲乙二人進展*種比賽，比賽重復獨立進展，每次比賽甲獲勝的概率是p1，乙獲勝的概率是p2=1-p1。則甲獲勝n1次在乙獲勝n2次之前的概率是Pn1,n2= QUOTE 5.一人進展*種概率實驗，實驗可以獨立重復進展，每一次試驗獲

7、勝的概率是p1，失敗的p2=1-p1。則n1次獲勝在n2次失敗之前的概率是Pn1,n2= QUOTE 6. 惠更斯的14個概率命題公理每個公平博弈的參與人愿意拿出經(jīng)過計算的公平賭注冒險而不愿拿出更多的數(shù)量。即賭徒愿意押的賭注不大于其獲得賭金的數(shù)學期望數(shù) 2 。命題 1 假設在賭博中獲得賭金 a和 b的概率相等, 則數(shù)學期望值為 (a + b) /2。命題 2 假設在賭博中獲得賭金 a, b和 c的概率相等, 則數(shù)學期望值為 ( a+ b + c) /3。命題 3 假設在賭博中分別以概率 p和 q(p 0, q 0, p + q = 1) 獲得賭金 a和 b, 則數(shù)學期望值為pa+ qb。命題

8、4 假設 2人一起賭博, 離全勝所差局數(shù)分別為 1, 2時, 其賭注應如何分命題 5 假設 2人一起賭博, 離全勝所差局數(shù)分別為 1, 3時, 其賭注應如何分命題 6 假設 2人一起賭博, 離全勝所差局數(shù)分別為 2, 3時, 其賭注應如何分命題 7 假設 2人一起賭博, 離全勝所差局數(shù)分別為 2, 4時, 其賭注應如何分命題 8 假設 3人一起賭博, 離全勝所差局數(shù)分別為 1, 1, 2時, 其賭注應如何分命題 9 假設假設干人一起賭博, 給出其離全勝所差局數(shù), 其賭注應如何分命題 10 一顆骰子連擲多少次有利于 /至少出現(xiàn)一個 6點0命題 11 兩顆骰子連擲多少次有利于 /至少出現(xiàn)一對 6點

9、0命題 12 一次擲多少顆骰子有利于/至少出現(xiàn)一對 6點 0命題 13 甲、乙 2人賭博, 將兩顆骰子擲一次, 假設其點子和為 7則甲贏, 為 10則乙勝, 為其他點則平分賭注。試求 2人分配賭注的比例。命題 14 A, B 2人輪流擲兩顆均勻的骰子, 假設 A 先擲出 7點, 則 A 勝; 假設 B先擲出 6點, 則 B勝。B 先擲, 求 A 獲勝的概率。應用實例惠更斯的5個概率問題問題1兩人玩擲雙骰子游戲。假設 A 擲出 6 點則贏,而 B 擲出7點勝。A 先擲一次后, B 擲二次, A 再擲二次,如此下去直至一方獲勝。A 與B 的勝負比是多少？問題2一袋中裝有 4 個白球 8個黑球,3

10、人蒙住眼睛輪流摸球。先得白球者獲勝,求三人獲勝的時機比?；莞乖谄?1665 年的筆記中給出問題答案為 964。問題3有 40 牌,每種花色10 。甲同乙打賭他能抽出花色不同的 4 牌,每人投的賭注應是多少問題4一袋中裝有 4 個白球 8個黑球,甲同乙打賭他能在摸出的7 個球中含有 3個白球。求二人獲勝的時機比。問題5二人玩擲三顆骰子游戲,甲乙各有 12個籌碼,假設擲出 11 點,甲給乙一個籌碼,而擲出 14 點,則乙給甲一個籌碼,直至兩人中有一人輸光。求甲乙獲勝的時機比。A，B二人賭博，各出注金元。每局各人獲勝概率都是，約定：誰先勝S局，即贏得全部注金元?，F(xiàn)進展到A勝局，B勝局，和都小于時賭

11、博因故停頓，問此時注金應如何分配給A和B，才算公平？解：注金應按之比分配給A和B，因和是A、B在當時狀態(tài)下的期望值。至多再賭局，即能分出勝負。為A獲勝，他在這局中至少須勝局。因此按二項分布，A取勝的概率為,而B取勝的概率為.設盒中有三個大小一樣顏色不同的球，分別是紅黃藍。現(xiàn)甲乙丙三人從中各自取一球，三方各出資50元，約定甲取得紅球得一分，乙取得黃球得一分，丙取得藍球得一分，三人規(guī)定誰先得到3分誰就獲勝，獲勝者得到全部的賭資150元?，F(xiàn)實驗進展到甲得2分，乙得2分，丙得1分時停頓，問甲乙丙應該如何分配150元資本？答案見右側圖片甲乙二人進展*種比賽，比賽重復獨立進展，每次比賽甲獲勝的概率是p1，

12、乙獲勝的概率是p2=1-p1。則甲獲勝n1次在乙獲勝n2次之前的概率是Pn1,n2= QUOTE 證明見右側總結感受遠自1654年職業(yè)賭徒德梅累向法國數(shù)學家帕斯卡提出的一個分賭本問題，無意間成為了開啟了概率論時代的敲門磚。意大利數(shù)學家卡爾丹寫出的游戲的機遇學說，討論了兩人賭博中斷，如何分賭本的問題。16世紀，意大利數(shù)學家帕喬利、塔塔利亞等人也討論過這種問題，直到今天，依然有人在探討分賭注問題。分賭注的魅力可見一斑。幾篇文獻分別以不同的側重探討了這一問題，在總結帕斯卡，惠更斯等人的理論成就的根底上，進展了更進一步的論述，有一些實際的應用，亦有一些拓展。在中，將一般的分賭注只研究兩個人分賭注，推廣

13、到了三個人分賭注該如何分。而則探討了分賭注的期望問題。分賭注問題源遠流長，曾有過各式各樣的求解方法。設你和我打賭，可以是任何賭法，各出50元賭本，先贏6局者拿走100元。但是賭到5：3你領先時被迫停頓，不能繼續(xù)?，F(xiàn)在的問題是：100元中你我各應該分到多少錢？分法1樸素法5：3，你62.5元，我37.5元：就按比分5：3分錢。分法2均勝局法7：1，你87.5元，我12.5元：應該按取得最終勝利的可能性來分。我需要連勝3局才贏，你只需要在我連勝3局之前勝1局就贏。假設勝1局的可能性都是1/2，則我贏的可能性是(1/2)31/8，你贏的可能性是7/8。分法3最大似然法485：27，你94.73元，我

14、5.27元：仍按最終贏的可能性來分，但勝1局的可能性不應該是1/2，而應該根據(jù)當前比分作最大似然估計，即你勝1局的可能性為5/8，我勝1局的可能性為3/8。我最后贏的可能性，即應該拿到的份額，應該是(3/8)3=27/512。分法4貝葉斯法10：1，你90.91元，我9.09元：該法考慮了你勝1局的概率p的期望分布，則你最后贏的期望概率為根據(jù)貝葉斯定律：其中為先驗概率分布，在此采用無信息先驗，可從公式中去掉，所以解出10：1最終通過計算機模擬賭博結果證實，10：1才是正確的分賭注方法。這個問題可以改為更一般的表述：屢次嘗試同一件事，先成m次則成功，先失n次則失敗。當嘗試到i成功+j失敗次時，如何估計最終成敗的概率？正確的方法是貝葉斯法。通過采用與分賭注問題一樣的解法可求出最終成敗的概率，最終為現(xiàn)實中的事情做出正確的抉擇提供考慮依據(jù)。分賭本問題在概率史上起的作用，在于通過這個在當時來說較復雜的問題的探索，對數(shù)學期望及其與概率的關系，有了啟示。有的解法，特別是巴斯噶的解法，使用或隱含了假設干直到現(xiàn)在還廣為使用的計算概率的工具，如組合法、遞推公式、條件概率和全概率公式等、