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文檔簡介

1、4.2 泰勒級數一、問題的引入二、泰勒定理三、將函數展開成泰勒級數第1頁，共23頁。一、問題的引入反之, 任一個解析函數在其解析區(qū)域能否用冪級數來表示？問題: 任一個冪級數的和函數在其收斂圓內為解析函數其中泰勒級數泰勒展開式為到的邊界上各點的最短距離, 設在區(qū)域內解析,為 內的一點,成立,時,當那么二、泰勒定理第2頁，共23頁。如圖:.內任意點.K.證明：第3頁，共23頁。由柯西積分公式 , 有其中 K 取正方向.則.K.第4頁，共23頁。第5頁，共23頁。其中可知在K內第6頁，共23頁。從而在K內 圓周的半徑還可以增大,只要內即可.在的泰勒展開式在泰勒級數稱為如果到的邊界上各點的最短距離為那

2、么在的泰勒展開式在 內仍成立特別地，【證畢】第7頁，共23頁。說明:yxz0aO第8頁，共23頁。那么即因此, 任何解析函數展開成冪級數的結果就是泰勒級數, 因而是唯一的.2. 解析函數在一點處的冪級數展開式是唯一的事實上, 3. 由泰勒定理及冪級數的性質得:函數在一點解析的充要條件是它在該點的鄰域內可以展開為冪級數第9頁，共23頁。三、將函數展開成泰勒級數常用方法: 直接法和間接法.1.直接法:由泰勒展開定理計算系數第10頁，共23頁。2. 間接展開法 : 借助于一些已知函數的展開式 , 結合解析函數的性質、 冪級數運算性質 (代換法、逐項求導、 積分等), 求函數的泰勒展開式.間接法的優(yōu)點

3、: 不需要求各階導數, 因而比直接展開更為簡潔 , 使用范圍也更為廣泛 .第11頁，共23頁。例11）直接法第12頁，共23頁。例2第13頁，共23頁。課堂練習第14頁，共23頁。2) 間接展開法 :a) 代換法 :第15頁，共23頁。例4解第16頁，共23頁。例5解上式兩邊逐項求導,b) 逐項求導法 :第17頁，共23頁。例6分析如圖,c) 逐項積分法 :第18頁，共23頁。即 將上式兩端沿 C 逐項積分, 得解第19頁，共23頁。附: 常見函數的泰勒展開式熟練掌握第20頁，共23頁。第21頁，共23頁。作業(yè)：P67 4.4 （1）、（4） 4.5 （1）、（3）第22頁，共23頁。泰勒資料非凡的數學家 泰勒Brook TaylorBorn: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 De

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