新高考數(shù)學(xué)二輪專題《圓錐曲線》第7講 共線問題（解析版）

1、第7講 共線問題一、解答題 1已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上，離心率，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為, 直線l與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且.（1）求橢圓方程；（2）求的取值范圍【答案】（1）y21（2）（1，）（，1）【詳解】（1）由條件知ac1，a1，bc，故C的方程為：y21（2）設(shè)l：ykx+m與橢圓C交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立得（k2+2）x2+2kmx+（m21）0（2km）24（k2+2）（m21）4（k22m2+2）0 （*）x1+x2，x1x2 3，x13x2x1+x22x2，x1x23x22，消去x2，得3（x1+x2）

2、2+4x1x20，3（）2+40整理得4k2m2+2m2k220 m2時(shí)，上式不成立；m2時(shí)，k2，因3，k0，k20，1m或m1容易驗(yàn)證k22m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范圍為（1，）（，1）2已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)A作斜率為的直線與C相交于A，B，且，O坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的離心率e；（2）若，過點(diǎn)F作與直線平行的直線l，l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn).（）求的值；（）點(diǎn)M滿足，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求的值.【答案】（1）；（2）（）；（）.【分析】（1）由幾何關(guān)系可得點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即得，又即得；（2）（）將直線與橢圓聯(lián)立即得結(jié)果；（）將其坐標(biāo)化，利用

3、P，Q，N在橢圓上求得結(jié)果即可【詳解】（1）已知，則，代入橢圓C的方程：，（2）（）由（1）可得，設(shè)直線l：，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程：恒成立（）設(shè)P，Q，N在橢圓上，由（）可知，3已知曲線.（1）若曲線C表示雙曲線，求的范圍；（2）若曲線C是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的范圍；（3）設(shè)，曲線C與軸交點(diǎn)為A，B（A在B上方），與曲線C交于不同兩點(diǎn)M，N，與BM交于G，求證：A，G，N三點(diǎn)共線.【答案】（1）；（2）；（3）見解析【分析】（1）若曲線表示雙曲線，則：，解得的范圍；（2）若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得的取值范圍；（3）聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合，解得，設(shè)，求出的方程，可得，從而可得，欲證，

4、三點(diǎn)共線，只需證，共線，利用韋達(dá)定理，可以證明【詳解】（1）若曲線表示雙曲線，則：，解得：.（2）若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則：，解得：（3）當(dāng)，曲線可化為：，當(dāng)時(shí)，故點(diǎn)坐標(biāo)為：，將直線代入橢圓方程得：，若與曲線交于不同兩點(diǎn)，則，解得，由韋達(dá)定理得：，設(shè)，方程為：，則，欲證，三點(diǎn)共線，只需證，共線，即，將代入可得等式成立，則，三點(diǎn)共線得證【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三點(diǎn)共線，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，屬于中檔題.4已知圓O的方程為，圓O與y軸的交點(diǎn)為A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方)，直線與圓O相交于M，N兩點(diǎn)（1）當(dāng)k=1時(shí)，求弦

5、長；（2）若直線y=4與直線BM交于點(diǎn)D，求證：D、A、N三點(diǎn)共線.【答案】（1）；（2）證明見解析；【分析】（1）先求出圓心到直線的距離，再由代入計(jì)算即可；（2）聯(lián)立，借用韋達(dá)定理表示出，證明，即可證明D、A、N三點(diǎn)共線.【詳解】（1），直線l的方程為.圓心到直線的距離，；（2）由題可得，設(shè)，聯(lián)立得：，令，得，D、A、N三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓的弦長的求解，韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.5已知橢圓： 的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為， 為原點(diǎn)， ， 是軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，直線和分別與橢圓交于， 兩點(diǎn)（）求的面積的最小值；（）證明： ， ， 三點(diǎn)共線.【答案】（1

6、）1；（2）詳見解析?！窘馕觥吭囶}分析：（）設(shè)， ，然后根據(jù)求得的值，從而得到的表達(dá)式，從而利用基本不等式求出最小值，；（）首先設(shè)出直線的方程，然后聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，從而使問題得證試題解析：（）設(shè)， ，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，四邊形的面積的最小值為1（）， ，直線的方程為，由得，由，得，同理可得， 故由可知： ，代入橢圓方程可得，故， 分別在軸兩側(cè)， ， ， 三點(diǎn)共線點(diǎn)睛:解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判

7、別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法6已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線C交于兩點(diǎn).（1）若直線l的方程為，求的值；（2）若直線l的斜率為2，l與y軸的交點(diǎn)為P，且，求.【答案】（1）18；（2）.【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去，由韋達(dá)定理可得，由拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等即可得結(jié)果.（2）可設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理以及可解出，根據(jù)弦長公式即可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，.聯(lián)立整理得， 則. 因?yàn)榫趻佄锞€C上，所以. （2）設(shè)，則直線l的方程為.聯(lián)立整理得， 則，且，即. 因?yàn)椋渣c(diǎn)N為線段的中點(diǎn)，

8、所以. 因?yàn)?，所以，此時(shí)， 故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，直線與拋物線相交時(shí)所得的弦長問題，注意拋物線性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.7已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線與的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為.（1）若，求直線的方程；（2）若，求線段的長度.【答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)直線方程為，直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系求出，進(jìn)而得出建立的方程，求解即可；（2）由，得，結(jié)合（1）中的關(guān)系，即可求出結(jié)論.【詳解】 設(shè)直線方程為，聯(lián)立由得，.由拋物線的定義知所以，滿足，符合題意，所以直線方程為.由（1）得.由得，解得，滿足，符合題意，所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系

9、，要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系在解題的中應(yīng)用，不要遺漏兩交點(diǎn)存在滿足的條件，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8在平面直角坐標(biāo)系中，A（1.0），B（1，0），設(shè)ABC的內(nèi)切圓分別與邊AC，BC，AB相切于點(diǎn)P，Q，R，已知|CP|1，記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）過G（2，0）的直線與y軸正半軸交于點(diǎn)S，與曲線E交于點(diǎn)H，HAx軸，過S的另一直線與曲線E交于M、N兩點(diǎn)，若SSMG6SSHN，求直線MN的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由橢圓定義可知，曲線E為除去與x軸的交點(diǎn)的橢圓，由定義即可求出方程；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），依題意可得即有x13x

10、2，分直線MN斜率存在及不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)易知不符合條件，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由此建立等式，解出即可得到答案.【詳解】（1）由題意知，|CA|+|CB|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|2|CP|+|AB|4|AB|，曲線E是以A，B為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓（除去與x軸的交點(diǎn)），設(shè)曲線E：，則c1，2a4，即a2，b2a2c23，曲線E的方程為；（2）因?yàn)镠Ax軸，所以，設(shè)S（0，y0），解得y01，則S（0，1），因?yàn)閍2c，所以|SG|2|SH|，則，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，則x13x2，當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，MN的方程為x0，

11、此時(shí)，不符合條件，舍去；當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為ykx+1，聯(lián)立，得（3+4k2）x2+8kx80，將x13x2代入得，解得，直線MN的方程為或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查定義法求軌跡，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是由SSMG6SSHN通過合適的面積公式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而找到的橫坐標(biāo)關(guān)系，再通過直線與橢圓聯(lián)立，由韋達(dá)定理建立等式解出9已知橢圓=1（ab0）的右焦點(diǎn)為F（2，0），且過點(diǎn)（2，）（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l：y=kx（k0）與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為M，過點(diǎn)F且斜率為-1的直線與l交于點(diǎn)N，若sinFON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求k的值【答案】（1

12、）；（2）或【分析】（1）根據(jù)題意列出有關(guān)a2、b2的方程組，求出這兩個(gè)數(shù)的值，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)N的坐標(biāo)（x2，y2），利用已知條件sinFON，得出，然后將直線l的方程分別與橢圓方程和直線NF的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，結(jié)合條件可求出k的值【詳解】（1）由題意可知，解得a216，b212（負(fù)值舍去），所以橢圓方程為；（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)，由題可知，故，因?yàn)?，而，所以，由，可得，所以，由，消去x，可得，易知直線NF的方程為，由，消去x，可得，所以，整理得52k296k+270，解得或【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的綜合問題，考查橢圓方程

13、的求解，考查直線與橢圓綜合問題的求解，解決本題的關(guān)鍵在于求出一些關(guān)鍵的點(diǎn)和直線方程，考查計(jì)算能力，屬于中等題10如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的半焦距為c,且過點(diǎn),原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線的距離為.(1)求橢圓E的方程;(2)A為橢圓E上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn),點(diǎn)P滿足,過點(diǎn)P的直線交橢圓E于B,C兩點(diǎn),且,若直線OA,OB的斜率之積為,求證:.【答案】（1）.（2）見解析【詳解】試題分析：（1）利用點(diǎn)到直線距離公式得等量關(guān)系：,即a=2b.再利用點(diǎn)在橢圓上的條件得,解得a=2,b=1,（2）設(shè)化簡,得,代入橢圓方程得，再根據(jù)直線OA,OB的斜率之積為,得，即得.試題解析

14、：(1)過點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點(diǎn)O到直線的距離為,得a=2b.又橢圓過點(diǎn),則,聯(lián)立得a=2,b=1,所以橢圓方程為.(2)證明:設(shè)因?yàn)?又,得,故,代入橢圓方程得:,整理得.因?yàn)锳,B在橢圓E上,所以,又直線OA,OB的斜率之積為即.將兩式代入(1)得.點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).11已知橢圓C：上的點(diǎn)

15、到右焦點(diǎn)F的最大距離為，離心率為求橢圓C的方程；如圖，過點(diǎn)的動(dòng)直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，直線l的斜率為，A為橢圓上的一點(diǎn)，直線OA的斜率為，且，B是線段OA延長線上一點(diǎn)，且過原點(diǎn)O作以B為圓心，以為半徑的圓B的切線，切點(diǎn)為令，求取值范圍【答案】(1)；(2)【分析】依題，結(jié)合離心率求得a與c的值，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；由已知可得直線l的方程，與橢圓C：聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長公式求得弦，寫出OA所在直線方程，與橢C：聯(lián)立求得，得到，利用換元法求得的范圍，把轉(zhuǎn)化為含的代數(shù)式求解【詳解】依題，解得，橢圓C的方程為；由已知可得直線l的方程為：，與橢圓C：聯(lián)立，得，由題

16、意，設(shè)，則，弦，OA所在直線方程為，與橢C：聯(lián)立，解得，令，則，則，得到，令，由知，換元得：，其中【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與圓、圓與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬難題12已知拋物線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)是的焦點(diǎn)，且.(1)求與的方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在第一象限內(nèi)，橢圓上是否存在點(diǎn)，使過作的垂線交拋物線于，直線交軸于，且?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的面積；若不存在，說明理由.【答案】(1) (2) 見解析【分析】（1）利用拋物線的定義求，點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出，的值；（2）設(shè)出，的方程與橢圓、拋物線分別聯(lián)立，求出的橫坐標(biāo)，利用，即可得出結(jié)論【詳解】（1）由拋物線定義：，所以的方程

17、為，將代入得，即，將代入，得，故方程為.即 （2）由題意：直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為，由于，則的方程為，由得由，得，得（舍）或 在第一象限內(nèi)，若滿足的點(diǎn)存在，則，此時(shí)，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，由于，所以，故，即為線段中點(diǎn)，因此，即，解得，故存在適合題意的，此時(shí)， 此時(shí) 方程為，即，點(diǎn)到的距離，所以【點(diǎn)睛】本題考查拋物線、橢圓的方程，考查直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題13在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，其右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓C上求橢圓C的方程；設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，M是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線MF交橢圓C于另一點(diǎn)N，直線M

18、B交直線于Q點(diǎn)，求證：A，N，Q三點(diǎn)在同一條直線上【答案】（1） （2）見解析【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為，由題意可得，解方程組即可.（2）設(shè)，直線MN的方程為，由方程組，消去整理得，根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量即可求出，且向量和有公共點(diǎn)，即可證明【詳解】（1）不妨設(shè)橢圓的方程為，.由題意可得，解得，故橢圓的方程.（1）設(shè)，直線的方程為，由方程組，消去x整理得，直線的方程可表示為，將此方程與直線成立，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，向量和有公共點(diǎn)，三點(diǎn)在同一條直線上【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的關(guān)系，向量問題等基礎(chǔ)知識，考查了運(yùn)算求解能力，推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，應(yīng)用意識，是中檔題1

19、4已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，若點(diǎn)在拋物線上，且求拋物線的方程；動(dòng)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在定點(diǎn)其中，使得向量與向量共線其中為坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）存在，.【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義可得的坐標(biāo)，代入拋物線方程，解得，進(jìn)而得到拋物線的方程；在軸上假設(shè)存在定點(diǎn)其中，使得與向量共線，可得軸平分，設(shè)，聯(lián)立和，根據(jù)恒成立，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡整理可得的方程，求得，可得結(jié)論【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，即有，即，則，解得，則拋物線的方程為；在x軸上假設(shè)存在定點(diǎn)其中，使得與向量共線，由，均為單位向

20、量，且它們的和向量與共線，可得x軸平分，設(shè)，聯(lián)立和，得，恒成立，設(shè)直線DA、DB的斜率分別為，則由得，聯(lián)立，得，故存在滿足題意，綜上，在x軸上存在一點(diǎn)，使得x軸平分，即與向量共線【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程、定義和性質(zhì)，以及直線和拋物線的位置關(guān)系、轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用，屬于綜合題存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論.當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件.當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法很難時(shí)，采取另外的途徑.15已知圓，圓， ，當(dāng)兩個(gè)圓有公共點(diǎn)時(shí)，所有可能的公共點(diǎn)組成的曲線記為.（1）求出曲線的方程

21、；（2）已知向量， ， ， 為曲線上不同三點(diǎn)， ，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）看到具有對稱性所以要聯(lián)想到橢圓或雙曲線的定義，曲線上的點(diǎn)滿足,曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓（2），三點(diǎn)共線，且直線的斜率為，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，借助弦長公式求得三角形的底邊長，利用橢圓得參數(shù)方程設(shè)出動(dòng)點(diǎn)設(shè)，利用點(diǎn)到直線距離公式求得高的最大值，從而得三角形面積最大值試題解析：（1）曲線上的點(diǎn)滿足,曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓曲線的方程是 （2），三點(diǎn)共線，且直線的斜率為，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得， . 設(shè)，到直線的距離，的最大值為.點(diǎn)睛：看到此類題首先聯(lián)想到圓錐曲線的三個(gè)方程定義，根據(jù)

22、定義得幾何關(guān)系從而確定方程求解，在求三角形面積最值問題時(shí)首先明確其表達(dá)式一般是算弦長，算高，對于本題而言，要特別注重參數(shù)方程在此題得應(yīng)用，這樣求解高顯得很簡單16已知方向向量為的直線過點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）若已知點(diǎn)，點(diǎn)M,N是橢圓C上不重合的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出直線方程可得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合離心率，以及列方程求得的值，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)出直線的方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用，結(jié)合韋達(dá)定理得，結(jié)合的范圍，得到關(guān)于的不等式，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）直線的方向向量為直線的斜率為，又直線過點(diǎn)直線的

23、方程為，橢圓的焦點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)橢圓的焦點(diǎn)為，又，橢圓方程為（2）設(shè)直線MN的方程為由，得設(shè)坐標(biāo)分別為則(1)(2)0,，顯然，且代入(1) (2)，得,得，即解得且【點(diǎn)睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組，解出，從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡單.17已知橢圓的焦點(diǎn)為，P是橢圓C上一點(diǎn).若橢圓C的離心率為，且，的面積為.（1）求橢圓C的方程；（2）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，過點(diǎn)（2，0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn).若點(diǎn)滿足，求的最小值.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意可得方程組聯(lián)立，解得b，a，進(jìn)