高三文科數(shù)學知識點集中梳理(3-5)

1、高三文科數(shù)學知識點集中梳理（三）第三部分：數(shù)列、立體幾何第八篇：數(shù)列：1數(shù)列的通項公式是指項與項數(shù)的關(guān)系式，求和公式是指前項和與項數(shù)的關(guān)系式；遞推公式是指前后若干項之間的關(guān)系式：如。2等差數(shù)列定義：（為常數(shù)），即（）。成等差數(shù)列是的等差中項（算術(shù)平均數(shù)）。3等差數(shù)列通項公式：，變式：+；結(jié)構(gòu)：（時是一次函數(shù)）。4等差數(shù)列性質(zhì)：（1）若則，若，則；（2）（項數(shù)乘以中間項，適合前奇數(shù)項之和）；（3）。5等差數(shù)列前n項和：= ；結(jié)構(gòu)：。（時是常數(shù)項為0的二次函數(shù)），如：已知：，則為等差數(shù)列，若，則從第二項起才是。須注意，解答題中要證明，下面等比數(shù)列類似。6等比數(shù)列定義：（為非零常數(shù)），即（）。成等比

2、數(shù)列是的等比中項。注意：1, 4的等比中項是；7等比數(shù)列通項公式：，變式：。結(jié)構(gòu)：8等比數(shù)列性質(zhì)：（1）若，則，若，則，（已知時可快速得到結(jié)果）。9等比數(shù)列前n項和：= ；結(jié)構(gòu)：。如：，則是公比為2的等比數(shù)列，則從第二項起才是等比數(shù)列。10若為等差（等比）數(shù)列，則成等差（等比，時）數(shù)列。11等比數(shù)列中，若，則所有項同號；若 則各項正負相間。因此等比數(shù)列的奇數(shù)項同號，偶數(shù)項同號。12證明數(shù)列的方法：（1）等差：常數(shù)（2）等比：非零常數(shù)（3）遞增：。13.數(shù)列的求和法：裂項相消法。錯位相減法、分組（拆項）求和法。裂項相消：，則；（適用于：分子是常數(shù)，分母是等差數(shù)列前后兩項之積）。錯位相減：用于求形

3、如的前n項和；其中等差，等比；分組（拆項）求和：用于求形如的前n項和；其中、是等差或等比數(shù)列。14對于任意數(shù)列，=。15數(shù)列通項公式的求法：（1）已知或：（2）累加法：已知 時（形如：）；（3）累乘法：已知時。第九篇：立體幾何：1理解多面體（棱柱、棱錐、棱臺），旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺、球）的定義及它們的結(jié)構(gòu)特征。2（1）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；（2）正棱柱：底面為正n邊形的 直 棱柱；（3）平行六面體：底面為平行四邊形的四棱柱。3用斜二測畫法作平面圖形的直觀圖時，已知圖形中平行于軸、軸的線段在直觀圖中分別畫成與軸、軸平行的線段；已知圖形中平行于軸的線段在直觀圖中長度保持不變，平行于軸的

4、線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?；其他邊的長度變化沒有固定的規(guī)律。平面圖形的直觀圖與原圖的面積之比為。注意：原來90變?yōu)?5，并不代表80變?yōu)?0。4畫幾何體的三視圖時，俯視圖畫在正視圖正下方，側(cè)視圖畫在正視圖正右方，而且要滿足正俯等長，正側(cè)等高，側(cè)俯等寬。5正三角形的邊長為，則面積為，正六邊形的邊長為，則面積為。6各種幾何體的表面積和體積：幾何體側(cè)面積表面積體積圓柱圓錐圓臺（不要求記憶）+棱柱底面周長高2+棱錐各側(cè)面面積之和底面積+側(cè)面積棱臺（不要求記憶）各側(cè)面面積之和底面積+側(cè)面積球無計算三棱錐的體積時，注意選擇底面與高的多樣性，利用等體積法可求點到面的距離。7對于半徑為的球和，表面積之比；體積之

5、比。8.（1）公理1：一直線上有兩個點在一平面上該直線在此平面上，用符號表示是（2）公理2： 不共線的三點 確定一個平面：3個推論：一直線及 直線外 一點；兩相交直線；兩 平行 直線；都可以確定一個平面。（3）公理3：兩不重合的平面有一公共點它們有一過該點的公共直線；用符號表示是（4）公里4：平行于 同一 直線的兩直線平行；用符號表示：。9.11直線與平面的位置關(guān)系10.空間等角定理：空間中兩個角的兩邊分別對應平行此兩個角相等或互補。13證明線線平行的方法：（1）初中平面幾何的定理：如中位線，平行四邊形，對應變成比例（跳過相似得平行）、平行公理等。（2）線面平行的性質(zhì)定理：直線與平面平行，則過

6、直線的任一平面與平面的交線與直線平行。符號語言：。（3）面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時與平面相交（交線分別為），那么它們的交線平行。符號語言：。（4）垂直于同一平面的兩直線平行。14證明直線與平面平行的主要方法（定義法：證明兩者沒有公共點，此法一般不用）：（1）線面平行的判定定理：如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么直線和平面平行符號語言：。（2）面面平行的性質(zhì)定理：平面與平行，則內(nèi)的任意一條直線與平面平行。符號語言：。15證明面面平行的方法：（定義法：證明兩平面沒有公共點，此法一般不用）（1）面面平行的判定定理：如果平面內(nèi)有兩條相交直線（交于點O）分別平行于平面，那么平

7、行符號語言：。16.垂直關(guān)系的定義：（1）線面垂直的定義：一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線。（2）直二面角的定義：平面角是直角的二面角。（3）面面垂直的定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角 ，則稱這兩個平面互相垂直。17.證明線線垂直的方法：（1）初中平面幾何相關(guān)定理：計算角度、勾股定理逆定理、等腰三線合一、矩形、菱形、正方形性質(zhì)、直徑所對的圓周角為直角，一邊上的中線等于這邊的一半等。（還有）（2）線面垂直的性質(zhì)定理：直線垂直于平面，則它垂直于內(nèi)任一直線。（3）若兩個平面垂直，則這兩平面內(nèi)分別垂直于交線的兩條直線垂直（少用）。18.證明線面垂直的方法：（定義法：證明直線與平面內(nèi)

8、任意一條直線垂直，很少用）（1）線面垂直的判定定理：如果直線和平面內(nèi)的兩條相交直線（交于點O）垂直，那么垂直于平面。符號語言：。（2）面面垂直的性質(zhì)定理：平面互相垂直，那么在內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于平面符號語言：。（3）兩平行直線中有一條垂直于平面，另一條也垂直于平面：。19.證明面面垂直的方法：（面面垂直的定義：證明二面角的平面角是直角，較少用）。（1）面面垂直的判定定理：如果平面過另一個平面的一條垂線，兩個平面垂直。符號語言：。20. 異面直線所成角：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線，我們把與所成的銳角或直角，叫做異面直線所成的角（或夾角）。兩直線垂直分為相交垂直與異面垂直。求

9、異面直線所成角的大小的主要方法是：幾何（平移法）（借助余弦定理）； 21直線l和平面所成的角：斜線l和它在平面上的射影所成的 銳 角，當l時，=90；當l或l時，規(guī)定=0；故直線和平面所成的角0，90。求線面所成角的方法：（1）幾何法，格式如下：直線PO平面，OA是PA在內(nèi)的射影，PAO是PA與平面所成的角。往往須先證線面垂直。22二面角：從一公共直線（棱）出發(fā)的兩個平面所組成的圖形：在二面角的棱上任取一點O，以O為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA和OB，則AOB稱為二面角的平面角，范圍是。計算二面角的平面角的方法：（1）幾何法：步驟：一作二證三計算（前面兩種角也一樣）。格式：，是二

10、面角的平面角。23.計算空間中點到平面的距離的方法：（1）幾何法：可轉(zhuǎn)化為求棱錐的高，用等體積法；（2）直接法：直接找到垂線段，它的長度即為距離，但此法往往要先證線面垂直。高三文科數(shù)學知識點集中梳理（四）第四部分：解析幾何第十篇：解析幾何：1傾斜角：直線的向上方向與x軸正方向之間的夾角， ，已知兩點坐標，斜率k=tan=（當x= x時，k不存在，lx軸，=90，方程為x= x）tan在，均為 增 函數(shù)，在銳角或鈍角范圍內(nèi)都是斜率隨著傾斜角的增大而 增大 。2直線方程：（1）點斜式：， （2）斜截式：；（3）截距式：，（4）一般式：（不同時為0）。（5）兩點式：略最重要是點斜式，如直線，雖然是動

11、直線，但是它恒過。在設點斜式方程之前先要明確該直線是否有斜率，不確定則需分類討論。3兩直線位置關(guān)系的判別：條件與與相交平行,，重合,，垂直4（1）兩點間的距離：=；中點坐標。（2）到直線的距離d=； （3）兩平行線Ax+By+ C=0與Ax+By+ C=0間的距離d=。（若A、B不同則先化為相同）（4）與直線Ax+By+=0平行的直線的方程可設為；垂直呢？ 。5直線系方程表示過直線與直線的交點的直線束。6圓心為，半徑為的圓的標準方程為：；7點與圓的位置關(guān)系：點與圓的位置關(guān)系：當時，點在圓外；當2時，點在圓上； 當時，點在圓內(nèi)。8二元二次方程：表示圓的充要條件是； 圓心坐標為；半徑為。圓恒過原點

12、。9若圓與x軸相切，則，與y軸相切呢？。10求圓的方程的方法有幾何法和待定系數(shù)法（可設標準方程或一般方程）。11直線與圓的位置關(guān)系：（1）幾何法：設圓心到直線的距離為，圓的半徑為，則 相離；相切；相交。（2）代數(shù)法：由直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，消去得一元二次方程，若判別式為，則 相離 0 。（3）數(shù)形結(jié)合法：作出直線與圓，由圖觀察：如直線與圓的位置關(guān)系。12若某直線與半徑為的圓相交，圓心到直線的距離為，則直線與圓相交所得弦長。13P是圓C（半徑為r）外一點，CP=，則切線長PQ=。14圓與圓的位置關(guān)系：設兩圓的圓心為、，半徑分別為、，則內(nèi)含內(nèi)切相交外切外離條件公切線條數(shù)0123415求兩圓（

13、相交）的公共弦所在的直線方程，只需將兩圓的方程 相減 。16求過圓外一點A作圓C的兩條切線，兩切點所在直線方程：先求出以 AC 為直徑的圓的方程，然后將兩圓的方程相減即可。17三種圓錐曲線的定義：（以下都是以平面內(nèi)作為前提）圓錐曲線定義備注（1）橢圓（）稱為焦距，為焦點（2）雙曲線稱為焦距，為焦點（3）拋物線（F不在定直線上）為焦點，表示P到準線的距離注意：（1）中若動點滿足=，點的軌跡是線段AB；則無軌跡。（2）中 = 1 * GB3 “絕對值”去掉，即與兩個定點的距離之差為非零常數(shù)（小于兩定點的距離）的點的軌跡是雙曲線的一支 ； = 2 * GB3 當時表示以為端點的兩條射線；當時，沒有軌

14、跡；當時，表示AB的垂直平分線。等軸雙曲線：實軸長與虛軸長相等的雙曲線。（3）拋物線的焦點到準線的距離稱為焦準距。若F，則該動點的軌跡是過F且垂直于的直線。18橢圓：長軸長：，短軸長：，焦距：， 雙曲線：實軸長：，虛軸長：，焦距：。標準方程 圖形范圍對稱性 對稱軸：坐標軸 對稱中心：原點焦點頂點 ， ， 離心率e=(),其中c=e=(),其中c=漸近線無19判斷焦點位置的方法：（1）橢圓：大分母對應的軸；（2）雙曲線：正系數(shù)對應的軸。（3）拋物線：一次項對應的軸：如：，焦點在軸上，化為，焦點為。20（1）橢圓的方程形式： ，時，焦點在上。（2）雙曲線的方程形式： ，時，焦點在上。21離心率為定

15、值為定值中某兩個的比值為定值（橢圓與雙曲線有同樣的結(jié)論）。22 與共漸近線的雙曲線方程=（不為0）；為負值時焦點所在的軸不同。23雙曲線的一個焦點到漸近線的距離等于（此結(jié)論小題可用）。24是橢圓的焦點，點P在橢圓上，則PF1F2的面積為，若改為雙曲線則面積為。（這兩個結(jié)論小題可用，大題時可用余弦定理解決）。25.拋物線的幾何性質(zhì)（p的幾何意義是 焦準距 ，焦點的橫（縱）坐標是一次項系數(shù)的。）圖形焦點準線對稱軸軸軸軸軸26.直線過拋物線的焦點F，交拋物線于兩點，則焦半徑|=，焦點弦長|AB|=，垂直于對稱軸的弦（通徑）長=，是最 短 的焦點弦。27求軌跡方程的主要方法有（1）直接法；（2）定義法

16、；（3）坐標轉(zhuǎn)移法；（4）參數(shù)法。28判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的方法：方程組、消元、判斷的符號（注意二次項系數(shù)含有參數(shù)時須分0與非0討論）從而知道直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。29對直線與圓錐曲線相交所得的弦長問題及中點弦問題要正確運用“設而不求”。（1）斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點，則。（2）當斜率不存在時，可求出交點坐標，易求得弦長。30.求圓錐曲線的方程的方法：（1）定義法：已知焦點及曲線上一點；（2）待定系數(shù)法。高三文科數(shù)學知識點集中梳理（五）第五部分：統(tǒng)計概率、算法、復數(shù)、選做部分第十一篇：統(tǒng)計與概率：1抽樣方法有：（1）簡單隨機抽樣：從含N個個體的總體中，逐個隨機地抽取n個個體，

17、且每次抽取時，總體內(nèi)每個個體被抽到的機會相等的抽樣方法。分為：1）抽簽（抓鬮）法：2）隨機數(shù)法。（2）系統(tǒng)（等距）抽樣：總體中的個體個數(shù)N較大時，先將總體均衡分成n組（n為樣本容量），每組有個個體（若Z時，用簡單隨機抽樣剔除幾個，得個體，使Z）再按預先制定的規(guī)則，從每一部分等距離抽取1個個體的的抽樣方法。注：每個個體被抽到的概率相等，都是。得的號碼為a，a+k，a+2k，a+（n1）k成等差數(shù)列。 （因此可用通項公式來解決問題）（3）分層抽樣：將總體按其屬性特征分成若干類型（層），然后在每個類型中按比例抽取一定的樣本。2頻率分布直方圖的縱坐標表示頻率/組距，每一組的頻率等于該組對應的矩形的面積

18、，因此所有矩形的面積之和等于 1 。頻率=頻數(shù)數(shù)據(jù)總數(shù)=縱坐標組距。3在樣本的頻率分布直方圖中，估計平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的方法：（1）平均數(shù)：頻率分布直方圖中各小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的 橫 坐標之和。（2）中位數(shù)：作一條垂直于橫軸的直線將所有矩形的面積 平分 ，則就是中位數(shù)。（3）眾數(shù)：最 高 矩形的“上底”的 中 點的橫坐標。4莖葉圖：莖是中間的按從小到大排列的一列數(shù)，表示除“個位”外的其他數(shù)。葉是從莖旁邊生長出來的且一般按從小到大順序排列“個位”數(shù)。5方差=，反映數(shù)據(jù)的離散程度，越 小 越穩(wěn)定、整齊。標準差：方差的算術(shù)平方根，S=0；當且僅當x= x= x時取等號。6若一組數(shù)據(jù)的平

19、均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)為，方差為，即方差的大小與無關(guān)，是原來方差的倍。注意：任一組數(shù)據(jù)的方差、標準差都是非負數(shù)。7函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的區(qū)別在于關(guān)系是否明確，明確關(guān)系（如：有明確的解析式）為函數(shù)關(guān)系。在坐標系中，從左下角往右上角分布的叫正相關(guān)，從左上角往右下角分布的為負相關(guān)；線性相關(guān)：樣本點分布在某直線附近，其回歸直線恒過樣本點中心。求回歸直線方程得方法叫最小二乘法?；貧w直線方程為：x ，=8相關(guān)系數(shù)r1，1：反映兩變量間線性相關(guān)程度；當r 0時稱正相關(guān)。越接近1，線性相關(guān)性越強。r的符號與回歸直線方程=x+中的的符號同。相關(guān)指數(shù)R0，1：表示解析變量x對預報變量y的貢獻率；值越接近1，線性

20、相關(guān)性越強。9越大，則兩變量有關(guān)的把握越 大 ，無關(guān)的概率越 小 。10事件A的概率P（A）：當試驗次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率=逐漸穩(wěn)定在0，1中的某個常數(shù)附近。必然事件的概率為 1 ，概率為1的事件不一定是必然事件（填是否一定）。11（1）包含關(guān)系：事件AB：若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生。（2）相等關(guān)系：事件A=B：A_B_且B_A_。（3）和事件：事件A（或+）B：當且僅當事件A或B發(fā)生才發(fā)生的事件。（4）交事件：事件AB（或AB）：當且僅當事件A且B發(fā)生才發(fā)生的事件。（5）事件A與B互斥：AB=，即事件A、B在任一次試驗中不可能同時發(fā)生。A與B互斥時：P（AB）= P（A）+ P（

21、B）1（6）事件A與B對立：AB=且AB=I（必然事件）；A、B在任一次試驗中有且僅有_1_個發(fā)生。A的對立事件記為，P（）=。對立是互斥的特殊情況，對立一定互斥，互斥不一定對立。12古典概型：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，且每個出現(xiàn)的機會相等的概率模型。P（A）=。13幾何概型：基本事件總數(shù)無限個，每個事件發(fā)生的概率，只與構(gòu)成事件區(qū)域的長度、面積或體積成比例的概率模型，P（A）=14求幾何概型的概率（先明確有多少個變量）的基本步驟：（1）設題中的變量；（2）確定所有基本事件所對應的區(qū)域；（3）確定符合條件的區(qū)域：通常是列出不等式，作出其的區(qū)域；（4）套公式計算。15（1）一次性抽取

22、，不分先后：選2共有種方法；選3共有種方法；（2）逐一抽取不放回：選2共有種方法，（3）逐一抽取且放回：選2共有種方法。（4）第1小組有m個元素，第2小組有n個元素，從兩個小組中各取一個元素，共有mn種方法。第十二篇：算法、復數(shù)、極坐標與參數(shù)方程：1程序框圖中的三種結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)，條件結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)，其中順序結(jié)構(gòu)任何程序框圖中都有，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。條件結(jié)構(gòu)體現(xiàn)數(shù)學思想中的分類討論思想。2循環(huán)結(jié)構(gòu)分為直到型和當型，直到型遇到“是”退出，當型遇到“否”退出。3程序框圖或程序語句中，“=”叫賦值號，把右邊的值賦給左邊。4算法案例：（1）求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法是輾轉(zhuǎn)相除法或更相減損

23、術(shù)：如：6111與4171的最大公約數(shù)是 。（2）求多項式的值的方法是秦九韶算法，最高次為n次，則進行了n次加法，n次乘法運算。如：，計算時， 。（3）進制互化：十進制數(shù)化為k進制數(shù)的方法是短除法。如：十進制數(shù)87化為四進制數(shù)為 ，化為十進制數(shù)為 。5. 復數(shù)當時為虛數(shù)；當=0時，為實數(shù)；當=0，時為純虛數(shù)；為復數(shù)的實部，為復數(shù)的虛部（注意別把虛部寫成），叫的模。復數(shù)與叫互為共軛復數(shù)，。實數(shù)與虛數(shù)統(tǒng)稱為復數(shù)，用符號C表示。6坐標平面叫做復平面，軸就是實軸，軸就是虛軸，實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點（除了原點外）都表示純虛數(shù)。7虛數(shù)單位i滿足i=，是周期為4的函數(shù)，函數(shù)值可能為。8復數(shù)相等：當且僅當實、虛部分別相等時，兩復數(shù)相等。9復數(shù)的幾何意義：點Z（a，b）一一對應 復數(shù)z=a+bi 一一對應 向量。10（a+bi）（c+di）=（ac）+（bd）i；（a+bi）（c+di）=+i； （a+