專題01 有理數(shù)思維導(dǎo)圖及習(xí)題(解析版)

1、【思維導(dǎo)圖】正故a0a5!故專題01有理數(shù)LEJffc3gSJ-M-E細虺対嵐敏1特狂-員敗施跨也是它生珥反蚊歇耙上網(wǎng)尿01就應(yīng)jb亦、ie涇冋，單ta世癥三畫f嶽軸上的毎一亍點郵可L；煒L亍有世叛數(shù)軸時遷戰(zhàn)粧上的點到原點旳距離饑含判地大的故a而jeBfty夸理蚊略笛呂咽絶3才H柜同有珪數(shù)V-SMJ貫整數(shù)正鍛貫甘款正竝3!1柜反BUSE.Et閏相刖p冋她嘶&嘲10的航如0亙?yōu)閱璺凑遄⒏槃?為0.互品愿斂罵珂汗J5論對伍品.=運算運算規(guī)禪&矗方:“迅輕法）磁B【知識要點】知識點一有理數(shù)基礎(chǔ)概念有理數(shù)（概念理解）正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。負(fù)數(shù)：正數(shù)前面加上符號“-”的數(shù)叫負(fù)數(shù)。有理數(shù)的分類（兩種

2、）（見思維導(dǎo)圖）數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度（重點）任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，有理數(shù)與數(shù)軸上的點是二一對應(yīng)的。數(shù)軸上的點表示的數(shù)從左到右依次增大；原點左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，原點右邊的數(shù)是正數(shù).【注意】數(shù)軸是一條直線，可向兩段無限延伸。在數(shù)軸上原點，正方向，單位長度的選取需根據(jù)實際情況而定。相反數(shù)只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).（絕對值相等，符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)）絕對值絕對值的概念：一班數(shù)軸上表示a的數(shù)與原點之間的距離叫做數(shù)a的絕對值。絕對值的意義正數(shù)的絕對值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。（互為相反數(shù)的

3、兩個數(shù)的絕對值相等。）比較大小1）數(shù)軸上兩個點表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。2）正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。3）兩個負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小。4）兩個正數(shù)比較，絕對值大的反而大。常用方法：數(shù)軸比較法、差值比較法、商值比較法、絕對值比較法等。知識點二有理數(shù)四則運算有理數(shù)的加法（重點）有理數(shù)的加法法則：（先確定符號，再算絕對值）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；異號兩數(shù)相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（如果兩個數(shù)的和為0，那么這兩個數(shù)互為相反數(shù)）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。有理數(shù)的加法運算律：加法交換

4、律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a+b二b+a；加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。(a+b)+(b+c)有理數(shù)的減法有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即ab=a+（注：兩個變化：減號變成加號：減數(shù)變成它的相反數(shù)。有理數(shù)的加減混合運算規(guī)則：運用減法法則將加減混合運算統(tǒng)一為加法講行運算步驟：（1）減法化加法；（2）省略括號和加號；（3）運用加法運算律使計算簡便；（4）運用有理數(shù)加法法則進行計算。注：運用加法運算律時，可按如下幾點進行:（1）同號的先結(jié)合；（2）同分母的分?jǐn)?shù)或者比較容易通分的分?jǐn)?shù)相結(jié)合；（3）互為相反數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；（

5、4）能湊成整數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；（5）帶分?jǐn)?shù)一般化為假分?jǐn)?shù)或者分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩部分，再分別相加有理數(shù)的乘法（重點）有理數(shù)的乘法法則：（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。2）任何數(shù)同0相乘，都得0.倒數(shù)：乘積是1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。0沒有倒數(shù)。（數(shù)(a豐0)1的倒數(shù)是a）多個有理數(shù)相乘的法則及規(guī)律：（1）幾個不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負(fù)數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)。確定符號后，把各個因數(shù)的絕對值相乘。（2）幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積為0；反之，如果積為0，那么至少有一個因數(shù)是0.注：帶分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘時，通常把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再與分?jǐn)?shù)相乘。有理數(shù)的乘法運算

6、律乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即axb=bxa。乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。(axb)(bxc)乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加。即ax（b+c）=axb+axc。有理數(shù)的除法有理數(shù)除法法則：（i）除以一個不為o的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。即a*b=（2）兩數(shù)相除（被除數(shù)不為0）,同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。0除以任何不為0的數(shù)，都得0。步驟：先確定商的符號，再算出商的絕對值。有理數(shù)的乘除混合運算運算順序：從左往右進行，將除法化成乘法后，進行約分計算。（注：帶分?jǐn)?shù)應(yīng)首先化為假分

7、數(shù)進行運算）有理數(shù)的四則混合運算運算順序：先乘除，后加減，有括號要先算括號里面的。注：除法一般先化為乘法，帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，合理使用運算律知識點三有理數(shù)的乘方乘方（重點）一般地，n個相同的因數(shù)a相乘，即，記作an，讀作a的n次方。求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。an讀作a的n次方，也可以讀作a的n次幕。當(dāng)?shù)讛?shù)為分?jǐn)?shù)時，要先用括號將底數(shù)括上，再在其右上角寫指數(shù)，指數(shù)要寫的小些。乘方的規(guī)律：負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)。正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次幕都是0.有理數(shù)乘方的運算方法：1.根據(jù)乘方的符號規(guī)律確定結(jié)果的符號。2計

8、算結(jié)果的絕對值。有理數(shù)的混合運算運算順序：（1）先乘方，再乘除，最后加減（2）同級運算，從左到右進行；（3）如有括號，先算括號里的，按小括號、中括號、大括號的順序?？茖W(xué)記數(shù)法把一個大于10的數(shù)記成a%1的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)（即1卩|1）,n是正整數(shù)，這樣的記數(shù)方法叫科學(xué)記數(shù)法。（用科學(xué)記數(shù)法表示一個數(shù)時，10的指數(shù)比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1.）把aX10n還原成原數(shù)時，只需把a的小數(shù)點往前移動n位。近似數(shù)和有效數(shù)字在實際問題中，由“四舍五入”得到的數(shù)或大約估計的數(shù)都是近似數(shù)。（近似數(shù)小數(shù)點后的末位數(shù)是0的，不能去掉0.）一個近似數(shù)從左邊第一位非0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是

9、這個數(shù)的有效數(shù)字。一個近似數(shù)有幾個有效數(shù)字，就稱這個近似數(shù)保留幾個有效數(shù)字。精確度：表示一個近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度。一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就稱這個數(shù)精確到哪一位?！究紪祟}型】16、耳、-0.0010001中，有理數(shù)有（）A.1個B.2個C.3個D.4個考査題型一有理數(shù)概念理解【解題思路】理解有理數(shù)的定義，熟練掌握與正確理解有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵。TOC o 1-5 h z22兀典例1.（2020.西安一模）在不，-，1.62,0四個數(shù)中，有理數(shù)的個數(shù)為（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【提示】根據(jù)有理數(shù)的定義，即可解答.22兀22【詳解】在萬，-，1.62,0四個數(shù)中，有理數(shù)為

10、萬，1.62,0,共3個，故選：B.變式1-1.（2020南京市模擬）設(shè)a是最小的自然數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c是絕對值最小的有理數(shù)，a，b，c三個數(shù)的和為（）A.-1B.0C.1D.不存在【答案】A【提示】先根據(jù)題意得到a、b、c的值，再相加即可得到結(jié)果.【詳解】解：由題意得a=0,b=-1，c=0，則a+b+c=-1.故選A.變式1-2.（2020.濱州市期末）在下列實數(shù)：寧、誇、西、【答案】D【提示】由題意根據(jù)有理數(shù)的定義：整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，進行提示即可判斷.【詳解】解：T命27=3,pl6=4,327,16，+,-0.0010001是有理數(shù)，其它的是無理數(shù).有理數(shù)有4個.典例3.（2

11、020吉林中考真題）-6的相反數(shù)是（）故選：D.考查題型二用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)【解題思路】在數(shù)軸上，原點左邊的點表示的是負(fù)數(shù)，原點右邊的點表示的是正數(shù)，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大.典例2.（2020.興化市模擬）如圖，數(shù)軸上兩點A,B表示的數(shù)互為相反數(shù)，則點B表示的（）0JA.-6B.6C.0D.無法確定【答案】B【解析】一6的相反數(shù)是6,A點表示一6，所以，B點表示6故選答案B.變式2-1.（2020.三門峽市模擬）如圖，數(shù)軸上蝴蝶所在點表示的數(shù)可能為（）A.3B.2C.lD.1【答案】D【提示】直接利用數(shù)軸得出結(jié)果即可.【詳解】解：數(shù)軸上蝴蝶所在點表示的數(shù)可能為-1,故選D.【

12、點睛】本題考查了有理數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系，任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，在數(shù)軸上，原點左邊的點表示的是負(fù)數(shù)，原點右邊的點表示的是正數(shù)，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大變式2-2.（2020福建中考真題）如圖，數(shù)軸上兩點M，N所對應(yīng)的實數(shù)分別為m，n，則m-n的結(jié)果可能是（）-2-1012A.-1B.1C.2D.3【答案】C【提示】根據(jù)數(shù)軸確定m和n的范圍，再根據(jù)有理數(shù)的加減法即可做出選擇.【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可得ovm1，-2VnV-1，則1Vm-n3。故選：C【點睛】本題考查的知識點為數(shù)軸，解決本題的關(guān)鍵是要根據(jù)數(shù)軸明確m和n的范圍，然后再確定m-n的范圍即可.考查題型三求一個數(shù)的

13、相反數(shù)【解題思路】理解相反數(shù)的概念A(yù).-6B.-C.6D.-66【答案】C【提示】根據(jù)相反數(shù)的定義，即可解答.【詳解】6的相反數(shù)是：6,故選C.變式3-1.（2020.杭州市模擬）A，B是數(shù)軸上兩點，線段AB上的點表示的數(shù)中，有互為相反數(shù)的是（）C.D.,【答案】B【解析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)到原點的距離相等，并且在原點的兩側(cè)，可知只有B答案正確.故選B.變式3-2.（2020.山東濱州市中考真題）下列式子中，正確的是（）I-51=-5B.-I-51=5C.-（-5）=-5D.-（-5）=5【答案】D【解析】試題解析：A.1-51=5，故原選項錯誤；-I-51=-5，故原選項錯誤；-（-5）

14、=5,故原選項錯誤；-（-5）=5，故正確.故選D.考査題型四求一個數(shù)的絕對值【解題思路】一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.典例4.（2020.甘肅蘭州市中考真題）-2020的絕對值是（）1D.20201A.-2020B.2020C.-2020【答案】B【提示】根據(jù)絕對值的定義直接解答.【詳解】解：根據(jù)絕對值的概念可知：|2020|=2020，故選：B.變式4-1.（2020河北模擬）-|一丁習(xí)的值為（）D.2A.運B.邁C.土邁【答案】B【提示】根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行計算，即可得到答案.【詳解】解：IP2I=2.故選：B.變式4-2.（2020.北碚區(qū)模擬

15、）已知Ia|=3,b=4，且ab0，則a-b的值為（）A.1或7B.1或-7C.1D.7【答案】D【提示】根據(jù)絕對值的意義，結(jié)合ab0，求出a、b的值，然后即可得到答案.【詳解】解：T|a|=3,|b|=4，a=3，b=4/ab0a=3，b=-4或a=3，b=4ab=3（4）=7或ab=34=7ab=7故選：D.考査題型五有理數(shù)比較大小【解題思路】理數(shù)大小比較的法則：正數(shù)都大于0；負(fù)數(shù)都小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而小。典例5.（2020.河北模擬）在0,-1,0.5，（-1）2四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）A.0B.-1C.0.5D.（-1）2【答案】B【提示】有理數(shù)大小比

16、較的法則：正數(shù)都大于0;負(fù)數(shù)都小于0;正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而小，據(jù)此判斷即可.【詳解】解：根據(jù)有理數(shù)比較大小的方法，可得-100.5bB.b1C.abD.1bVa1【答案】D【提示】根據(jù)相反數(shù)的定義大致標(biāo)出-a和-b的位置，再根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)來逐一判斷即可【詳解】解:在數(shù)軸上大致標(biāo)出-a和-b的位置，如下圖，-2-1012可得a-1,故B項錯誤；-ab，故C項錯誤；I-b1A.點MB.點NC.點PD.點Q【答案】C【解析】點M,N表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，原點的位置大約在O點，.絕對值最小的數(shù)的點是P點，故選C.)Q0P0考査題型六有理數(shù)的加減乘除混合運算

17、【解題思路】針對有理數(shù)的混合運算，掌握有理數(shù)的運算順序和各個運算法則是解題關(guān)鍵.典例6.(2020新疆中考真題)計算：(j)2+|+6-3-44.【答案】扛【詳解】解：(-+-72|+(i3-44=1+邁+1-2變式6-1.(2020廣西中考真題)計算：-(-1)+32一(1一4)x2.【答案】-5【詳解】-(-1)+32三(14)x2=1+9三(-3)x2=-44二1-3x2=1+(-6)=5變式7-2.（2020浙江模擬）計算:1)12-(-18)+(-7)-152）(-4)x8-(16)11I3丿3）(3511)+(4612丿x(-24)4）-14-(1-0.5)x1x2-(-3)23【

18、答案】(1)8；(2)-44；(3)-20；(4)16提示】1）根據(jù)有理數(shù)的減法法則和加法法則計算即可；2）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則、除法法則和減法法則計算即可3）根據(jù)乘法分配律和各個運算法則計算即可；4）根據(jù)有理數(shù)的運算順序和各個運算法則計算即可詳解】解：(1)12-(-18)+(-7)-15=12+18+(-7)-15=30+(-7)-15=23-15=8(1)(2)(-4)x8-(-16)十-1-k3丿(3)=-32-(-16)x-k4丿=-32-12TOC o 1-5 h z(3511)3)x(24)+(4612丿511=x(24)x(24)+x(24) HYPERLINK l bookmark140 o Current Document 612=18+2022=201(4)14(10.5)xx2(3)23=1-x-x2-923=1+7616考查題型七科學(xué)記數(shù)法【解題思路】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10n的形式，其中K|a|1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值1時，n是負(fù)數(shù).典例7.(2020甘肅蘭州市中考真題)據(jù)中國電子商務(wù)研究中心(100EC.CN)發(fā)布2017年度