李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)

1、4.3 李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù) 4.3.1 預備知識 1.標量函數(shù)的正定性 標量函數(shù)的正定性定義如下： 1）當 時， ；當 時， 則稱 是的； 2）若 除原點和某些狀態(tài)下為零，而其余部分都大于零，則稱 為半正定的； 3）若 是正定的，則稱 是負定的； 4）若 是半正定的，則稱 是半負定的； 5）若 既可以是正值, 也可以是負值,則稱 是不定的。1根據(jù)上述定義容易檢驗下列標量函數(shù)的正定性1） = 是正定的；2） = 是半正定的,因為當 時 ， =0；3） =( )是負定的；4） = - 是半負定的；5） = 是不定的， 因為當 ， 時， ，而當 ， 時， 。2 2二次型標量函數(shù)及其正定性條件 若 (

2、4.32) 則稱為二次型標量函數(shù)。其中P一般表示為實 對稱矩陣，即 。 3 若P表示為實對稱矩陣，二次型標量函數(shù)的正定性可以用塞爾維斯特(Sylvester)準則判別。該準則敘述如下： 塞爾維斯特準則：記P的主子行列式為 ( 4.33) 二次型標量函數(shù) 為正定的充要條件是矩陣P的所有主子行列式為正，即: (4.34) 4 二次型標量函數(shù) 為負定的充要條件是矩陣P的各階主子式滿足： = (4.35) 54.3.2 李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù) 若非線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為: (4.36) 不失一般性,設(shè)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 。如果 ，可以通過 變換為零。 連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)：若存在一個標量函數(shù) ，對

3、所有 的有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且 是正定的，則6 當 為負定時,平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的； 當 為負定，且 時，平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的； 當 為半負定時，平衡狀態(tài)是李氏意義下穩(wěn)定的； 當 是半負定的， 不恒等于0時，平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的； 當 為正定時，則平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。 標量函數(shù)稱為李雅普諾夫函數(shù)。7 離散系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)：對于非線性離散系統(tǒng) (4.37) 若存在一個連續(xù)的標量函數(shù) , ,對任意 , 是正定的,則當對任意 ，沿軌線 ( 4.38) 為負定時，它的平衡狀態(tài) 是漸近穩(wěn)定的，進一步當 ， 時,平衡狀態(tài)則是大范圍漸近穩(wěn)定的;當 是正定時,平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。標量函數(shù)

4、稱為系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。8 例4.13 非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解：確定平衡點:9 因為 ，所以 ， .即系統(tǒng) 的平衡點為 :10 取李雅普諾夫函數(shù)為 : 則 將狀態(tài)方程代入上式得 可見， 是負定的，因此，系統(tǒng)在坐標原點處的平衡狀態(tài)是漸進穩(wěn)定的。又因為時 ， ，所以是大范圍漸進穩(wěn)定的。 11 例4.14 線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解： 是唯一的平衡點。取 ，則 當 時， ， 是半負定的。系統(tǒng)平衡點是李氏意義下穩(wěn)定的。12當 時， ，因此 ,不恒等于0， 也不恒等于0，因此，系統(tǒng)平衡狀態(tài)是大范圍漸進穩(wěn)定的。 李雅普諾夫函數(shù)不是唯一的。本例也可取則因此，

5、是負定的。又因為當 ，所以，系統(tǒng)是大范圍漸進穩(wěn)定的。 13 例4.15 分析系統(tǒng) 的穩(wěn)定性。 解 平衡點為 ，取 則 可見， 是正定的，所以，平衡點是不穩(wěn)定的。 144.3.3 線性連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù) 李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)是最一般的方法，適用于線性和非線性系統(tǒng)。但其主要的問題是難以尋找李雅普諾夫函數(shù)。事實上，李雅普諾夫穩(wěn)定性理論本身沒有提供構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的一般方法。但對線性系統(tǒng)，一定可以用二次型來構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)。下面介紹線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造方法與李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)。 15 設(shè)線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為: (4.39) 總可以用下列正定二次型函數(shù)作為李雅普諾夫函數(shù)：

6、(4.40) 式中， 為實對稱正定矩陣。16 令 (4.41) 式（4.41）稱為李雅普諾夫矩陣微分方程。于是 (4.42) 若Q是正定的，則 是負定的。 因此，滿足式（4.41）的實對稱矩陣所構(gòu)成的正定二次型函數(shù) ，是線性連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。17 線性連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，給定一正定的實對稱陣Q(t)，存在一個正定實對稱矩陣P(t)，使得李雅普諾夫矩陣微分方程成立。 對于線性系統(tǒng)，若A是非奇異矩陣，系統(tǒng)只有一個平衡點 ，所以，若系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則也是大范圍穩(wěn)定的。18 對于線性定常系統(tǒng)， 為常量矩陣，李雅普諾夫矩陣微分方程變?yōu)榫仃嚧鷶?shù)方程 （4.43

7、） 按照以上的介紹，判斷線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟，應(yīng)是先取一個正定的實對稱陣Q，然后根據(jù)式（4.43）解出P，最后檢驗P的正定性，即可確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于Q陣可以任意指定，而判斷結(jié)果與Q陣的具體選擇無關(guān)，為簡化計算通常取Q=I 。19 例4.16 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 取Q=I， ,代入 得 20 根據(jù)矩陣相等的定義，得到下列方程組: 解得 , , ，則21 驗證正定性：因為 所以，P是正定的。因此，系統(tǒng)是（大范圍）漸近穩(wěn)定的，李氏函數(shù)為:224.3.4 線性離散系統(tǒng)的李雅普 諾夫穩(wěn)定判據(jù) 設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為: （4.44） 取下列正定二次型函數(shù)為李雅普諾夫

8、函數(shù): （4.45） 式中,P為正定的實對稱陣.對于離散系統(tǒng).采用 差分 :23 代替 ，則 令 (4.46）24 式(4.43)稱為離散系統(tǒng)的李雅普諾夫方程。于是: （4.47） 若Q是正定的，則 是負定的。 線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù) 線性定常離散系統(tǒng) 漸近穩(wěn)定的充要條件是，給定任一正定實對稱陣Q，存在一個正定實對稱陣P，滿足離散系統(tǒng)的李雅普諾夫代數(shù)方程.25 例4.17 設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解： 選Q=I，代入離散系統(tǒng)的李雅普諾夫代數(shù)方程（4.47）得26 根據(jù)矩陣相等的定義，得到下列方程組： 解得 ，則:27 采用塞爾維斯特準則: 所以，P為正定的實對稱陣，

9、系統(tǒng)是大范圍漸 近穩(wěn)定的。李雅普諾夫函數(shù)為 28 例4.18 設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試確定系統(tǒng)的平衡點處大范圍漸近穩(wěn)定的條件。 解： 選Q=I，代入離散系統(tǒng)的李雅普諾夫代數(shù)方程（4.47） 29 根據(jù)矩陣相等的定義，得到下列方程組： 解得： 則: 要使P為正定的實對稱陣,應(yīng)使 ， ,即使系 統(tǒng)穩(wěn)定的條件為 。因為是線性系統(tǒng)，所以也是大范圍漸近穩(wěn)定的。304.3.5 非線性系統(tǒng)的李雅普 諾夫穩(wěn)定判據(jù) 李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)雖然適用于非線性系統(tǒng)，但由于非線性系統(tǒng)的復雜性，目前還沒有構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的一般方法。 例如，克拉索夫斯基法選擇 作為李雅普諾夫函數(shù)，給出了非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定

10、的充分條件；舒茨-基布遜（Schultz-Gibson）的變量梯度法的基本思想是，如果存在一個能證明系統(tǒng)穩(wěn)定的李雅普諾夫函數(shù) ，則必然存在這個函數(shù)的單值梯度 ，因此，可以根據(jù)給定形式的 去確定 和 。阿依捷爾曼方法用線性關(guān)系取代單值非線性函數(shù)，然后根據(jù)線性狀態(tài)方程選取二次型李雅普諾夫函數(shù)，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。31 下面介紹克拉索夫斯基方法: 設(shè)非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 （4.48） 其中，x為n維狀態(tài)向量，f(x)為n維向量函數(shù)， 其元 是的非線性函數(shù), 且對 是連續(xù)可微的。32 設(shè)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 ?？死鞣蛩够ㄗh用構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)，即 其中，W為 正定對稱常量矩陣。 而 （4.49）33

11、 其中， （4.50） 稱為雅可比(Jacobian)矩陣。 (4.51)34 令 （4.52） 則式（4.51）為: (4.53) 顯然,如果由式（4.52）得到的 是負定的,則 是負定的，所以,平衡點 是一致漸近穩(wěn)定的。如果 ， ，則平衡點 是一致大范圍漸近穩(wěn)定的。 為簡化計算，可以選取W=I，則: (4.54)， 35 例4.19 分析下列非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 由于 可見，滿足條件f(0)=0。選擇W=I，則 顯然，V(x)為正定的。由式（4.50），雅可比矩陣為:36 所以 由于的各階順序主子式分別為: 所以，S(x)是負定的。由李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)，該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。又由于: 所

12、以，該系統(tǒng)是大范圍漸進穩(wěn)定的。 374.3.6 小偏差線性化方法與李雅普 諾夫第一法 1. 小偏差線性化方法的基本思想 目前一些常用的非線性分析方法的一個基本特點、是:總以某種形式通過線性化而建立起來的方法. 最簡單、最常用的線性化方法是所謂的小偏差線性化方法。這種方法假設(shè)系統(tǒng)始終運行在工作點附近一個較小的范圍內(nèi)，在這個范圍內(nèi)系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系可以近似為線性的.描述系統(tǒng)的非線性微分方程式中所含非線性部分在穩(wěn)態(tài)工作點附近展開為泰勒級數(shù)，忽略掉其中的非線性（即高次）項，僅取其線性（一次）項，從而將非線性微分方程式轉(zhuǎn)化為線性微分方程式。38 2. 非線性靜態(tài)模型的線性化 設(shè)非線性元件的靜特性方程為

13、: (4.55) 設(shè)預定工作點為 或 ，則在工作點進行泰勒級數(shù)展開，并去掉高次項，得線性化方程為: (4.56) 式中: (4.57)39 例4.20 在例2.7中，液體流出的流量 與 液位高度H的關(guān)系為 ，求其線性化方程。 解 則線性化方程為: 或者: 其中， 40 3. 非線性微分方程的線性化 設(shè)非線性系統(tǒng)的微分方程為: (4.58) 式中，c 為系統(tǒng)的輸出，r 為系統(tǒng)的輸入，L 為線性部分，N 為非線性部分。設(shè)預定工作點為 ,則線性化方程為: (4.59) 式中: (4.60) 41 例4.21 在例2.7中，液位高度H與液體流入的流量 的關(guān)系為: 求其線性化方程。 解 由例4.20得到非線性部分的線性化方程為: 由式（4.59），系統(tǒng)的線性化方程為: 42 4. 非線性狀態(tài)方程的線性化 設(shè)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為: (4.61a) (4.61b) 其中, , 均為連續(xù)可微的向量函數(shù)。 , , .設(shè) 為系統(tǒng)的工作點。將非線性函數(shù)向量 ， 在工作點 展開成泰勒級數(shù)，并去掉高次項，得線性化方程為： (4.62a) 43 (4.62b) 其中， 為雅可比矩陣，分別為: (4.63) (4.64)44 (4.65) 為狀態(tài)的增量向量； 為輸入的增量向量； 為輸出的增量向量。45 若記 , , , 則線性化方程記為習慣的表示形式 (4.65)46 例4.22 求下列非線性