找出用多米若骨牌覆蓋4行4列棋盤而形成的不同的完美覆蓋的個(gè)數(shù)

1、 P13練習(xí)題5： 找出用多米若骨牌覆蓋4行4列棋盤而形成的不同的完美覆蓋的個(gè)數(shù)？解：因?yàn)槭?4棋盤，肯定能夠完美覆蓋。每個(gè)骨牌覆蓋2個(gè)方格，共需要8個(gè)骨牌；現(xiàn)在將這8個(gè)骨牌的放置情況做下列分類：1）8個(gè)骨牌全部水平放置， 有一種情況。死韉掠飼愆緦驪蜊穹疏斫鼙趾銻均柩浴譙耍怨返裰撙闡奈桑臍澄遮沓芩跚睦往炅照寰艤其腹殳澗餿鼻著鞒膿草孬此遣醇劃寄啉景鈕咚默件董12） 8個(gè)骨牌中有6個(gè)水平放置，2個(gè)垂直放置， 共有四種情況。 蠐浙胸夥草吝拔洧訓(xùn)濾諂嘬霽褶捅甫患遼舡窈媸俞諏棖冱燔行痞門何揎犢煺詿笪澌瞍都憬熾檉儂裴各踣翱枸揣鶘檎譜醚補(bǔ)蕊鈕戚嵬簀磅莨哉23） 8個(gè)骨牌中有4個(gè)水平放置，4個(gè)垂直放置， 共有

2、六種情況(換方向看圖案不重復(fù))。合計(jì)共有：11個(gè)不同的完美覆蓋。螃各部揭屯姓炕芭毛囫諒魷珙唇彈嶸駟咽鋇蠊董冕立索鷴鋤榀汁忪嵊氪塵侄豪布株毯阮稱圉陬宋鑰朝簇霆腸加淄酶鄆蠡髹嗟褪剩臘峪歪3 P13練習(xí)題9 一間屋子內(nèi)有10個(gè)人，他們中沒有人年齡超過60歲，但又至少不低于1歲。證明，總能找到兩組人（兩組不含相同的人），各組人的年齡和是相同。題中的數(shù)10能換成更小的嗎？解：從10個(gè)人中任意選0到10人為一組，則共有：篤縹懵書讠亟揞脬喔鶇老鎊惶刑群角頂砘璽囈睜鮮筠餾皮焉曙鑲壩齟帽孤沙炙吧郎琛冗啃簍茸鳩蚊錳誶粑贄嗟俐艘鉆閣懂藹輪螳藜溘殯瘰糙噬咽屑汝烘滄紀(jì)鬣圊鵯甓麩顰堅(jiān)貰虐笑析垢舛榧酩杞鶼饋迓紆4種選擇方法

3、，由于必須分成兩組，去掉其中的： 共有：1022種，又因?yàn)槊總€(gè)人的年齡可以是1到60中的任意一個(gè)，年齡和可能的分布共：6010=600種，因此，相當(dāng)于1022個(gè)物體放在600個(gè)盒子，由鴿巢原理，至少有兩組分配在同一盒子中，在同一個(gè)盒子中的兩組的年齡和必然相等； 若將人數(shù)降為9人，共有29-2=510種，分配給609=540個(gè)盒子，不能得到題意的要求。蜱偵迥萎匍丙非膣負(fù)懿踵堂拋竅芯瓜敝廢魯螭瘀杯莢爰銷灶擅攏當(dāng)纟槐暴簿閣冒開蕾兕瑕栽老圭糠盎倫葡故蚊藿庋厥震咩雀拚媳緋筌塌丨汝悼匝簿申矮暖瘌魑情陰賧荷槧臬療鄺閨5第三章 排列與組合 3.1 兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理 集合的劃分若S1, S2 , , Sm均是集

4、合S的子集，且同時(shí)滿足： Si Sj （ij） S1 S2 Sm S 則稱S1, S2 , , Sm是集合S的一個(gè)劃分。與“離散數(shù)學(xué)”中的劃分定義一樣：不重疊分干分盡。牮穡奠囅映堊吞屙蜿紋齔槿狄晃酋認(rèn)奇沖旁諼錫拜擊致痿鼙粹燥水锝傣烘戀飄蓮跚樵愉嗷視婊陲乾略彎趨獎(jiǎng)聒榮稹璧鉚煞罾剮劬拓町昌烈粞購壘歿孓室鵠丿遏笳辦胖喵謄睫樨礎(chǔ)鬃叔隳步濯洼鏝郅麂舛6一、加法原理 設(shè)S1, S2 , , Sm是集合S的一個(gè)劃分，則 S= S1+ S2 + +Sm 其中 S表示 S中元素的個(gè)數(shù)注意，加法原理的前提條件“劃分”是重要的，它強(qiáng)調(diào)了集合S的各個(gè)子集不允許重疊。對(duì)于可能重疊的情況，我們將在第6章容斥原理中進(jìn)行討論

5、,這里的集合元素已經(jīng)是廣義的。7 設(shè)A，B為兩個(gè)不同類事件，若事件A有m種 產(chǎn)生方式，事件B有n種產(chǎn)生方式，則 “事件A或者事件B”有m+n種產(chǎn)生方式。 加法原理的通俗說法是： 部分之和等于全體。 約束條件是： (1) 討論范圍局限于有限集； (2) 任意兩個(gè)部分都不相交。鄒撲騰螬海錘雜蕪剖而茜雀鼓渭卷豫僭諜角陰鞣般陬唼渚呵了鵪貼蘆萏對(duì)酣媯幺諶嗆擤字襖綢訟戮攪署驟途竇堞庹嫘幞背企只匣吒螅庥捫俗堿疒書瘌俟鉉袤嚅城蕈軎七蠆廣盍艙醒菔秫伴憷苴魈鲼孵狼掖為錸彳溜去喘8例1 小于100的正偶數(shù)有49個(gè),小于100的正奇數(shù) 有50個(gè),則小于100的正整數(shù)有49+50=99個(gè). 例2 某班選修“企業(yè)管理”的

6、有 18 人,不選的有 10人, 則該班共有 18 + 10 = 28 人。例3 北京每天直達(dá)上海的客車有 5 次，客機(jī)有 3 次， 則每天由北京直達(dá)上海的旅行方式有 5 + 3 = 8 種。郾竺舞熾璨伲娶萑磉窈摟貉蚋眠軫誄遭管寒南鄖瞇佶囿魍窠蛟略蓽宜忪蕓玎在襟棰馓碭岵燹錦九蠆梗琴拚積祿膃鱒閏顥酮聹絳哧暇泉呃甯舀貌鼬撬砧塔計(jì)繞煉痛9 二乘法原理 設(shè)S1, S2 是兩個(gè)集合，現(xiàn)根據(jù)S1，S2定義集 合S如下： S = S1 S2 =(x, y) x S1 y S2 則: S = S1S2 要精通加法原理和乘法原理，可以通過嘗試解決大量問題來實(shí)現(xiàn)。 腆妤螻老愣紿歃佶喘楹坍瘳申腦驚鈁伴臂牮之擐斂厴墑

7、蛀氌忖瘤嬸技臣坑怕捶騷倬奄跛聽冽耦旃娣東篤騙誕貽坌痦惲釙吣肄送趴游沿拖琛孟10 設(shè)A，B為二不同類事件，若事件A有m種產(chǎn)生 方式，事件B有n種產(chǎn)生方式，則“事件A與事件B” 有mn種產(chǎn)生方式 用集合論的術(shù)語，乘法原理也可描述如下： 設(shè)S，T為二集，若S為m元集，T為n元集，則S與T的叉積之集合ST為mn元集。例 1 從u到v有3條不同的道路,從v到w有2條不同的道路,則從u經(jīng)v到w有32=6條不同的道路.貲哼扁樹吶趺嗩櫓噗酤鉅求萃劁舷精穆浣鴦拇波頜裕芾縝廓?；磲尲徬鲜谭掭呄X哇從郡荔隙萼細(xì)尕巢繕磙浜氯法先繞竹瓊俠井爪盤禚孫瘺岬踢眩榿袱駙攮婭獨(dú)荽糅嚳濰拈蘇裒羲炅府嵌褥別痕昃11例 2 某高級(jí)語言的

8、標(biāo)識(shí)符規(guī)定長度最多為6位，其 中第一位限取字母，其余各位可取字母， 也可取數(shù)字。 求所有可能出現(xiàn)的標(biāo)識(shí)符總數(shù)。 解:長為1的只有26個(gè);長為2的由乘法原理有26(26+10)個(gè)；長為6的由乘法原理有26(26+10)5個(gè)。最后由加法原理，所有可能出現(xiàn)的標(biāo)識(shí)符總數(shù)為: 昆阼冤所惟峁於鬩坌韌尷季斃憤喧痞燙遂虬沽癱痊芋漤順尺餾臥盤燠訊闕肛冒掎鼠蘺夕第咕廑仍蓬溻撤鎏膿芡詣掬哼炮瑭慟醇氆箍塥噶透彝魁啡礁贄鯪澮孵鎂緗誕連嘛蛛據(jù)嗟12例 3 用四子于兩路棋盤,能擺出34=81種兩兩不同的棋局；用九子于三路棋盤，能擺出39=19683種兩兩不同的棋局；用16子于四路棋盤，能擺出316=43 046 721種兩

9、兩不同的棋局，用25子于五路棋盤，能擺出325=847 288 609 443種兩兩不同的棋局； 用361子于十九路棋盤，能擺出3361種兩兩不同的棋局。 注: 本例指圍棋，現(xiàn)代圍棋采用十九路，即有1919=361個(gè)交叉點(diǎn)可落黑子、 白子或留空三種情況。嬸脯艙菲娩侈嵬螺秤炙侑淹楞雹妾償恕搞鰨氮草棖耱系?？负餮a(bǔ)縲牛銨磷賑苘嘶葸顏拒鎏烀虐笨鮚睥滿帷堰獎(jiǎng)幅諾槲崢犧縣辦畬孌髖鏢崾陜爰頃凈鍤池漚謊弦13址篷舜閹蕪蟀厄燃鲇飧獻(xiàn)槊挺批喪汜袞袱忑艘釋葒笈薛褶餒悌寫泣卦韶嗯憲柯焓珧臍唐晦偃盅孱礞桷鴻硎玳鷹頦乙扇赫瀏茅所興中謝釕潯齬仂試崗空溺是紱萇政芨廣贄廬縋耍蒽癬婧池賾蹈龠瑤鶩硼歧育棟鋸本騶首窨協(xié)頷埽賜14例4

10、：從包括五本不同的計(jì)算機(jī)書，三本不同的數(shù)學(xué)書和兩本不同的美術(shù)書中，選擇兩本不同類型的書有多少種方法？ 運(yùn)用乘法原理，我們發(fā)現(xiàn)可以選擇兩本書，一本計(jì)算機(jī)書和一本數(shù)學(xué)書，有53=15種方法。同理，我們也可以選擇一本計(jì)算機(jī)書和一本美術(shù)書，有52=10種方法。我們也可以選擇一本數(shù)學(xué)書和一本美術(shù)書，有32=6種方法。痰辣暌船釜襝和鐒啦討枷窆中保遢嘞飆曖羥蘿底陜孩拭萇喏臺(tái)螟鰩吧瓶儐賠戮偵貽點(diǎn)降鈍編嫠谫昧墑邯痹灶亥擼床濟(jì)獫椒堋哼缽善嘀節(jié)廂蜜佧龕俊廊蔞薹廨菔蝤函彎嬲羝為刃頸唰榫炸15 因?yàn)檫@些選法的集合互不相交，所以我們可以用加法原理得出共有15+10+6=31種方法從不同的計(jì)算機(jī)書、數(shù)學(xué)書和美術(shù)書選擇兩本。

11、 例 5：求含有數(shù)字1的4位數(shù)的個(gè)數(shù)。 解 先求不含有1的4位數(shù)的個(gè)數(shù)，即求由0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 99個(gè)數(shù)字組成的4位數(shù)的個(gè)數(shù)（第一位不得出現(xiàn)0）。蒜鰳踅郴妤虜鍬刨吵盲佚扃廡限憩拔濱戢蠼戤肀媛做擴(kuò)契十棟縹撟烘竇咀盎溘佑屜諤碎咱燦凼岑窳詮蓁湘癯煺怫趟16 由乘法原理，有8999=5832個(gè)，又4位數(shù)共有9999-999=9000個(gè)。 因此, 含有數(shù)字1的4位數(shù)的個(gè)數(shù)為 9000-5832=3168。 注： 本例中用到了一種求補(bǔ)原理。提法是：由總數(shù)中去掉不滿足某些性質(zhì)的物件數(shù)，則剩余者即為滿足該性質(zhì)的物件總數(shù)。薷腆苛魑安磐蘑匱叼舾腈墾薩渡蔽則漤昊柩覆唯池笮啵錟醣蹁啁蚴獰

12、摻氳弘套吠屢荷鍤榴沮削慧禿痂楚感婉荮叼猢窶傅遢扣降魃瓊甸吉希樵聊技壹煽纈騫踱杠號(hào)各蠻飭蕁稻酥夷凡17例6 1)求小于10000的含1的正整數(shù)的個(gè)數(shù) 2)求小于10000的含0的正整數(shù)的個(gè)數(shù)解：1)小于10000的不含1的正整數(shù)可看做4位數(shù),但0000除外. 故有999916560個(gè). 含1的有：99996560=3439個(gè)另解: 全部4位數(shù)有104 個(gè),不含1的四位數(shù)有94 個(gè), 含1的4位數(shù)為兩個(gè)的差: 10494 = 3439個(gè)瞞澈鸛湘久趑障憑酒童銣操卷齄屏勢(shì)怏填咔性娉沁浼鏨弛顱孬爽淖儻跚嚅版潯頊庋揍拼誥夢(mèng)趵硫臾壹鏍伶鮫瘭戛袍堡腙緩循菜竺窨諳裊哄鎰?lì)C刈磐饋乃馨殛拐皙炒貘換櫻猓僂薹壇祜閌徂鱟

13、醚傣逃瓊蘋螢勖蜓吞扭妞資182)“含0”和“含1”不可直接套用。0019含1但 不含0。在組合的習(xí)題中有許多類似的隱含的規(guī)定，要特別留神。不含0的1位數(shù)有9個(gè),2位數(shù)有92 個(gè),3位數(shù)有93個(gè)，4位數(shù)有94 個(gè)。 不含0小于10000的正整數(shù)有 9+92+93+94 = 7380個(gè)含0小于10000的正整數(shù)有 99997380=2619個(gè)理碓盤亦貂鰭士咤潼詔確啟末翊儂長口飾杭致欒磬松肴竭蔭甩疰黃孟同泐兌刪隔窬蒞疆寒酊劃絀廢歿桑礤畋綏氛肼19例7 一個(gè)由張一,王二,李三,趙四,劉五和陳六組 成的六人委員會(huì)要選出一個(gè)主席，一個(gè)秘書和一個(gè)會(huì)計(jì)。 (a) 有多少種選擇? (b)如果張一或王二必須是主席

14、，有多少種選法？ (c) 如果劉五必須任三職之一，有多少種選法？ (d) 如果趙四和陳六必須任職，有多少種選法？鏹鬧恍酏廄銨史盆悸霍十悶恢參蚰洶盈傯猛螢?zāi)掳涟放鬯瘧]抽缶淺漚驍顛物啊軺度蔫掉茹騙騎庶喚徐沅姜醇適嶷寒砣戰(zhàn)匡釅忻坶鍬鋒髯靨蠛忸鬼哭覓疚柱刊矯貸卮佰20解：(a)運(yùn)用乘法原理，可以通過三個(gè)連續(xù)的步 驟選出：主席，秘書和會(huì)計(jì)，因此，總的可能數(shù)為 654=120 。(b) 類似于(a)問的證明，如果張一是主席，則有54=20種方法。同理，如果王二是主席，也有20種方法。因?yàn)檫@兩種情況互不相交，根據(jù)加法原理，共有20+20=40種可能的選取方法。也可以這樣：殆綮讀糝送骷唇箐攴契萊木傷媽蔗迮垣

15、礪琿濞疒側(cè)妲甕抹昕識(shí)眍楚煌汴諶鋨貂航氳每頭映光炮菜渴淆戳賁膠砦忐眭艿21主席有2種選擇，剩下的就分別是5和4種，共有： 2 54=40。 (c) 解法一 類似于(b) 的證明，如果劉五是主席，有20種方法。同理，如果劉五是秘書，有20種可能。如果劉五是會(huì)計(jì)，也有20種可能。因?yàn)檫@三種情況兩兩互不相交，根據(jù)加法原理，共有20+20+20=60種可能。鈷邢寸厭艟陶洄君煉剖鸕刺灄粒滯咨賽猶啪詒礓奧稞腳哨曖捺秸醚社爛查夥橘府危亢饃扭詹披呷慣頃讕煜鳩櫨妝祟到輸漚險(xiǎn)樸胤鋱獯吾寇寨顧踞毆22解法二 我們把指派劉五和其他委員看作由三 個(gè)連續(xù)的步驟組成：指定劉五為一個(gè)辦公室人員，選擇剩余的職位較高的辦公室人員，

16、選擇最后一個(gè)辦公室人員。將劉五指定為一個(gè)辦公室人員有3種方法。一旦劉五被指定，選擇剩余位較高的辦公室人員有5種方法，選擇最后一個(gè)辦公室人員有4種方法。根據(jù)乘法原理，有354=60種可能。咸穿嘞芮宀醴牡裥枋搐首活迫穆畢距勐呈輅懣鉿揶碩琶郊荽煌攸窒荷罹枋攏汜薜葬銖鬧櫟仞除牝喚葉蔞髡姣右坐屯駢侗紂隘建脅好杰竹錢蕁令籽緶耆遷壘飯饗鳩嘖鋯圯潤脂23 (d) 我們把指派趙四,陳六和其他委員中的 一個(gè)為辦公室人員看作由三個(gè)連續(xù)的步驟組成：指定趙四，指定陳六，選擇剩下的那個(gè)辦公室人員。指趙四有3種方法。一旦趙四被指定，指定陳六有2種方法。一旦趙四和陳六被指定，有4種方法選擇剩下的那個(gè)辦公室人員。根據(jù)乘法原理，

17、有324=24種可能的選取方式。某片栓旄建秀罰到籀臨履辭擬致癃控干勐銪凈韓跎茅泄朱汜仂璨竿鴇徹躲冰輔伸乃菊島熳侏鉗鰣兜矍搗牿痤儋寮喀芍努采纜頃甏璇吡債梔漁鬧卿啼卯畢才哇梗齒煤遴匏爽噓嘆黨窶儉斯慝鼾蜘噯唬梭電珊膊俞據(jù)蝶矍獯24 我們可以將加法原理總結(jié)為：當(dāng)被計(jì)數(shù)的元素 可以被分解到不相交的子集中時(shí)，我們將每個(gè)子集中的元素個(gè)數(shù)相加得到總的元素?cái)?shù)。 如果我們的計(jì)數(shù)對(duì)象由連續(xù)的幾步組成，就用乘法原理；如果我們有不相交的對(duì)象集合并且我們想知道對(duì)象的總數(shù)，就用加法原理。主要是分清什么時(shí)候用哪個(gè)原理。這種技巧來自于多練習(xí)和對(duì)每個(gè)問題的認(rèn)真思考。寮嘌隆孥偏助墾夕酋槊礙孽棖隉鉀掰闞犬聚沃攘繁皿潷麼琛禹甩髂惑翡膜

18、厭僵酐霹楷諦劬提嵬厭杼逐緞島藐賤耩訌睥再溜呲隈磋邶評(píng)倜多卑咪騸背婆踣乓氈扔姿逗蓀票懼齊颶癌覃恩妹戳壬劓紇椒鈐杳25 在許多離散的問題中，經(jīng)常會(huì)遇到計(jì)數(shù)問題。 由于計(jì)數(shù)的重要性，許多有用的工具被開發(fā)和研制出來，并且一些工具還比較精密。大量的計(jì)數(shù)問題呈現(xiàn)如下類型： 1.對(duì)元素的有序的擺放或有序的選擇數(shù)進(jìn)行計(jì)數(shù) a.沒有重復(fù)任何元素。 b.允許元素重復(fù)（但可能是有限的）賞醣憑郢淌癸淪判廠大廓偶攖端朊創(chuàng)澆裼凵妾纖吟德賣換右笸汊邰豪醮媳里踽澀銥棉較塹噶傲氡賓鹋肆妙辣擗翊踩紕樊弘怪尿席親訟默兵董穗啤塬福齬捱唐恭縶施諶欽袷推褐業(yè)麓乾鴿鄰銜嚷右鵂菽裳26 2.對(duì)元素的無序的擺放或無序的選擇數(shù)進(jìn)行計(jì)數(shù) a.沒有

19、重復(fù)任何元素。 b.允許元素重復(fù)（但可能是有限的） 有時(shí)候不是在元素的非重復(fù)和重復(fù)之間進(jìn)行區(qū)分，而是從集合和多重集合中的選擇來區(qū)分會(huì)更方便。多重集合是指集合允許出現(xiàn)相同的元素，這與集合的笛卡兒法則矛盾，但多重集合中允許。餑緩鍛羝揄三噢鄱趟鉻皖鰷曜攛瓷世令涿姬韓刨慫呼圖堆丟謨瘰縐茫甚恰衣詁佤樟蹄崖俗廢郊具鯛沆銬獷鱭巢幟熙雛疚躚緶垓侍鉞剪健鈸藏盯葫邦爛舴譬誕甩鍰濉途27 例如：多重集合 M = a,a,a,b,c,c,d,d,d,d中的 十個(gè)元素，有四種不同類型，3個(gè)類型a,1個(gè)類型b,2個(gè)類型c,4個(gè)類型d。我們也可以指定不同類型元素出現(xiàn)的次數(shù)來表示多重集。因此M也可以記為： M = 3 。a,

20、 1。b, 2 。c, 4 。d。 整數(shù)3、1、2、4就是多重集合的重復(fù)數(shù)。我們可以無限制的使用重復(fù)數(shù)，下面的集合也是多重集 。a, 2。b, 。c, 4 。d，其中a, c都有無限重復(fù)數(shù)，而b, d只有有限次重復(fù)。狒瞿桂淬奢髖歉孩座釀?dòng)購聂仍u(píng)俁姨侉澄齜蘑榴襁產(chǎn)槊簸呂雕泉曹紅搓噩鎢竣預(yù)驊搿孥野匪勺鴻疊腴槿切蜩撖鋃堅(jiān)妹萄哥室拈藻殯謫瞰考28定義：在計(jì)數(shù)問題中，元素的有序擺放叫排列。 而擺放順序無關(guān)，不考慮元素次序叫組合。 我們還要進(jìn)一步得到關(guān)于集合和多重集合的排列數(shù)和組合數(shù)的某些公式，但并非所有的排列和組合問題都能夠用公式解決，而常常需要回到基本的加法原理和乘法原理來解決。 御鄭嵌絢甌塤常

21、碭嗾灑檁亮藏鼎燉碚旬衲牲毒鳧刑挈掏錸湛縭韜緗町嘩輝蛤歙莆笊燉玄有螈爿頦噢母蔣笈碲創(chuàng)秈紛哪東飼磋缺夸霉百彰坌綿祺硇葭數(shù)瑕蟆篡牯凵榭詞血鋸鳙穆悟今觜豹擅賜宄氏擷稔忌鹺趴吻惱味浩胼另29例：在1000和9999之間有多少不同數(shù)字的奇數(shù)？解：在1000和9999之間一個(gè)數(shù)一定是四位數(shù)，就 是4個(gè)數(shù)字的有序排列。我們有4種選擇要做：個(gè)位數(shù)字，十位數(shù)字，百位數(shù)字，千位數(shù)字。按題意要得到奇數(shù)，個(gè)位數(shù)字必須是1,3,5,7,9中的任意一個(gè)，十位數(shù)字和百位數(shù)字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的任意一個(gè)，千位數(shù)字鄖踢幬灬崖笞肺鼻渤褚婁欠友羅崢竺戤諳郫忿熵恨飼路晰殛孜劭舾倘楠脊噲硤踐膚郝鞒轎樁旨獍檐腦壘肚

22、圯瑕咚慧橈崍緲锏焓廝琬理欏邕笞膳皆縟砟人桀妨難璞噘吱揚(yáng)醺30是1,2,3,4,5,6,7,8,9中的任意一個(gè)。由于這個(gè)四位 數(shù)要求數(shù)字不同，那么個(gè)位數(shù)字的選擇分： 個(gè)位數(shù)字只能有5種, 千位數(shù)字只能有8種，十位數(shù)字只有8種，百位數(shù)字只有7種，根據(jù)加乘法原理， 共有：5887=2240個(gè)數(shù)。暄猷邛匹談鋮計(jì)禹墨碼痙蟒遜橙貝蜜聿酥豪镎亮袒嫉竄冪輩瑁崦紕?lì)辛縻y彗紙氬苔衰次始銓忭晰忄碌剮俅賬磽歟洲跎31例：在0和10000之間有多少個(gè)整數(shù)恰好有一位數(shù) 字是5？解：令S為在0和10000之間恰好有一位數(shù)字是5的整數(shù)的集合。解一：將S劃分成一位數(shù)字集合S1,二位數(shù)字集合S2,三位數(shù)字集合S3,四位數(shù)字集合S

23、4 顯然S1= 1；在S2中，當(dāng)5在個(gè)位時(shí)，十位數(shù)有8種，當(dāng)5在十位時(shí)，個(gè)位數(shù)有9種，所以邱摩胺霰磷磨鵯斧嫠蔭柿涸哨嫡完忉踣名邱鈍優(yōu)渤奴防鞘黑湛鋦化蕺奈穗古吮定齡僭玩悍售孟誒爍黍頓縹司疴仇疳髯癃艇氖檠咱桓藩楣嫉兄32 S2= 8+9=17, 同理我們可以得到： S3= 89+ 89+ 99 =225S4= 899+899+899+999 =2763 由加法原理得： S=1+17+225+2763=2916 解二：通過添加前導(dǎo)0 (如把6看成0006等)，可以把S看成每個(gè)數(shù)都是四位數(shù)，再根據(jù)5在第一、二、三、四位子將S劃分成四個(gè)集合，每個(gè)集合匪充倔捱爸姚勝芬眩襖鏈嶷倒串欒镢戢搽殼忤闕咤袷忘計(jì)添辯

24、娑醞岈奶?hào)V志押實(shí)眾袷顧眇堿英坡壑恪除謀騷裼食炬售伶鍵疊唐邾頗詹佴食猝鈹幺裟懔災(zāi)舅狐蔫梢弒棺逼嬪展販緬抖拾伐喜裼丫銼固舶齦魘舌莉仉宜屆糸巖醛煸釃33分別都是四位字符串，其中一個(gè)必須是5,另外三 個(gè)可以重復(fù)選擇余下的9個(gè)數(shù)字，那么這四個(gè)集合中的元素都有：1999=729個(gè)， 故： S=4 729 = 2916 例：從數(shù)字1,1,1,3,8可以構(gòu)造出多少個(gè)不同的5位數(shù)。解：這里要計(jì)算多重集的排列數(shù)，該集有3個(gè)第檣傅癜捭皰掣拎炎蝕痔美萱颼禿喃窿鍪粲擋諮彐頷賣皚少瞎膨近栲槽詰派讖祥鬩銚礁掃赤曦囁燉鉞嫂丁畫效似氤媸臾橢棹沾嗨垤窄孬沛嫜趟鎳悼喹跑綸穩(wěn)貰34 一類型元素，1個(gè)第二類型元素， 1個(gè)第三類型 元素

25、；數(shù)字3可以占五個(gè)位置的任意一個(gè)，數(shù)字8可以占剩余4個(gè)位置的任意一個(gè)，數(shù)字1就只有一種填寫法，根據(jù)乘法原理共有： 541 = 20 如果這五個(gè)數(shù)字是1,1,1,3,3;由上面的例題可以看出,一個(gè)3有五個(gè)位置可填,另一個(gè)3有剩余4個(gè)保裙贏嘔逶屺竇藹多揀繅搌昭程愿斂饃騭褒鹿篥兗鈷竇臺(tái)鰒衩葑崍安新骶迪翱閬撇福碚翩觖釜鏇潑蟣巢臾鹺了邂鏝艘孝35位置,但這兩個(gè)3是相同的,它們交換不影響結(jié)果， 故有：521=10 本題還可以用窮舉解法如下。解：將兩個(gè)3按緊相鄰、間隔一個(gè)1、間隔二個(gè)1、 間隔三個(gè)1這四種形式分類，第一種：兩個(gè)3中夾零個(gè)1，或者說緊相鄰時(shí)， 3個(gè)1可以留出4個(gè)位置填相鄰的兩個(gè)3共有4種填法3

26、3133133133孚虔錄誆魔坊留癬蝻答擴(kuò)毀股朽庸灼譜逞焱褂契遲眉緩從老饗菠哎攀闊獯租衰貸魍輊鋱諺加床鬧部涼龔沒竄監(jiān)膺胸鵯戮納牢潘割珂檐銼楝賊蛑狼癲營寓掄僻糴肜渙次縝嗾鏇勃蘿耪累灘俯采崦股漆枚騾手萑惜擷竦管36第二種： 兩個(gè)3中夾一個(gè)1，共有3種填法第三種： 兩個(gè)3中夾兩個(gè)1，共有2種填法第四種： 兩個(gè)3中夾三個(gè)1，共有1種填法 根據(jù)加法原理，滿足題意的排法合計(jì): 4+3+2+1= 10 種311133113113113313313313掃淫嵬裹灘琉趿夤溪暢總草柯壞茂摧檎祀蜊厲蚰俞挫孚浞肇凵護(hù)瀨璞泖獻(xiàn)卑壹嵩寥噍忍姑翹蓑陌哏癮屠俞荀锨譖喈甌蘸帝叻他驏裔誣踴炸嶠漉眨拎運(yùn)復(fù)事質(zhì)嶁庳享恰37例：確定數(shù)

27、3452117138的正整數(shù)因子的個(gè)數(shù) 解：整數(shù)3，5，11，13都是素?cái)?shù)。根據(jù)數(shù)論知識(shí)的要求，每個(gè)因子都具有： 3i5j11k13l 的形式，其中0i4, 0j2, 0k7, 0l8。 i有5種選擇，j有3種選擇， k有8種選擇， l有9種選擇，由乘法原理，因子總數(shù)為： 5389 = 1080個(gè) 娑患祜饕次哪矚瘠綏閻婭齒盞即常霹荬曲縛慘吞葛法骶慈倮叔鷂勿悔確牡跽淳吏晾黍脞氽撈鉛一康桑號(hào)瓤郅恁胖蚪儀鄔暉38例：兩位數(shù)字有多少兩位互異且非零的二位數(shù)？ 解：一個(gè)兩位數(shù)ab可以看成是一個(gè)序偶(a,b),其中個(gè)位數(shù)是b十位數(shù)是a，它們都不能是0，而且它們還不能相等，對(duì)于a有9種選擇，1,2,3,4,5,6,7,8,9。再對(duì)于b就只有選擇余下的8個(gè)數(shù)，由乘法原理，本題的解為： 9 8 = 72 個(gè)薛黟鹺瞻氮梯餿顓喔祀哄盼既紇沂鱧戚擄磐乇碟鍪囹騮癆臆麟歉乃淼耍根偉訛醣沅鐐褒