2022年新高考數(shù)學(xué)二輪提升數(shù)列專題第19講《數(shù)列的取整問題》（解析版）

1、第19講 數(shù)列的取整問題 一、單選題1（2021全國高三專題練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，記表示不超過x的最大整數(shù)，.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則使得成立的n的最小值為（ ）A1179B1178C2019D2020【答案】A【分析】先通過項(xiàng)和轉(zhuǎn)化，得到，繼而可得，則，分段，研究的取值，再求和即可【詳解】，令，得，解得.，由-可得，整理得，根據(jù)可知，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，.，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋允钩闪⒌牡淖钚≈禐?故選：A.2（2021全國高三專題練習(xí)）設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù)，如3.144，3.143.已知數(shù)列an滿足：a11，an1ann1(nN*)，則（ ）A1

2、B2C3D4【答案】A【分析】首先利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)的和，結(jié)合新定義即可求解.【詳解】由an1ann1，得anan1n(n2)又a11，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)(n2)21，則 .所以.所以.故選：A3（2021江西省吉水縣第二中學(xué)高一期中）高斯函數(shù)，也稱為取整函數(shù)，即表示不超過x的最大整數(shù). 如: 已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（ ）A3B14C15D16【答案】B【分析】首項(xiàng)利用數(shù)列與的關(guān)系，求得，再求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，并利用放縮法求得的范圍，利用定義求的值.【詳解】，得，整理為，當(dāng)時(shí)，且，解得：，所以數(shù)列

3、是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，所以，當(dāng)時(shí)，所以 ，所以，那么.故選：B4（2021江西南昌市八一中學(xué)高一月考）對(duì)于實(shí)數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和為，則（ ）A155B167C173D179【答案】C【分析】先對(duì)有理化，而后用裂項(xiàng)求和法求出，再對(duì)的取值進(jìn)行分類，得到的大致范圍，從而確定的值，最后再求.【詳解】由題知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以.故選：C.5（2021河南高二月考（理）定義函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，記集合中元素的個(gè)數(shù)為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）AB2CD【答案】D【分析】根據(jù)題意，歸納出數(shù)列

4、的通項(xiàng)公式，結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，所以的取值為0，所以，所以；當(dāng)時(shí)，若時(shí)，故，若時(shí)，故，所以，所以；當(dāng)時(shí)，若時(shí)，故；若時(shí) ，故；若時(shí)，故，5，所以，所以；當(dāng)時(shí)，若時(shí)，故；若時(shí)，故；若時(shí)，故，5，若時(shí)，故，10，11，所以所以；以此類推，可以歸納，得，所以，所以 ，所以故選D6（2021四川射洪模擬預(yù)測（文）定義函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?記集合中元素的個(gè)數(shù)為，則的值為（ ）ABCD【答案】D【分析】先根據(jù)條件分析出當(dāng)時(shí)，集合中的元素個(gè)數(shù)為，進(jìn)而可得，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以在各個(gè)區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)分別為：，所以當(dāng)時(shí)，

5、的值域?yàn)椋现性貍€(gè)數(shù)為：，所以，所以，故選：D.7（2021全國高三月考（理）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)在數(shù)列中，記為不超過的最大整數(shù)，則稱數(shù)列為的取整數(shù)列，設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ）ABCD【答案】C【分析】由，則，同理可得，得到，得到，結(jié)合裂項(xiàng)法，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，則，同理可得，所以，所以，則，則數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：C.8（2021浙江省杭州第二中學(xué)模擬預(yù)測）定義表示不超過的最大整數(shù)，若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則滿足等式（

6、）A30B29C28D27【答案】D【分析】由題意，直接求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以；所?故選：D【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：(1)仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；(2)根據(jù)新定義，對(duì)對(duì)應(yīng)知識(shí)進(jìn)行再遷移.9（2021全國高三專題練習(xí)（理）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.若表示不超過x的最大整數(shù)，則數(shù)列的前2021項(xiàng)和（ ）A1010B1011C2021D2022【答案】D【分析】根據(jù)變形后結(jié)合，可判斷出數(shù)列是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，即可化簡出，即可求出答案.【詳解】，即，數(shù)列是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的前項(xiàng)和.屬于中檔題.根據(jù)題意判斷

7、出數(shù)列是等差數(shù)列是解本題的關(guān)鍵.10（2021全國高三專題練習(xí)（文）已知數(shù)列滿足，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，則下列說法正確的是（ ）A存在，使得B是等差數(shù)列C的個(gè)位數(shù)是4D的個(gè)位數(shù)是3【答案】C【分析】由題意對(duì)的表達(dá)式進(jìn)行放縮可得，從而得出的單調(diào)性，進(jìn)而得出，根據(jù)條件結(jié)合取整數(shù)的定義，可得，然后對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，可得答案.【詳解】因?yàn)闉檎麛?shù)，且，所以，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，故.所以有，因此，由此可得，得，又，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，因此，所以，因此A，B錯(cuò).的個(gè)位數(shù)為1，的個(gè)位數(shù)為3，的個(gè)位數(shù)為9，的個(gè)位數(shù)為7，的個(gè)位數(shù)為1，的個(gè)位數(shù)為3，不難發(fā)現(xiàn)的個(gè)位數(shù)的周期為4.由于20

8、20能被4整除，2021被4除余1，因此的個(gè)位數(shù)為，的個(gè)位數(shù)為，因此C對(duì)，D錯(cuò)，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查新定義取整數(shù)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，解答本題的關(guān)鍵是利用取整數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行放縮由，得出，從而得出其通項(xiàng)公式，屬于中檔題.11（2021青海西寧一模（理）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，數(shù)列滿足，設(shè)，記表示不超過的最大整數(shù)設(shè)，若不等式，對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）ABCD【答案】C【分析】利用極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得，可推導(dǎo)證得為等比數(shù)列，求得，利用累加法可求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而確定；采用裂項(xiàng)相消法可求得，采用分離常數(shù)的方法可求得的最小值，由恒成立的思想可確定，由此得到的最大值.【詳解】

9、由題意得：，是的極值點(diǎn)，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，又，；，對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的綜合應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是能夠采用構(gòu)造法、累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而確定求和方法為裂項(xiàng)相消法，從而求得的形式.12（2021全國高三專題練習(xí)（理）已知函數(shù)(，)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.定義是函數(shù)的值域中的元素個(gè)數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列對(duì)均成立，則最小正整數(shù)的值為（ ）ABCD【答案】D【分析】先根據(jù)取整函數(shù)的定義確定的值域中的元素個(gè)數(shù)，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和為，然后利用裂項(xiàng)相消法求，最后可得正整數(shù)的最小值.【詳解】由已知得

10、，則，又，故，故()，故，故對(duì)均成立，即，則滿足條件的最小正整數(shù)的值為，故選：D.【點(diǎn)睛】（1）新定義問題，準(zhǔn)確理解含義是求解的關(guān)鍵；（2）數(shù)列求和的常用方法匯總：公式法；錯(cuò)位相減法；裂項(xiàng)相消法；分組求和法.13（2021浙江高三專題練習(xí)）如果，就稱表示的整數(shù)部分，表示的小數(shù)部分.已知數(shù)列滿足，則等于（）ABCD【答案】D【分析】由題，分別求出，然后求得再求得分析可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?同理可得： 所以所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) ，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)所以=故選D【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的綜合，解得的值和分析觀察是解題的關(guān)鍵，屬于較難題.二、多選題14（2021重慶南開中學(xué)高三月考）已知數(shù)列滿足，其中表示不超過

11、實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，則下列說法正確的是（ ）A存在，使得B是等比數(shù)列C的個(gè)位數(shù)是5D的個(gè)位數(shù)是1【答案】BD【分析】根據(jù)取整函數(shù)的性質(zhì)可得數(shù)列為遞增數(shù)列，根據(jù)整數(shù)的性質(zhì)可得，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)，從而可判斷AB的正誤，利用二項(xiàng)式定理可判斷C的正誤，從而可判斷D的正誤.【詳解】，.由題可得為正整數(shù)，故，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，即，故即.又，結(jié)合、均為正整數(shù)可得，其中，而，故，其中.故，又，故，故，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，因此，因此A錯(cuò)誤，B正確又，因?yàn)闉?0的倍數(shù)，故的個(gè)位數(shù)為，因此C錯(cuò)誤設(shè)，則，故的個(gè)位數(shù)為，因此D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：以取整函數(shù)為背景的數(shù)列的遞

12、推關(guān)系，需結(jié)合遞推關(guān)系的形式和整數(shù)的性質(zhì)挖掘新的隱含的遞推關(guān)系，從而把問題轉(zhuǎn)化為常見的遞推關(guān)系，與個(gè)位數(shù)或余數(shù)有關(guān)的問題，多從二項(xiàng)式定理去考慮.三、填空題15（2021上海華師大二附中高三月考）設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列前n項(xiàng)和為，且（且），若表示不超過x的最大整數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則_【答案】2021【分析】先求得，結(jié)合累加法求得，進(jìn)而求得，結(jié)合的意義求得.【詳解】（且）,即，整理得，所以從第二項(xiàng)起是等差數(shù)列，且公差為，所以時(shí)，也符合上式，所以.當(dāng)時(shí)，所以，也符合上式，所以.所以.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，所以.故答案為：16（2021重慶西南大學(xué)附中高三開學(xué)考試）設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列前n項(xiàng)和為，且（且

13、）若表示不超過x的最大整數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為_【答案】2023【分析】根據(jù)遞推公式，可知從第2項(xiàng)起是等差數(shù)列，可得，再根據(jù)累加法，可得，由此可得當(dāng)時(shí)，又，由此即可求出.【詳解】當(dāng)時(shí)，從第2項(xiàng)起是等差數(shù)列.又，當(dāng)時(shí)，（），當(dāng)時(shí)，.又，.故答案為：2023.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式、等差數(shù)列的概念，以及累加法在求通項(xiàng)公式中的應(yīng)用，屬于中檔題.17（2021江西省石城中學(xué)高一月考（文）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則_（其中表少不超過的最大整數(shù)）【答案】【分析】首先根據(jù)，代入整理可得，從而得到數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)，再通過裂項(xiàng)相消求和法結(jié)合題中的

14、定義即可求解.【詳解】解：由，當(dāng)時(shí)，所以或-1（舍去），當(dāng)時(shí)，整理得：，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，又因，所以，則，因?yàn)?，所以，?故答案為：2.18（2021江西省銅鼓中學(xué)高一月考（理）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則不超過的最大整數(shù)是_【答案】88【分析】由，可得時(shí)，解得，時(shí)，代入可得：，化為：，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出利用，時(shí)，右邊成立）可得：，再利用累加求和方法即可得出結(jié)論【詳解】解：，時(shí)，解得時(shí)，代入可得：，化為：，可得數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，解得，時(shí)，右邊成立）即，所以，所以，所以不超過的最大整數(shù)是88.故答案為：8819（2021全國高三專題

15、練習(xí)（文）已知表示不超過的最大整數(shù)，例如：，在數(shù)列中，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則 _.【答案】4956【分析】首先分別計(jì)算當(dāng)，時(shí)， 時(shí)的數(shù)值，再求即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.故答案為：20（2021四川石室中學(xué)一模（文）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在上，表示不超過的最大整數(shù)，則_【答案】【分析】先求得，再求得，進(jìn)而求得，然后用裂項(xiàng)求和求得，最后根據(jù)其范圍求得結(jié)果.【詳解】依題意可得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，因此，所以，故.故答案為：2020.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛： 本題考查的核心是裂項(xiàng)求和，使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特

16、點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的21（2021全國全國模擬預(yù)測）黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想研究的是無窮級(jí)數(shù)，我們經(jīng)常從無窮級(jí)數(shù)的部分和入手.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則_（其中表示不超過的最大整數(shù)）.【答案】18【分析】結(jié)合題意和和的關(guān)系，得到數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求得，又由當(dāng)時(shí)，得到，進(jìn)而求得，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，所以，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由，所以，所以，即，可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以.又當(dāng)時(shí)，符合上式，所以（）.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，即，所以.令，則，即，從而.故答案為：.22（

17、2021上海位育中學(xué)三模）已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，用表示實(shí)數(shù)的小數(shù)部分，如，記，則數(shù)列的前15項(xiàng)的和為_.【答案】5【分析】通過和可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即，由二項(xiàng)式定理結(jié)合題意可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，則，由和，解得，則.由，則，故答案為：5.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列中基本量的計(jì)算，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，對(duì)新定義的理解是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.四、雙空題23（2021北京師大附中高一月考）定義函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如：， 當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?）_.（2）集合中元素的個(gè)數(shù)為_.【答案】10 46 【分析】（1）根據(jù)定義求出；（2）先由題意求出，再求，接著求

18、出中包含的元素個(gè)數(shù)，即可求得.【詳解】（1） 表示不超過的最大整數(shù)，當(dāng)時(shí)，在各區(qū)間內(nèi)的元素個(gè)數(shù)為，所以中的元素個(gè)數(shù)為，中的元素個(gè)數(shù)為.故答案為：10；4624（2021福建三明一中模擬預(yù)測）黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題黎曼猜想研究的是無窮級(jí)數(shù)，我們經(jīng)常從無窮級(jí)數(shù)的部分和入手已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為且滿足，則_，_（其中表示不超過x的最大整數(shù)）【答案】 18 【分析】首先利用，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；利用數(shù)列的通項(xiàng)公式，放縮為，再利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算的范圍，即可求值.【詳解】當(dāng)時(shí)，即.，.當(dāng)時(shí)，代入，即，是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，.又當(dāng)時(shí)，符合上式，因此

19、（）.，.（以下用到的常用放縮技巧）當(dāng)時(shí)，即，.令，則，即，從而.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)學(xué)文化與數(shù)列相結(jié)合的綜合應(yīng)用，屬于難題，本題的關(guān)鍵是利用與的關(guān)系求的通項(xiàng)公式，本題的難點(diǎn)是第二問，需利用放縮法，再利用裂項(xiàng)相消法求和.25（2021廣東珠海高三月考）定義函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，記集合中元素的個(gè)數(shù)為，則（1）_；（2）_【答案】2 【分析】當(dāng)時(shí)，先求得的解析式，由此求得的值.求得在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)，由此求得，利用裂項(xiàng)求和法求得.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意得：，進(jìn)而得，所以在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)分別為：1，1；所以(2)解：根據(jù)題意得：，進(jìn)

20、而得，所以在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)為：，所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，集合中元素的個(gè)數(shù)為滿足：，所以，所以，所以故答案為：；【點(diǎn)睛】通項(xiàng)公式的分母是兩個(gè)等差數(shù)列乘積的形式的數(shù)列求和，可采用裂項(xiàng)求和法.五、解答題26（2021河南高三月考（文）已知公比大于的等比數(shù)列滿足，定義為不超過的最大整數(shù)，例如，記在區(qū)間（）上值域包含的元素個(gè)數(shù)為.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【分析】（1）直接根據(jù)等比數(shù)列公式得到方程組，解得答案，時(shí)，得到答案.（2），利用分組求和法計(jì)算得到答案.（1）由可得，因?yàn)楣?，所以，即，解得，所以，所?根據(jù)題意得，時(shí)，所以.（2）因?yàn)?，所?27（20

21、21福建高三月考）等差數(shù)列中，（1）求的通項(xiàng)公式；（2） 設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知條件求首項(xiàng)和公差，即可求得；（2）由（1）求得，再分別求出數(shù)列的前10項(xiàng)，即可求和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，解得，所以的通?xiàng)公式為；（2）由（1）知：，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為.28（2021福建泉州五中高二期中）已知函數(shù)的最小值為0，其中.（1）求的值（2）若對(duì)任意的，有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；（3）記，為不超過的最大整數(shù)，求的值.【答案】（1）1；

22、（2）；（3）.【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)，根據(jù)最小值列式求的值；（2）時(shí)，不成立，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況，根據(jù)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取，得，從而得到，可得，再證可得，即可求解.【詳解】（1），由，得；由，得；所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以.（2）當(dāng)時(shí)，取，有，故不合題意；當(dāng)時(shí)，令，令，可得，當(dāng)時(shí)，所以，恒成立，因此在上單調(diào)遞減，從而對(duì)任意的，總有，即對(duì)任意的，有成立，故符合題意當(dāng)時(shí)，對(duì)于，因此在內(nèi)單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)，即有不成立，故不合題意.綜上所述：，所以的最小值為；（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由（2）知

23、，取，得，從而，所以.又因?yàn)?，所以，令，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，即，又因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求不等式恒成立問題的方法（1）分離參數(shù)法若不等式（是實(shí)參數(shù)）恒成立，將轉(zhuǎn)化為或恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為或，求的最值即可.（2）數(shù)形結(jié)合法結(jié)合函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值或函數(shù)圖象的位置關(guān)系（相對(duì)于軸）求解.此外，若涉及的不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，可結(jié)合相應(yīng)一元二次方程根的分布解決問題.（3）主參換位法把變?cè)c參數(shù)變換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解，一般情況下條件給出誰的范圍，就看成關(guān)于誰的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解.29

24、（2021廣東南海高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，令，其中表示不超過的最大整數(shù)，.（1）求；（2）求；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)之和.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)，再根據(jù)定義即可求得答案；（3）當(dāng)時(shí)，且在數(shù)列中有個(gè)，設(shè)，數(shù)列的前m項(xiàng)的和為，求數(shù)列的前項(xiàng)之和即為求數(shù)列的前m項(xiàng)的和，利用錯(cuò)位相減法即可求得答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，等式也成立，所以；（2），則，因?yàn)椋裕唬?）當(dāng)時(shí)，且在數(shù)列中有個(gè)，設(shè)，數(shù)列的前m項(xiàng)的和為， 則，-得：，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)之和為.30（2021全國高二課時(shí)練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正

25、數(shù)的無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記表示不超過的最大整數(shù)，如，. 令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）320.【分析】（1）由得，進(jìn)而可知數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求出，最后利用與的關(guān)系求即可；（2）分情況討論取不同值時(shí)，的值，然后求和即可【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，因此，即. 當(dāng)時(shí)， 又符合上式， 故. （2）由（1）知， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 所以數(shù)列的前項(xiàng)和.31（2021浙江模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，.（1）數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若，求使成立(表示不超

26、過的最大整數(shù))的最大整數(shù)的值.【答案】（1），；（2）最大值為44.【分析】（1）由題得數(shù)列是等比數(shù)列，即求出數(shù)列的通項(xiàng)；由題得是一個(gè)以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求出，再求出即得解.【詳解】解：（1）由得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，解得.由，得，所以是一個(gè)以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，所以，解得.（2）由得，記，所以為單調(diào)遞減且，所以，因此，當(dāng)時(shí)，的的最大值為44；當(dāng)時(shí)，的的最大值為43；故的的最大值為44.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一：求出，其二：求出.32（2021全國高三專題練習(xí)（理）高斯函數(shù)中用表示不超過的最大整數(shù)，對(duì)應(yīng)的為的小數(shù)部分

27、，已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足已知函數(shù)在上單調(diào)遞減（1）若數(shù)列，其前項(xiàng)為，求（2）若數(shù)列（即為的小數(shù)部分），求的最大值【答案】（1）3；（2）【分析】（1）由數(shù)列的前項(xiàng)和為可求出其通項(xiàng)公式，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，即可得到當(dāng)時(shí)，然后分別求出，即可求出；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，所以，由單調(diào)性可知此時(shí)最大為，再分別求出，即可得到的最大值【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)也滿足，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又，的最大值為33（2021廣東汕頭三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，若表示不超過x的最大整數(shù)，如，.

28、（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前2020項(xiàng)的和.【答案】（1）；（2）3842.【分析】（1）由已知得，即，再利用可得答案；（2）分、時(shí)得的值可得答案.【詳解】（1）數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又也適合上式，所以.（2），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故數(shù)列的前2020項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列求通項(xiàng)公式、新定義性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用求得通項(xiàng)公式，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力和計(jì)算能力.34（2021全國高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.（1）求證；數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若表示不超過的最大整數(shù)，

29、如，求證：.【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.【分析】(1)用替換給定關(guān)系式中，求出的關(guān)系，由此求出，進(jìn)而求得；(2)對(duì)進(jìn)行適當(dāng)放大為，再利用裂項(xiàng)相消法求其前n項(xiàng)和，再確定這個(gè)和所在區(qū)間即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即，而，有，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列；，則，當(dāng)時(shí)，又滿足上式，所以的通項(xiàng)公式為；（2），當(dāng)時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，所以對(duì)任意的，都有，又，所以.所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.35（2021浙江溫嶺中學(xué)高三月考）正項(xiàng)等差數(shù)列和等比數(shù)列bn滿足.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列，求最大整數(shù)，使得.【答案】（1）an=n，bn=2n；（2）9.【分析】（1）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，則時(shí)，兩式相減可得，再將代入，利用基本量運(yùn)算可得數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求出，利用裂項(xiàng)相消法求和，構(gòu)造函數(shù)f(x)=2xx，x2，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和最值，可得出最大整數(shù)【詳解】（1）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列an的公差為d0，等比數(shù)列bn的公比為q.時(shí)，又，可得時(shí)，相減可得：，時(shí)，.解得：d=1，q=2，.an=1+