高鴻業(yè),微觀經(jīng)濟(jì)學(xué),第七版,課后答案解析18生產(chǎn)函數(shù)

1、第四章生產(chǎn)函數(shù)第一部分教材配套習(xí)題本習(xí)題詳解一、簡答題.如何準(zhǔn)確區(qū)分生產(chǎn)的短期和長期這兩個(gè)基本概念 ？生產(chǎn)的短期：指生產(chǎn)者來不及調(diào)整全部生產(chǎn)要素的數(shù)量，至少有一種生產(chǎn)要素的數(shù)量是固定不變的時(shí)間周期。短期不可調(diào)整的生產(chǎn)要素稱不變生產(chǎn)要素，一般包括廠房、大型設(shè)備、高級(jí)管理者、長期貸款等，可調(diào)整的生產(chǎn)要素成為可變生產(chǎn)要素，一般包括原材料、燃料、輔助材料、普通勞動(dòng)者等。生產(chǎn)的長期：指生產(chǎn)者可以調(diào)整全部生產(chǎn)要素的數(shù)量的時(shí)間周期。生產(chǎn)的短期和長期是相對(duì)的時(shí)間概念，不是絕對(duì)的時(shí)間概念，其與企業(yè)所屬行業(yè)、所用技術(shù)設(shè)備和規(guī)模等因素有關(guān)。.下面是一張一種可變生產(chǎn)要素的短期生產(chǎn)函數(shù)的產(chǎn)量表(表4 1 ):(1 )在

2、表中填空。(2)該生產(chǎn)函數(shù)是否表現(xiàn)出邊際報(bào)酬遞減？如果是，是從第幾單位的可變 要素投入量開始的？表4 1可交要素的數(shù)可交要素的總產(chǎn)可義要素的平均可義要素的邊際量量)里)里1221 032 441 256 06677 08096 3解答：（1）在表4 1中填空得到表4 2表4 2可義要素的數(shù)量口艾要素的思產(chǎn)量口艾要素的平均產(chǎn)縣 里口艾要素的邊際產(chǎn)縣 里122021 261 032 481 244 81 22 456 01 21 266 61 1677 01 0487 08.75096 37一 7.區(qū)分邊際報(bào)酬遞增、不變和遞減的情況與規(guī)模報(bào)酬遞增、不變和遞減的情況。解答：邊際報(bào)酬變化是指在生產(chǎn)過程

3、中一種可變要素投入量每增加一個(gè)單位時(shí)所引起的總產(chǎn)量的變化量，即邊際產(chǎn)量的變化，而其他生產(chǎn)要素均為固定 生產(chǎn)要素，固定要素的投入數(shù)量是保持不變的。邊際報(bào)酬變化一般包括邊際報(bào) 酬遞增、不變和遞減三個(gè)階段。很顯 然，邊際報(bào)酬分析可視為短期生產(chǎn)分析。規(guī)模報(bào)酬分析方法是描述在生產(chǎn)過程中全部生產(chǎn)要素的投入數(shù)量均同比例變化時(shí)所引 起的產(chǎn)量變化特征，當(dāng)產(chǎn)量的變化比例分別大于、等于、小于全部生產(chǎn)要素投入量變化比 例時(shí)，則分別為規(guī)模報(bào)酬遞增、不變、遞減。很顯然， 規(guī)模報(bào)酬分析可視為長期生產(chǎn)的分析視角。區(qū)別：前提條件不同，邊際報(bào)酬變化生產(chǎn)要素分為不變和可變生產(chǎn)要素，生產(chǎn)要素比例發(fā)生變化；規(guī)模報(bào)酬分析研究生產(chǎn)要素同比

4、例變動(dòng)?？疾鞎r(shí)間長短不同。邊際報(bào)酬 變化分析的是短期生產(chǎn)規(guī)律；規(guī)模報(bào)酬研究長期生產(chǎn)規(guī)律。指導(dǎo)意義不同。邊際報(bào)酬變 化指出要按比例配置生產(chǎn)要素；規(guī)模報(bào)酬指出要保持企業(yè)的適度規(guī)模。由于前提條件不 同，兩規(guī)律獨(dú)立發(fā)揮作用，不存在互 為前提，互為影響關(guān)系。聯(lián)系：隨著投入要素增加，產(chǎn)量一般都經(jīng)歷遞增、不變和遞減三個(gè)階段。4.假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)Q =min 5L,2K。(1)作出Q = 50時(shí)的等產(chǎn)量曲線。(2)推導(dǎo)該生產(chǎn)函數(shù)的邊際技術(shù)替代率函數(shù)。(3)分析該生產(chǎn)函數(shù)的規(guī)模報(bào)酬情況。解答：(1)生產(chǎn)函數(shù)Q = min5 L,2K是固定投入比例生產(chǎn)函數(shù)，其等產(chǎn)量曲 線如圖所示為直角形狀，且在直角點(diǎn)兩要素的固定投入

5、比例為K:L=5: 2。I8K/ L 2*當(dāng)產(chǎn)量 Q=50時(shí)，有5L=2K=50,即L= 10 , K= 25。相應(yīng)的 Q=50的等產(chǎn)量曲線 如圖所示。(2)由于該生產(chǎn)函數(shù)為固定投入比例，即 L與K之間沒有替代關(guān)系，所以，邊際技術(shù)替 代率 MRTSlk=0。(3)因?yàn)?Q = f(L, K) = min 5L,2Kf( AL, AK) = min 5 AL,2入K=入min 5L,2K,所以該生產(chǎn)函數(shù)呈現(xiàn)出規(guī)模報(bào)酬不變的特征。.已知柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)為Q = AL火3。請(qǐng)討論該生產(chǎn)函數(shù)的規(guī)模報(bào)酬情況。解答：因?yàn)?Q=f(L, K) = ALaK3f( AL,入K)=A( AL)(H)B=入。

6、+叭1。所以當(dāng)a + 31時(shí)，該生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報(bào)酬遞增；當(dāng)a+3=1時(shí)，該生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報(bào)酬不變；當(dāng)a + 3 1時(shí)，該生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報(bào)酬遞減。定是不變的？.如果一個(gè)生產(chǎn)函數(shù)呈規(guī)模報(bào)酬不變，那么，該生產(chǎn)函數(shù)的邊際技術(shù)替代率是否一為什么？【答案】規(guī)模報(bào)酬和邊際技術(shù)替代率是兩個(gè)不同的概念。規(guī)模報(bào)酬這一概念是用 來分析當(dāng)全部生產(chǎn)要素同比例變化時(shí)導(dǎo)致的產(chǎn)量變化情況。如果產(chǎn)量變化的比例等于全部生產(chǎn)要素變化的比例，這種情況被稱為規(guī)模報(bào)酬不變，邊際技術(shù)替代率 是指在產(chǎn)量給定的條件下，增加一單位要素所能替代的另一種要的數(shù)量。 事實(shí)上， 在生產(chǎn)函數(shù)呈規(guī)模報(bào)酬不變的性質(zhì)時(shí)，其邊際技術(shù)替代率可以不變，也可以遞減。例

7、如線性生產(chǎn)函數(shù)Q=f (L, K) =aL+ K,具有規(guī)模援酬不變的性質(zhì)，它 的邊際技術(shù)替代率是不變的常數(shù)，對(duì)柯布道格拉斷生產(chǎn)數(shù) Q = ALaK來說，當(dāng)a + =1時(shí)，也具有規(guī)模報(bào)酬不變的性質(zhì)，但它的邊際技術(shù)替代率是遞減的。固 定投入比例生產(chǎn)函數(shù)Q (L. K) = min aL , bK ,也具有規(guī)模振酬不變的性 質(zhì)，但在其等產(chǎn)量曲線的水平部分有 MRTS=0 ,在等產(chǎn)量曲線的垂直部分， MRTS= 8。由此可見，規(guī)授酬不變與邊際技替代率是涉及生產(chǎn)技術(shù)的兩個(gè)不同概念，兩 者之間沒有直接的聯(lián)系。.如何區(qū)分固定投入比例的生產(chǎn)函數(shù)與具有規(guī)模報(bào)酬不變特征的生產(chǎn)函數(shù)？【答案】固定投入比例生產(chǎn)函數(shù)又稱

8、里昂惕夫生產(chǎn)函數(shù)，其反映了這樣一種生產(chǎn)技術(shù)，即在任何產(chǎn)量水平上，各種生產(chǎn)要素使用量之間的比例是固定不變的。 在 兩種生產(chǎn)要素的情況下，固定投入比例生產(chǎn)函數(shù)的一般形式 Q(L.K)= min aL , bK ,即有固定的生產(chǎn)要素投入比例區(qū)包，相應(yīng)的等產(chǎn)量曲線是一直角形式。L b產(chǎn)量變化的比規(guī)模報(bào)酬不變的概念表示當(dāng)全部要素使用量都按一定比例變化時(shí), 例等于全部要素使用量變化的比例。 對(duì)固定投入比例生產(chǎn)函數(shù)來說，當(dāng)所有的要 素使用量按相同比例變化時(shí)有 Q( L, K)=min a L, b K = min (L, K) = Q (L. K)所以，固定投入比例生產(chǎn)函數(shù)具有規(guī)模報(bào)酬不變的性質(zhì)。除了固定投

9、入比例生產(chǎn)函數(shù)之外，其他形式的生產(chǎn)函數(shù)也可以呈現(xiàn)規(guī)模報(bào)酬不變的特征例如，線性生產(chǎn)函數(shù) Q = f (L, K) =aL+ K、柯布一道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)Q = ALaK當(dāng)a + B = 1時(shí)等，都具有規(guī)模報(bào)酬不變的性質(zhì)?？傊潭ㄍ度氡壤a(chǎn)函數(shù)具有規(guī)模報(bào)不變的性質(zhì)，但規(guī)模報(bào)不變的生產(chǎn)函數(shù)可以是固定投入比例生產(chǎn)函數(shù)，也可以是其他形式的生產(chǎn)的函數(shù)。二、計(jì)算題1.已知生產(chǎn)函數(shù) Q=f(L, K)=2KL- 0.5L 2-0.5K 2 ,假定廠商目前處于短期生產(chǎn)，且 K =10 ,求：(1)寫出在短期生產(chǎn)中該廠商關(guān)于勞動(dòng)的總產(chǎn)量TPl函數(shù)、勞動(dòng)的平均產(chǎn)量 APl函數(shù)和勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量 MPl函數(shù)。(2)分

10、別計(jì)算當(dāng)總產(chǎn)量TPl、勞動(dòng)平均產(chǎn)量APl和勞動(dòng)邊際產(chǎn)量MPl各自達(dá)到極大 值時(shí)的廠商勞動(dòng)的投入量。(3)什么時(shí)候APl=MPl?它的值又是多少？解答：(1)把K=10代入生產(chǎn)函數(shù)得短期關(guān)于勞動(dòng)的總產(chǎn)量函數(shù)為：TPl f L,K 2 10L 0.5L2 0.5 102 20L 0.5L2 50勞動(dòng)的平均產(chǎn)量函數(shù)為：APl TPL 20L 0.5L-50 20 0.5L 加LLL勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量函數(shù)為：MPlTPl20L 0.5L 5020 L(2)當(dāng)MPl 0時(shí)，即20 L=0 L=20時(shí)，TPl達(dá)到極大值當(dāng)APl MPl時(shí)，即20 0.5L 20 L , L=10時(shí)，APl達(dá)到極大值MPl20-

11、L1,說明MPl始終處于遞減階段，所以 L=0時(shí)，MP最大。APl MPl L 10,把L 10代入AP和MP函數(shù)得： 50APl 20 0.5L f=20 5 5=10, MPl 20 L=20 10=10 ，即 L=10 時(shí)，apl達(dá)到極大值，apl mpl。.已知生產(chǎn)函數(shù)為 Q = min (2L,3K )。求：(1)當(dāng)Q=36時(shí)，L與K值分別是多少？(2)如果生產(chǎn)要素的價(jià)格分別為 Pl=2, Pk = 5 ,則生產(chǎn)480單位產(chǎn)量時(shí)的最小 成本是多少？解：(1)生產(chǎn)函數(shù)為Q =min( 2L,3K )表示該函數(shù)是一個(gè)固定投入比例的生產(chǎn)函數(shù)，所以，廠商進(jìn)行生產(chǎn)時(shí)，總有 Q=2L = 3KO

12、因?yàn)橐阎a(chǎn)量 Q = 36，則2L=3K=36 ，所以，L=18, K=12。(2)由 Q = 2L=3K=480 ,可得：L=240 , K=160。又因?yàn)?Pl=2, Pk=5,所以有：TC=PlL+ PkK= 2X240 +5X160= 1280。即生 產(chǎn)480單位產(chǎn)量最小成本為 1280。.假設(shè)某廠商的短期生產(chǎn)函數(shù)為Q = 35L +8L2-L3o求：(1)該企業(yè)的平均產(chǎn)量函數(shù)和邊際產(chǎn)量函數(shù)。(2)如果企業(yè)使用的生產(chǎn)要素的數(shù)量為L=6,是否處理短期生產(chǎn)的合理區(qū)間？為什么？解答：(1)平均產(chǎn)量函數(shù)：AP(L) = L=35+8L L2邊際產(chǎn)量函數(shù)：MP(L) =Q(L)=35 + 16L

13、3L2(2)首先需要確定生產(chǎn)要素L投入量的合理區(qū)間。在生產(chǎn)要素L投入量的合理區(qū)間的左端，有 AP = MP,于是，有35 + 8L- L1233 dMPK 同理，MPk - AL3K 3,-=35+16L 3L2。解得L=0和L = 4。L=0不合理，舍去，故取 L=4。在生產(chǎn)要素L投入量的合理區(qū)間的右端，有 MP=0,于是，有35 + 16L- 3L2=0。(5+3L)(7-L)=0 ,解得 L= 5/3 和 L= 7。L= -5/3 不合理，舍去，故 取 L=7。由此可得，生產(chǎn)要素L投入量的合理區(qū)間為4,7 0因此，企業(yè)對(duì)生產(chǎn)要素L 的使用量為6是處于短期生產(chǎn)的合理區(qū)間的。 TOC o 1

14、-5 h z 124.已知生產(chǎn)函數(shù)為 Q AL3KdK。判斷：(1)在長期生產(chǎn)中，該生產(chǎn)函數(shù)的規(guī)模報(bào)酬屬于哪一種類型?(2)在短期生產(chǎn)中，該生產(chǎn)函數(shù)是否受邊際報(bào)酬遞減規(guī)律的支配?12解：(1) Q f L,K ALK三1212f L, K A L 3 K 3AL3K3f L,K ，所以，在長期生產(chǎn)中，該生產(chǎn)函數(shù)屬于規(guī)模報(bào)酬不變。(2)假定資本的投入量不變，用 K表示，L投入量可變，121dMPLdL所以，生產(chǎn)函數(shù)Q AL3K3 ,這時(shí)，勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量為 MPl - AL 3 K 3 325 2-AL 3K3 0 ,說明：當(dāng)資本使用量即定時(shí)，隨著使用的勞動(dòng)量的增力口,9勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量遞減。2-1

15、-al3k 3 0,說明：當(dāng)勞動(dòng)使用量即定9時(shí)，隨著使用的資本量的增加，資本的邊際產(chǎn)量遞減。綜上，該生產(chǎn)函數(shù)受邊際報(bào)酬遞減規(guī)律的作用5.令生產(chǎn)函數(shù) f (L, K) =a0 + ai(LK)1/2 + a2K+a3L,其中 0ai1(1)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，該生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)出規(guī)模報(bào)酬不變的特征。i=0 , 1 , 2, 3。(2)證明：在規(guī)模報(bào)酬不變的情況下，相應(yīng)的邊際產(chǎn)量是遞減的解：(1)根據(jù)規(guī)模報(bào)酬不變的定義f( AL,入K)= f (L, K)于是f( /L, AK) = ao+a1(AL)(AK)1/2 +a2( AK)+a3(?L)= ao+ 入a1 (LK)1/2+ 入a2K+ 入a3

16、L=Aao+a1(LK)1/2+a2K+a3L+ (1入)ao=f (L, K) + ( 1 入)ao由上式可見：當(dāng)ao=0時(shí)，對(duì)于任何的 入有f(AL,入K)= f (L, 即當(dāng)ao = 0時(shí)，該生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)出規(guī)模報(bào)酬不變的特征。K)成立,(2)在規(guī)模報(bào)酬不變，即 a0 = 0時(shí)，生產(chǎn)函數(shù)可以寫成f (L, K) =a(LK)1/2+a2 K + a3L相應(yīng)地，勞動(dòng)與資本的邊際產(chǎn)量分別為：df(L,K) 1MP l(L, K) = dL a1 L-1/2 K1/2 + a3,MP k(L, K) = )= 2 a1L1/2 K-1/2 +a2,-dMPL(L,K)11 3/2 ix1/2 八

17、可求： dL =- a 1L3/2 K1/2 0dMPK(L,K)1:-一dL4a1L1/2K1-3/20證明:該廠商在短期生產(chǎn)的第一階段不存在利潤最大化點(diǎn)證明L2為區(qū)域I的右界點(diǎn)，設(shè)廠商的生產(chǎn)函數(shù)為Q=f(K , L),其中L為可變投入，K為不變投入。由題意，單位產(chǎn)品的價(jià)格 P和單位生產(chǎn)要素的價(jià)格Pl及Pk都不隨?量 Q的變化而變化。則利潤 tt=PQ-(LP l+KP k)(1)ddLP dQ dLPl因?yàn)?九 0,可得 PQ LPl+KP k由(3)式兩邊同時(shí)除以LP,得:Q AP L 皂 K PK (L APl,所以得：MPl”Q APl區(qū)工&旦”八)dL LP L P P 1即:dQ

18、 %(L Y L1)P四 PlPQ -P l0dL P 1dLdL一 d即一0 (L0mp ap,則ap遞增；邊際產(chǎn)量大于平均產(chǎn)量時(shí)，平均產(chǎn)量上升若mpap,則AP遞減；邊際產(chǎn)量小于平均產(chǎn)量時(shí)，平均產(chǎn)量下降若mp=ap,則ap最大。mp交ap的最高點(diǎn)。最后，總產(chǎn)量與平均產(chǎn)量的關(guān)系ap=tpL原點(diǎn)與tp上一點(diǎn)的連線的斜率值等于該點(diǎn)的 ap從原點(diǎn)出發(fā)，與tp相切的射線，切點(diǎn)對(duì)應(yīng)ap最大。圖4 1短期生產(chǎn)函數(shù)三條產(chǎn)量曲線的關(guān)系2.假定某廠商的生產(chǎn)技術(shù)給定，在該生產(chǎn)技術(shù)下可以采用四種生產(chǎn)方法來生產(chǎn)2000單位產(chǎn)量，如表4 2所示。* *生產(chǎn)力法勞動(dòng)使用量資本使用量方法A100600方法B160500方法C165700方法D90700(1)請(qǐng)?zhí)蕹? 2中無效率的生產(chǎn)方法。2) “生產(chǎn)方法B是最有效率的。因?yàn)樗褂玫馁Y源總量最少，只有660 單位?！蹦阏J(rèn)為這種說法正確嗎？為什么？(3)在(1)中剔除了無效率的生產(chǎn)方法后，你能在余下的生產(chǎn)方法中找出有效 率的生產(chǎn)方法嗎？請(qǐng)說明理由。解答：(1)方法C在技術(shù)上是無效率的，與方法 B相比，它使用本與勞動(dòng) 的數(shù)量都要較方法A多，而產(chǎn)量相同；同