08無(wú)線電波傳播的概率統(tǒng)計(jì)理論

1、PAGE 08-PAGE 20無(wú)線電波傳播的概率統(tǒng)計(jì)理論無(wú)線電波從發(fā)射天線到達(dá)接收天線，在傳播過(guò)程中要遭受自然介質(zhì)的影響，如大氣中各種相關(guān)氣體成份、大氣中水凝體（如雨、霧、雪）和其他大氣中的沉降物的折射、散射與吸收，也要遭受地面、地物、大氣層結(jié)及大氣湍流不均勻體的散射與反射，事實(shí)上，接收點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)是來(lái)自不同路徑的多條射線合成的總效果。由于自然介質(zhì)與自然環(huán)境在時(shí)域和空域上都具有隨機(jī)可變的特性，這些多徑射線的極化、幅度和相位都可以是隨機(jī)變化的，他們?cè)诮邮拯c(diǎn)的疊加與合成可以是相干的或不相干的，合成信號(hào)自然也是隨機(jī)變化的，總之，接收點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)或者接收電平以及相位等無(wú)線電波的屬性本質(zhì)上都是個(gè)隨機(jī)變量。8.1

2、 隨機(jī)變量與統(tǒng)計(jì)規(guī)律隨機(jī)變量的變化不是沒(méi)有規(guī)律的、不可預(yù)測(cè)的，它也是有規(guī)律的、可以預(yù)測(cè)的，只不過(guò)隨機(jī)變量服從的是統(tǒng)計(jì)規(guī)律而不是決定性的規(guī)律。舉個(gè)例子，自由落體是服從決定性規(guī)律的，我們可以肯定地說(shuō)，在真空中，自由落體的加速度是9.8米，這是確定的、不容置疑的。但是，我們很難說(shuō)，某個(gè)射手某次打靶一定能打幾環(huán)，因?yàn)榇虬袝r(shí)有很多隨機(jī)因素都可能會(huì)影響到打靶的成績(jī)，打靶是很隨機(jī)的事件。然而對(duì)于這個(gè)隨機(jī)事件，我們可以預(yù)測(cè)說(shuō)，在N（N足夠大）次射擊中，打中一環(huán)的次數(shù)可能是次，打中二環(huán)的次數(shù)可能是次，打中三環(huán)的次數(shù)可能是次，。與N之比就是打中一環(huán)的概率，與N之比就是打中二環(huán)的概率，依次類推?？傊?，對(duì)于隨機(jī)事件，

3、我們不能預(yù)測(cè)事件的結(jié)果肯定是如何如何，但是我們可以預(yù)測(cè)它以多大的可能性如何如何，或者隨機(jī)事件發(fā)生的概率有多大。比如說(shuō)，在固定無(wú)線通信業(yè)務(wù)中，假設(shè)接收點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)是個(gè)隨機(jī)變量，我們不能預(yù)測(cè)某一確定時(shí)刻的場(chǎng)強(qiáng)究竟是多少，但是，我們可以依據(jù)經(jīng)驗(yàn)預(yù)測(cè)，該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)高于或低于某一數(shù)值的可能性有多大，換句話說(shuō)，它有多大的可能性高于或低于某一數(shù)值。這就是統(tǒng)計(jì)規(guī)律。在移動(dòng)通信中，我們使用的電波傳播統(tǒng)計(jì)模型不能告訴我們覆蓋區(qū)內(nèi)某一具體地點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)肯定是多大，但是它可以告訴我們覆蓋區(qū)內(nèi)有百分之多少的地點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)高于或低于某一數(shù)值，或場(chǎng)強(qiáng)高于或低于某一數(shù)值的地點(diǎn)有百分之幾。如上所述，接收點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)或接收電平是個(gè)隨機(jī)變數(shù)。如何來(lái)描述

4、隨機(jī)變數(shù)的特性？通常我們是使用均值（平均值）、中值、均方差和分布函數(shù)來(lái)表達(dá)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性的。均值、中值、均方差反映隨機(jī)變量的數(shù)值特征，分布函數(shù)反映隨機(jī)變量在某數(shù)值范圍內(nèi)的分布或散布的特性。以接收電平為例。在接收電平的測(cè)試中，每個(gè)采樣電平只是個(gè)瞬時(shí)值，稱為一個(gè)子樣，在數(shù)據(jù)處理中我們需要計(jì)算平均值、中值和均方差，用以表達(dá)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性。設(shè)在某一個(gè)測(cè)試點(diǎn)一分鐘之內(nèi)我們共采得m（m足夠大）個(gè)接收電平值：，我們稱之為接收點(diǎn)電平的m個(gè)子樣。對(duì)于m個(gè)電平子樣一定存在一個(gè)這樣的值：在子樣集合中，有50%的子樣小于它，而另外50%子樣則大于它，那么，這個(gè)值就是這些子樣的中值?？梢圆捎脭?shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的方法得到隨

5、機(jī)變量的中值。中值的嚴(yán)格定義必須使用概率的觀念，下面將對(duì)此進(jìn)行簡(jiǎn)單的討論，事實(shí)上，我們前面的簡(jiǎn)單說(shuō)明就已了解了它的基本意思。接收電平的中值可以寫(xiě)為，它的意思是說(shuō)，瞬時(shí)接收電平作為隨機(jī)變量，它的取值有50的可能性低于中值；從隨機(jī)事件實(shí)現(xiàn)的角度看，也可以這樣說(shuō)：隨機(jī)變量的采樣樣品集合中有的子樣可以小于，但是只有當(dāng)采樣數(shù)目很大時(shí)，后面這種定義才等效于前面的嚴(yán)格定義。類似地，表示接收電平作為隨機(jī)變量的取值有（/100）的可能性（概率）低于，或者也可以這樣說(shuō)，隨機(jī)變量的取值低于的可能性（概率）為（/100）；從隨機(jī)事件實(shí)現(xiàn)的角度看，也可以這樣說(shuō)：隨機(jī)變量的采樣樣品集合中有（/100）的子樣可以大于。但是

6、只有當(dāng)采樣數(shù)目很大時(shí)，后面這種定義才等效于前面的嚴(yán)格定義，其中可以是0與1之間的任何一個(gè)值。對(duì)不同的值統(tǒng)計(jì)出對(duì)應(yīng)的值，或者，對(duì)于的不同取值，統(tǒng)計(jì)出與之相對(duì)應(yīng)的概率值，就可以作出隨機(jī)變量的累積概率分布曲線和概率密度直方圖，概率密度直方圖是概率密度函數(shù)曲線的近似表達(dá)，當(dāng)測(cè)試樣品子樣很多時(shí)，直方圖就會(huì)非常逼近概率密度曲線。平均值不同于中值，平均值的定義是直截了當(dāng)?shù)模?（8.1）均值又稱之為最可幾值，即隨機(jī)變量最可能取的值。由于多徑傳播，接收信號(hào)的場(chǎng)強(qiáng)或者電平同時(shí)遭受了瑞利型快衰落和正態(tài)型慢衰落，接收電平是高度可變的隨機(jī)變量。在處理隨機(jī)變量的數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，均方差是個(gè)基本量。我們可以用它來(lái)檢驗(yàn)隨機(jī)變量的離

7、散程度。實(shí)踐中更常使用均方根偏差這個(gè)參數(shù)，比如接收電平的均方根偏差可以表示為： （8.2）其中，是隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量的均值，是隨機(jī)變量的采集樣品子樣，是子樣的總個(gè)數(shù)。均方根偏差的大小反映了隨機(jī)變量散布的程度。隨機(jī)變量，如接收電平或接收點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)，可以隨時(shí)間或地點(diǎn)隨機(jī)地變化，這樣的過(guò)程，被稱為隨機(jī)過(guò)程。在隨機(jī)過(guò)程中，隨機(jī)變量的分布特性可以用累積概率分布函數(shù)（簡(jiǎn)稱為概率分布函數(shù)，分布函數(shù)）和概率分布密度函數(shù)（概率密度函數(shù)，密度函數(shù)）來(lái)描述。累積概率分布函數(shù)是指以隨機(jī)變數(shù)小于某一指定值的總概率，即前面所述的隨機(jī)變量取值小于某一指定值的概率，設(shè)指定值為，累積概率分布函數(shù)自然是的函數(shù)，它可以寫(xiě)為，即隨機(jī)變

8、量的概率，簡(jiǎn)寫(xiě)為。而概率分布密度函數(shù)則定義為累積概率分布函數(shù)的微分： （8.3）它意味著隨機(jī)變量在單位取值間隔內(nèi)的出現(xiàn)概率，所以隨機(jī)變量出現(xiàn)在間隔內(nèi)的概率為： （8.4）或者， （8.5）在這里，作者再一次強(qiáng)調(diào)，分布函數(shù)意味著隨機(jī)變量小于的概率，有時(shí)，也說(shuō)成是，隨機(jī)變量不超過(guò)的概率；而則意味著隨機(jī)變量大于的概率，有時(shí)，也說(shuō)成是，隨機(jī)變量超過(guò)的概率。反過(guò)來(lái)，中的意味著隨機(jī)變量的概率不被超過(guò)的值。累積概率分布函數(shù)與概率分布密度函數(shù)的示意圖如圖8.1所示。概率分布函數(shù)必須滿足歸一化的要求，在這種情況下，我們有： （8.6）在已知概率分布密度的情況下，隨機(jī)變量的平均值可以表示為以下積分： （8.7）平

9、均值又稱為一階矩，數(shù)學(xué)期望。而隨機(jī)變量的另一數(shù)字特征，方差，則可以表示為： （8.8）其中，被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差。標(biāo)準(zhǔn)偏差代表隨機(jī)變量在其取值范圍那的散布的程度。越大，隨機(jī)變量的取值越分散；反之，越小，隨機(jī)變量的取值越集中于其均值周圍。以下表達(dá)式中的則代表隨機(jī)變量的中值： （8.9） 圖8.1 概率分布函數(shù)與分布密度函數(shù) 8.2 均勻分布均勻分布是最簡(jiǎn)單的概率分布類型。它是指，隨機(jī)變量?jī)H出現(xiàn)在其取值區(qū)間a,b上并且出現(xiàn)在此區(qū)間上任何一點(diǎn)的概率密度都是相等的。令為隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，則均勻分布的概率密度應(yīng)為常數(shù)，現(xiàn)令其為常數(shù)，那么，按照概率分布函數(shù)歸一化的要求，我們有： （8.10）所以，均有分布

10、的概率分布密度為： （8.11）顯然，服從均有分布的隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)應(yīng)為： （8.12）該隨機(jī)變量的均值則為 (8.13)8.3 二項(xiàng)式分布這是所謂的貝努里概型的分布函數(shù)。在這里，我們要討論的是分立事件的概率，而不是隨機(jī)連續(xù)變量取某些值的概率。舉一個(gè)例子更容易說(shuō)明貝努里概型的基本意義，例如，設(shè)地面微波接力通信線路由段電路組成，各段電路出現(xiàn)衰落是互不相關(guān)的，如果每段電路出現(xiàn)衰落的概率為，不出現(xiàn)衰落的概率為，顯然。現(xiàn)在我們來(lái)求段電路中有段（為零或整數(shù)且）同時(shí)出現(xiàn)衰落的概率。首先，由于各段電路是彼此獨(dú)立的且互不相關(guān)，所以在段電路中有特定的段同時(shí)出現(xiàn)衰落、其余的段電路不出現(xiàn)衰落這一事件的概率應(yīng)該

11、是另外，考慮到前面并未指定衰落是在哪幾段電路出現(xiàn)衰落，所以“段電路出現(xiàn)衰落、其余段電路不出現(xiàn)衰落”這一事件，能以多種方式出現(xiàn)。由排列組合理論可知，可以有 （8.14）種組合方式。故應(yīng)用概率加法定理，得 （8.15）這是牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式的第項(xiàng)。段電路中，有0段，1段，2段，段電路出現(xiàn)衰落的事件是互不相容的，且組成了完整的事件組，所以這些事件的概率之和應(yīng)為1。果然，利用上式以及，我們有 （8.16）確實(shí)滿足總概率歸一化的要求。8.4 正態(tài)分布正態(tài)分布又稱為高斯分布，因數(shù)學(xué)家高斯而得名。正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布在電波傳播研究和無(wú)線電通信工程實(shí)踐中度用得很多。根據(jù)概率論的中心極限定理，當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量表現(xiàn)

12、為無(wú)數(shù)多個(gè)數(shù)值微小而又相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和時(shí)，如下式所示， （8.17）其中，足夠大，而且若這些小的隨機(jī)變量中的任何一個(gè)對(duì)總和的貢獻(xiàn)都是小的，那么，作為總和的隨機(jī)變量則應(yīng)遵守正態(tài)分布。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)可以表示為： （8.18）其中，足標(biāo)表示隨機(jī)變量，通常該足標(biāo)可以省略，為隨機(jī)變量的平均值，為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)偏差。以為變數(shù)或令，正態(tài)概率分布密度函數(shù)的圖形如圖8.2所示，由圖可知，的峰值出現(xiàn)在處，即出現(xiàn)在隨機(jī)變量的平均值那點(diǎn)。離平均值越遠(yuǎn)，越小，而且顯然曲線以為對(duì)稱軸。該曲線峰頂所對(duì)應(yīng)的值隨標(biāo)準(zhǔn)偏差的增大而減小，所以的大小正確地反映了隨機(jī)變量的離散程度。1 2 3 0 -1 -2 -3 0.

13、2 0.4 0.8 8.2 正態(tài)分布概率密度函數(shù) 所以，正態(tài)分布的概率分布函數(shù)為：（8.19）上式的推導(dǎo)過(guò)程如下： （8.20）其中， （8.21）被稱為誤差函數(shù)。是隨機(jī)變量小于的概率，而隨機(jī)變量大于的概率則應(yīng)該是 （8.22）顯然，從上式和圖8.3都可以看出，正態(tài)分布的中值出現(xiàn)在處，即對(duì)應(yīng)正態(tài)分布而言，中值與平均值相等。對(duì)于不同的的取值，隨機(jī)變量大于的概率，即，可見(jiàn)表8.1；對(duì)于隨機(jī)變量小于的概率（即）的不同取值，與其相應(yīng)的值也列于表8.1。由表可以看出，隨機(jī)變量落在之外的概率僅為0.27%，而落在之外的概率則僅為0. 0064%。表8.1 正態(tài)分布變量與概率對(duì)應(yīng)表00.50.50.90.1

14、1.2820.8413450.1586550.990.012.32620.9772500.0227500.9990.0013.09030.9986500.0013500.99990.00013.71940.9999680.0000320.999990.000014.265在無(wú)線電通信工程實(shí)踐中，通常我們所關(guān)心的與無(wú)線電波傳播有關(guān)的參數(shù)，如接收電平（瓦）、場(chǎng)強(qiáng)的幅度（伏/米）、電壓（伏）、功率通量密度（瓦/米2）等等，都是正數(shù)，其取值區(qū)間并不符合正態(tài)隨機(jī)變量的取值區(qū)間。然而，非常巧合的是，在通信工程實(shí)踐中，我們幾乎總是不用這些原本意義上的傳播參數(shù)，而是使用這些參數(shù)的對(duì)數(shù)作為替代參數(shù)，在本書(shū)中的大

15、多數(shù)場(chǎng)合也是如此。比如接收電平，其單位為瓦；在實(shí)踐中使用的替代參數(shù)是，其單位是分貝瓦（dBw），它仍然被叫做接收電平，但是，顯然，此電平非彼電平也。同樣，場(chǎng)強(qiáng)的幅度、電壓和通量密度皆如此這般處理，其相應(yīng)的單位分別為分貝微伏/米（dBV/m）、分貝微伏（dBV）、分貝瓦/米2（dBw/m2）。取對(duì)數(shù)后的這些傳播參數(shù)作為隨機(jī)變量，其變化范圍與正態(tài)隨機(jī)變量的變化范圍是一致的，可以用正態(tài)分布來(lái)表達(dá)它們的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，當(dāng)然其平均值、中值和標(biāo)準(zhǔn)偏差的單位也應(yīng)以相應(yīng)的分貝數(shù)來(lái)表示，而且，我們把這種分布稱為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。也就是說(shuō)，我們說(shuō)隨機(jī)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，那么，這就意味著隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。實(shí)驗(yàn)測(cè)試表明，

16、接收信號(hào)的慢衰落分量通常服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，快衰落分量則常常符合我們下一節(jié)將要討論的所謂的瑞利分布。在工程實(shí)踐中，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可以使用以下近似表達(dá)式代替正態(tài)概率分布函數(shù)，以避免麻煩的數(shù)值積分計(jì)算： （8.23）8.5 瑞利分布8.5.1 場(chǎng)強(qiáng)幅度的分布在無(wú)線電波傳播研究和應(yīng)用中，瑞利分布是除正態(tài)分布之外用得最多的統(tǒng)計(jì)分布。接收信號(hào)快衰落的統(tǒng)計(jì)特性通常符合瑞利分布。我們提醒，在本節(jié)中，要注意區(qū)分場(chǎng)強(qiáng)與場(chǎng)強(qiáng)的幅度，場(chǎng)強(qiáng)是向量，它是可以有正負(fù)的，場(chǎng)強(qiáng)的幅度是標(biāo)量且不能為負(fù)值。但是，多數(shù)情況下，不作這種區(qū)分，所謂場(chǎng)強(qiáng)就是指場(chǎng)強(qiáng)的幅度。無(wú)線電通信中，接收點(diǎn)的信號(hào)常常是多條射線在接收點(diǎn)干涉合成的總效果，這

17、就是所謂的多徑傳播。在多徑傳播中，每條射線都經(jīng)歷不同的傳播路徑，其幅度、相位甚至極化都互不相同，而且是隨機(jī)變化的?？梢栽O(shè)想，許多條射線到達(dá)接收點(diǎn)，比如說(shuō)有條，各條射線之間是彼此獨(dú)立的，每條射線的電場(chǎng)向量的兩垂直分量和（）之間也是彼此獨(dú)立的隨機(jī)變量。這樣，接收點(diǎn)合成場(chǎng)強(qiáng)的分量可以表示為 （8.24） （8.25）若其中每一分量的貢獻(xiàn)都是小的，那末，當(dāng)射線數(shù)量足夠大時(shí)，則根據(jù)概率論的中心極限定理，合成場(chǎng)強(qiáng)的分量和應(yīng)服從正態(tài)分布。和作為隨機(jī)矢量，它們可以在區(qū)間范圍內(nèi)變化，進(jìn)一步假定，和的平均值相同，均為零，標(biāo)準(zhǔn)偏差也相同，均為，則和作為正態(tài)隨機(jī)變量，其概率分布密度函數(shù)應(yīng)分別為： （8.26） （8.

18、27）上述表達(dá)式中的下足標(biāo)表示隨機(jī)變量。進(jìn)一步，由于和是彼此獨(dú)立的，則和作為隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率分布密度函數(shù)便是： （8.28）總之，我們?cè)谶@一節(jié)要討論的物理模型是，一個(gè)隨機(jī)向量，其互為正交的兩個(gè)分量都是正態(tài)隨機(jī)變量，且他們的平均值為零、標(biāo)準(zhǔn)偏差則相等。我們把這種隨機(jī)向量稱之為瑞利型隨機(jī)向量。下面我們將進(jìn)一步導(dǎo)出合成場(chǎng)強(qiáng)的幅度的概率分布函數(shù)與概率分布密度函數(shù)，作為合成電場(chǎng)向量的幅度，不能為負(fù)值?？梢员硎緸椋?（8.29）所以，如圖8.3所示，的概率分布函數(shù)（即的概率）可以表示為 （8.30）xyRO圖8.3 的區(qū)域顯然， 對(duì)應(yīng)于以為半徑的圓的內(nèi)部區(qū)域。所以，上式可以寫(xiě)為： （8.31）我們知道

19、代表的概率，而的概率則應(yīng)為，而且，為了表達(dá)方式具有一般性，我們可以用一般變量代替變量，最后我們有 （8.32） （8.33）顯然，場(chǎng)強(qiáng)幅度的概率分布密度函數(shù)為： （8.34）0 0.5 1 1.5 2 3 2.5 3.5 0.2 0.4 0.6 0.8 圖8.4 瑞利分布的概率密度函數(shù) 最可幾值 中值 平均值 式（8.34）就是所謂的瑞利分布。由以上分析可知，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變化的平面矢量而言，當(dāng)它的正交分量都服從平均值為零的相同的正態(tài)分布時(shí)，則該隨機(jī)矢量的幅度便服從瑞利分布。以上的數(shù)學(xué)推導(dǎo)是嚴(yán)格的，以上的物理假定也非常接近于無(wú)線電波在自然環(huán)境中多徑傳播時(shí)的真實(shí)情況，所以瑞利分布是實(shí)踐中很有用的一

20、種統(tǒng)計(jì)分布，實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果表明，無(wú)論微波視距接力通信中還是在陸地移動(dòng)通信中，當(dāng)出現(xiàn)快衰落時(shí)接收信號(hào)均服從瑞利分布 。瑞利分布的概率密度函數(shù)如圖8.4所示，特別提示，橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)則是。由圖可以看出，當(dāng)時(shí)密度函數(shù)達(dá)到最大值，所以稱為隨機(jī)變量的最可幾值，隨機(jī)變量最有可能出現(xiàn)在該值附近；另外，隨機(jī)變量的中值和平均值也已標(biāo)明在圖中，中值，平均值。另外，隨機(jī)變量的根均方值，事實(shí)上，代表瑞利型隨機(jī)變量的平均功率。由式（8.34）和圖（8.4）可以看出，瑞利分布唯一地由參數(shù)決定，決定著隨機(jī)變量散布的程度與概率密度曲線的形狀。由前面可知，是在理論推導(dǎo)中引入的一個(gè)假設(shè)參數(shù)，它代表正態(tài)隨機(jī)分量和的標(biāo)準(zhǔn)偏差。實(shí)踐上

21、單獨(dú)測(cè)量正態(tài)隨機(jī)分量和的概率分布密度函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)偏差是不方便的，但是測(cè)試合成信號(hào)是很容易的，只要把深衰落條件下的測(cè)試數(shù)據(jù)取出并做成概率密度函數(shù)曲線圖，就能在圖上由最可幾值直接得到的值。8.5.2 接收電平的概率分布接收電平是指接收機(jī)入口處的射頻功率，也稱為接收功率，它正比于接收點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)幅度的平方。下面，我們希望根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)的分布函數(shù)和分布密度能夠?qū)С鼋邮针娖降姆植己瘮?shù)和分布密度。容易證明，當(dāng)場(chǎng)強(qiáng)服從瑞利分布時(shí)，其二階矩 （8.35）另外，為了明了起見(jiàn)，忽略某些嚴(yán)格性，8.5.1節(jié)的式（8.32），式（8.33）和式（8.34）可以直接用場(chǎng)強(qiáng)符號(hào)來(lái)表達(dá)，如下所示： （8.36） （8.37） （8.38

22、）進(jìn)一步，以接收電平（接收功率）來(lái)表示時(shí)，以上三式則可以寫(xiě)為： （8.39） （8.40） （8.41）這就是接收電平的概率分布函數(shù)和概率分布密度函數(shù)，顯然，當(dāng)接收?qǐng)鰪?qiáng)服從瑞利分布時(shí)，接收功率則應(yīng)服從指數(shù)分布；以上三式中，為接收信號(hào)的瞬時(shí)功率，為接收信號(hào)的平均功率。8.5.3 衰落深度的概率分布根據(jù)廣泛的大量的實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)，得出兩個(gè)基本的經(jīng)驗(yàn)型的結(jié)論，第一個(gè)是，在深衰落時(shí)，接收點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)服從瑞利分布；第二個(gè)結(jié)論是，在純?nèi)鹄ヂ涞那闆r下，平均接收電平等于無(wú)衰落時(shí)的自由空間接收電平。因此，基于這兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，由式（8.39），深衰落條件下接收電平的分布函數(shù)可以表示為： （8.42） （8.43）此式表

23、明，在瑞利衰落條件下，接收電平低于（瓦）的概率正比于相對(duì)接收電平，這是個(gè)在數(shù)量條件下總是小于1的比值。若相對(duì)于自由空間的接收電平用分貝來(lái)表示，則有，其中，相對(duì)接收電平，以dB為單位，在衰落條件下，它總是個(gè)負(fù)值。但是，我們注意到，在實(shí)踐上，我們更常使用衰落深度這個(gè)參數(shù)，它的定義是 （8.44）當(dāng)我們說(shuō)“衰落深度為分貝”時(shí)，這就是意味著接收信號(hào)比自由空間電平低dB。因此，根據(jù)式（8.42），我們能夠把衰落深度與其對(duì)應(yīng)的衰落概率聯(lián)系起來(lái)： （8.45）其中，為衰落深度大于dB的概率，或者說(shuō)，接收信號(hào)電平比自由空間電平低dB的概率。當(dāng)然，上式?？梢员硎緸?（8.46）由此式可以看出，在深衰落的情況下，

24、每10分貝的衰落深度的變化對(duì)應(yīng)于一個(gè)量級(jí)的衰落概率變化。所以，在單對(duì)數(shù)坐標(biāo)中，衰落深度與衰落概率之間的關(guān)系曲線是條直線。事實(shí)上，式（8.45）和式（8.46）代表的是條件概率，是出現(xiàn)瑞利型（深）衰落條件下衰落深度大于某一分貝數(shù)的概率。所以，真正的衰落深度大于某一分貝數(shù)的全概率，應(yīng)該是瑞利型衰落的出現(xiàn)概率與瑞利衰落條件下衰落深度大于某衰落深度的條件概率兩者的乘積。在下一章中，我們將討論瑞利型衰落的出現(xiàn)概率。8.6 Nakagami-Rice分布（分布）在這一節(jié)，我們將討論另一種電波傳播物理模型下接收信號(hào)隨機(jī)變化的統(tǒng)計(jì)分布特性。這種物理模型是：一個(gè)穩(wěn)定的、非隨機(jī)的信號(hào)，其場(chǎng)強(qiáng)幅度為，另外還有兩個(gè)彼

25、此正交、相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布（均值為零）的隨機(jī)信號(hào)，其場(chǎng)強(qiáng)幅度分別為和，為確定起見(jiàn)，假定三個(gè)信號(hào)都是線極化的，而且穩(wěn)定信號(hào)的場(chǎng)強(qiáng)矢量E0的方向與隨機(jī)信號(hào)場(chǎng)強(qiáng)矢量Ex的方向一致，三個(gè)信號(hào)在接收點(diǎn)疊加合成構(gòu)成總的接收信號(hào)。這個(gè)物理模型與上一節(jié)瑞利型衰落模型的差別是，多了一個(gè)穩(wěn)定的非隨機(jī)的信號(hào)，如果沒(méi)有這個(gè)穩(wěn)定信號(hào)，在接收點(diǎn)由和疊加合成的總信號(hào)應(yīng)該服從瑞利分布，這是上一節(jié)已經(jīng)證明了的?？傊?，現(xiàn)在的物理模型是，一個(gè)穩(wěn)定的非隨機(jī)信號(hào)與一個(gè)瑞利型隨機(jī)向量的疊加。在現(xiàn)在的物理模式下，合成場(chǎng)強(qiáng)的幅度可以寫(xiě)為： （8.47）而和的概率分布密度函數(shù)應(yīng)分別為： （8.48） （8.49）所以，合成信號(hào)幅度的分布函

26、數(shù)可以表示為 （8.50）其中，。為了求解式式（8.50），我們令，顯然，即方程它對(duì)應(yīng)于如圖8.5所示的圓周的軌跡，其半徑為、中心位于處。所以式（8.50）的積分區(qū)域便對(duì)應(yīng)于該圓周所圍成的內(nèi)部區(qū)域。經(jīng)過(guò)變量代換于積分計(jì)算，我們可以得到隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)為1： （8.51）進(jìn)一步，對(duì)上式求微商，我們可以得到概率分布密度函數(shù)如下式所示： （8.52）這就是Nakagami-Rice分布，式中是變形零階貝塞耳函數(shù)，也稱為虛宗量零階貝塞耳函數(shù)， （8.53）當(dāng)很小接近于0時(shí)，在這種情況下，Nakagami-Rice分布退化為瑞利分布： （8.54）所以，Nakagami-Rice分布又稱為廣義瑞利

27、分布。如式（8.52）所示，Nakagami-Rice分布中保護(hù)兩個(gè)基本參數(shù)，即和。而代表非隨機(jī)的穩(wěn)定分量的接收功率，則代表瑞利型隨機(jī)分量的平均接收功率，所以兩者之和實(shí)際上就是總的平均接收信號(hào)電平。圖8.5畫(huà)出了Nakagami-Rice分布的概率分布函數(shù)的曲線，圖中的參數(shù)代表隨機(jī)分量的平均功率與信號(hào)總平均功率之比： （8.55）對(duì)于不同的值，有不同的概率分布曲線，1即時(shí)，Nakagami-Rice分布退化為瑞利分布。該圖的縱坐標(biāo)是作為隨機(jī)變量的的相對(duì)值：，dB （8.56）實(shí)際上是接收信號(hào)總功率的相對(duì)值，以分貝為單位，均勻刻度。該圖的橫坐標(biāo)是隨機(jī)變量大于縱坐標(biāo)值的時(shí)間百分?jǐn)?shù)，它是以瑞利坐標(biāo)刻

28、度來(lái)標(biāo)示的，在瑞利坐標(biāo)中，瑞利概率分布曲線表現(xiàn)為一條直線。由圖可以看出，在深衰落區(qū)域，當(dāng)時(shí)，分布曲線已非常接近于直線，即服從瑞利分布?？v坐標(biāo)值被超過(guò)的時(shí)間百分?jǐn)?shù)， ，dB Z，dB 圖8.5 Nakagami-Rice分布曲線60.1 0.01 0.001 8.7 Nakagami分布與伽瑪分布8.7.1 以分貝表示的接收電平的分布日本作者Nakagami4統(tǒng)計(jì)分析了數(shù)條短波傳播電路上的快衰落實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果，發(fā)現(xiàn)在快衰落的的條件下，以分貝表示的接收信號(hào)電平服從以下概率分布密度函數(shù)： （8.57）其中，為待定的常數(shù)，是衡量隨機(jī)變量散布程度的一個(gè)參數(shù)，絕大多數(shù)情況下，均滿足。為了確定常數(shù)，我們可以對(duì)

29、上式進(jìn)行概率歸一化的計(jì)算：因此我們可以得到 （8.58）為了清楚起見(jiàn)，如果忽略某些嚴(yán)格性，直接用接收電平取代分布密度函數(shù)中的變量，著上式可以表示為 （8.59）其中，接收電平以dB為單位，可以表示為，dB （8.60）顯然，意味著平均接收功率，則是相對(duì)功率。最后，將式（8.58）代入式（8.59），我們得到以分貝為單位的接收功率的概率分布函數(shù)為 （8.61）這就是接收電平（功率）的Nakagami分布，由此式可以看出，Nakagami分布中只含一個(gè)參數(shù)，即參數(shù)，所以有時(shí)又把Nakagami分布稱為分布。上式中，是伽瑪函數(shù)，它可以表示為一個(gè)定積分： （8.62）伽瑪函數(shù)具有以下性質(zhì)： （8.63

30、） （8.64） （8.65）8.7.2 接收點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的概率分布利用式（8.60）和式（8.61），我們還可以導(dǎo)出接收信號(hào)場(chǎng)強(qiáng)的概率分布密度函數(shù)。經(jīng)過(guò)變量代換和一些數(shù)學(xué)推導(dǎo)，我們可以得到場(chǎng)強(qiáng)的概率分布密度函數(shù)為： （8.66）這就是接收點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的Nakagami概率分布密度函數(shù)。容易證明，Nakagami分布的場(chǎng)強(qiáng)的數(shù)學(xué)期望（平均值）為 （8.67）以及的方差為 （8.68）所以Nakagami分布的參數(shù) （8.69）由此可知，代表平均功率的相對(duì)值；參數(shù)反映信號(hào)衰落的平均特性，反比于接收信號(hào)功率的方差。也就是說(shuō)，參數(shù)越小，接收信號(hào)功率的離散程度越大，反之，參數(shù)越大，接收信號(hào)功率的離散程度越小。因此

31、，參數(shù)可以定量地反映接收信號(hào)功率的離散程度。Nakagami概率分布函數(shù)的曲線如圖8.6所示，圖中，對(duì)于參數(shù)的不同取值，畫(huà)出了接收電平的不同的概率分布曲線，該圖的橫軸代表低于或高于縱坐標(biāo)所示值的概率（或概率百分?jǐn)?shù)），橫軸是瑞利刻度的坐標(biāo)，縱軸是以分貝表示的均勻座標(biāo)。由圖可以看出，在深衰落區(qū)域，瑞利坐標(biāo)實(shí)際上是對(duì)數(shù)坐標(biāo)。低于（不超過(guò)）縱坐標(biāo)所示值的時(shí)間百分?jǐn)?shù)，圖8.6 Nakagami分布6Pr，dB0.9990.9999，dB高于（超過(guò)）縱坐標(biāo)所示值的時(shí)間百分?jǐn)?shù)，單邊高斯分布瑞利分布麥克斯韋分布8.7.3 相對(duì)接收功率的概率分布：伽瑪分布在這一小節(jié)，我們將定義相對(duì)接收功率 （8.70）它就是接

32、收功率相對(duì)于平均接收功率的真數(shù)。下面我們導(dǎo)出隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)。根據(jù)式（8.70），我們有 （8.71）因，故 （8.72）所以 （8.73）這就是所謂的伽瑪分布的概率密度函數(shù)。不難證明，伽瑪分布的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（平均值）和方差分別為 （8.74） （8.75）由上式可知，相對(duì)接收功率的方差反比于分布函數(shù)的參數(shù)，所以參數(shù)唯一地決定著Nakagami分布密度函數(shù)曲線的形狀和隨機(jī)變量的散布程度。8.7.4 單邊高斯分布與麥克斯韋分布從式（8.72）看出，當(dāng)參數(shù)時(shí)，Nkagami分布退化為瑞利分布。也就是說(shuō)，在深衰落域，場(chǎng)強(qiáng)服從瑞利分布。的概率分布曲線如圖8.6所示，是一條理想的直線，應(yīng)

33、為該圖的坐標(biāo)是瑞利刻度的坐標(biāo)。同樣，根據(jù)式（8.72），當(dāng)時(shí)，Nkagami分布退化為單邊高斯分布： （8.76）將上式與正態(tài)分布比較，在現(xiàn)在的情況下，我們?nèi)绻顒t上式可以寫(xiě)為 （8.77）該分布密度函數(shù)與通常的正態(tài)（高斯）分布密度的差別在于二點(diǎn)：第一是，場(chǎng)強(qiáng)變量的取值范圍在0與之間，而不是在與之間；第二是，多了個(gè)因子“2”，這是概率歸一化所要求的。同樣，根據(jù)式（8.72），當(dāng)時(shí)，Nkagami分布退化為麥克斯韋分布 （8.78）如果我們令，則上式可以表示為 （8.79）這就是麥克斯韋分布，麥克斯韋分布的方差為 （8.80）麥克斯韋分布在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。麥克斯韋分布的概率分布曲線也示

34、于圖8.6，即該圖中與對(duì)應(yīng)的那條曲線。8.8 概率統(tǒng)計(jì)與直方圖隨機(jī)變量所遵從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，及其數(shù)字特征（如平均值、方差、中值、最可幾值等）都是可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試來(lái)確定的。以接收電平為例，接收電平是個(gè)隨機(jī)變量。在移動(dòng)或固定地點(diǎn)的接收電平的測(cè)試中，每個(gè)采樣電平都只是個(gè)瞬時(shí)值，稱為一個(gè)子樣；如果采集的子樣足夠多，有足夠的代表性，在數(shù)據(jù)處理中，我們就可以根據(jù)這些子樣的集合，計(jì)算出接收電平的數(shù)字特征，如平均值、中值和均方差等，用以表達(dá)接收電平隨機(jī)變化的統(tǒng)計(jì)特性，這在8.1節(jié)已有敘述?，F(xiàn)在我們要討論的是，如何通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量的數(shù)據(jù)得到隨機(jī)變量的分布函數(shù)。設(shè)在某一個(gè)測(cè)試點(diǎn)我們共采得m個(gè)接收電平值：，我們稱之為接收點(diǎn)電平的m個(gè)子樣，m足夠大。在這些子樣中找出最低的電平值和最高的電平值，然后在的電平區(qū)間內(nèi)以單位電平為間隔劃分出個(gè)電平間隔相等的小區(qū)間，其序號(hào)分別為，小區(qū)間中心點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的電平分別是，小區(qū)間的電平間隔的寬度為：最后統(tǒng)計(jì)出落在每個(gè)小區(qū)間的接收電平子樣的數(shù)目分別為：。根據(jù)這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可以制成如表8.2所示的數(shù)據(jù)表。表8.2