2021年高考北師版(理科)數(shù)學一輪復習講義：第8章第7節(jié)雙曲線

1、第七節(jié)雙曲線考綱 1.了解雙曲線的實際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單的幾何性質(zhì). 3.了解雙曲線的簡單應(yīng)用.4.理解數(shù)形結(jié)合的思想.抓基礎(chǔ)自主學習|知識梳理.雙曲線的定義(1)平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|FiF2|) 的點的集合叫作雙曲線，定點 F1, F2叫作雙曲線的焦點,兩個焦點之間的距離 叫作雙曲線的焦距.(2)集合 P=M|MF1|MF2|= 2a, |FF2| = 2c,其中a, c為常數(shù)且a0, c0.當2a|F1F2|時.M點不存在.雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方

2、程X2一2 ay2b2=1（a0, b0）y2 x2g-b2=1（a。, b0）圖形nF 一 i性質(zhì)范圍xa, y C RxC R, y0a 或 y a對稱性對稱軸：坐標軸、對稱中心：原點頂點A1（-a,0）, A2（a,0）A1（0, a）,A2（0,a）漸近線yxaa-yzuax離心率C，一，-ne=二，eC (1, +qq),其中 c=a2+b2a, b, c的關(guān)系c2 = a2+ b2(ca0, cb0)學情自測 1.(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤.(正確的打“，錯誤的打“x )(1)平面內(nèi)到點F 1(0,4), F2(0, 4)距離之差的名對值等于8的點的軌跡是雙 曲線.() TOC

3、 o 1-5 h z 22(2)方程專一(=1(mn0)表示焦點在x軸上的雙曲線.()(3)雙曲線方程mx2Xm0, n0,后0)的漸近線方程是m2=0,即 = 0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于,2.()答案(1)X (2)X ，2.(教材改編)雙曲線/一七=1(a0)的離心率為2,那么a=()A. 2BqD. 1B. 2c. 2c 二a2土3 TOC o 1-5 h z e= a=a =2,a2 + 3=2a,那么 a2=1, a=1.22(2021福州質(zhì)檢)假設(shè)雙曲線E: X 常=1的左、右焦點分別為F1, F2,點P在雙曲線E上，且|PF1|=3,那么|PF2|等于(

4、)【導學號：57962406】A. 11B. 9C. 5D. 3B 由題意知 a = 3, b = 4, ；c=5.由雙曲線的定義 |PF1|PF2|= |3一|PF2|= 2a=6, 產(chǎn)2| = 9.（2021全國卷I ）方程一或門-Qmyn=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點I II I n 31ll n間的距離為4,那么n的取值范圍是（A.(T,3)C.(0,3)b.(-1, V3)D. (0, V3)V原方程表示雙曲線，且兩焦點間的距離為 4.m2+ n+ 3m2 n = 4m2+n 3m2 n 0,m2= 1,那八m2vn3m2,因此1n0, b0）的漸近線為正方形OABC的邊OA, O

5、C所在的直線，點B為該雙曲線的焦點.假設(shè)正方形 OABC的邊長為 2,那么a =2 雙曲線x2-y2=1的漸近線方程為y=皋，易得兩條漸近線方程互相垂 a ba直，由雙曲線的對稱性知b=1. a又正方形OABC的邊長為2,所以c= 2V2,所以 a2+b2=c2 = 8,因此 a= 2.明考向題型突破|觀律方（2021全國卷I改編）F是雙曲線C: x2考問T一雙曲線的定義及應(yīng)用8左支上一點，A（0,6a/6）.那么 APF周長的最小值為32 由雙曲線方程x2*D-3A 由e=a = 2得c= 2a,如圖，由雙曲線的定義得|FiA| /|F2A| = 2a.七=1可知，a= 1, c= 3,故

6、F(3,0), Fi(-3,0),當點P在雙曲線左支上運動時，由雙曲線定義知|PF|PFi|=2.所以|PF| =|PFi| + 2,從而 AAPF 的周長=|AP|+ |PF|+ |AF|= |AP|+ |PFi |+ 2+ |AF|.因為|AF| = q32+ 6祀2= 15為定值,所以當(|AP|十|PFi|)最小時，AAPF的周長最小，A, Fi, P三點共線.又因為 AP|十|PFi|AFi|=|AF|=i5.所以AAPF周長的最小值為i5+ i5+2 = 32.規(guī)律方法i .應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問題：在雙曲線的定義中，要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件，即“到兩定點(焦點

7、)的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點間的距離.假設(shè)定義中的“絕對值去掉，點的軌跡是雙曲線的一支.同時需注意定 義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用.在焦點三角形中，注意定義、余弦定理的活用，常將|PFi|PF2|=2a平方，建立|PFi| |PF2|間的聯(lián)系. TOC o 1-5 h z 變式訓練i雙曲線C的離心率為2,焦點為Fi, F2,點A在C上.假設(shè) |FiA| = 2|F2A|,那么 cos/ AF2Fi = ()a iC1A.4b,3又|FiA| = 2|F2A|,故|FiA|=4a,|F2A|=2a,4a 2+ 2a2- 4a 2 1cos/ AF2F1 =- c=7.2X4aX 2a4雙

8、曲線的標準方程lIC 2（1）（2021廣州市莫擬）雙曲線C： Ab2= 1的離心率e=5,且其右焦點為F2（5,0）,那么雙曲線C的方程為（【導學號：57962407AX2-亡43x2 y2。京一二1二1D.x2 y2916x2 y23-4二1二122（2021天津高考）雙曲線1器=1（b0）,以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于 A, B, C, D四點，四邊形ABCD的面積為2b,那么雙曲線的方程為（）2XAT -CX- C.4用1B.D.222_4y=43x22412二1C(2)D (1)由焦點 F2(5,0)知 c=5.又 e= = $,得 a=4,

9、b2 = c2a2 = 9.a 4雙曲線c的標準方程為一y2=1. 16 9由題意知雙曲線的漸近線方程為y=x,圓的方程為x2+y2 = 4,聯(lián)立x2 + y2= 4, by= 2x，即第一象限的交點為2b4+b2 3+b2 由雙曲線和圓的對稱性得四邊形 ABCD為矩形，其相鄰兩邊長為春,號2故雙曲線的方程為、一8X4b4 b2= 2b,得 b2=12.上=1.應(yīng)選D.規(guī)律方法“定位條件，兩個“定量條件.“定位是指確定焦點在哪條坐標軸上，“定量是指確定a, b的值，常用待定系數(shù)法.假設(shè)雙曲線的焦點不能確定時，可設(shè)其方程為 Ax2+By2=1(AB0, b0）的右焦點是F,左、右頂點分別是A1,

10、 A2,過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B, C兩點.假設(shè)A1BLA2C, 那么該雙曲線的漸近線為.【導學號：57962408】(1)A (2)x-=0 (1)如圖,因為 MF1，x軸，所以 |MF1| b2 . a在 RtzMFF2 中，由 sin/MF2F1=(得3tan/ MF2F1 =：24 .所以IMFij_ .12bl_ . 2 即C22_ 22c 4 ，即 2ac 4 ，即 2ac 4 ，整理得 c2-2ac- a2 = 0, 兩邊同除以a2得e2g2e1 = 0.b2 a .解彳3e=啦（負值舍去）.(2)由題設(shè)易知 A1(-a,0), A2(a,0), B c, - , C

11、c,因為 A1BXA2C,22bb一aa_所以-=-1,整理得a=b.c+ a cab因此該雙曲線的漸近線為y= 1這一條件.2.雙曲線中c2=a2+b2,可得雙曲線漸近線的斜率與離心率的關(guān)系=a0, b0),那么 |BM|= AB|=2a, /MBx=180-120 =60 ;0.M點的坐標為（2a, V3a）. M點在雙曲線上,4a2 3a2孑卞:1, a=b, .c=啦a, e=，亞.應(yīng)選 D.名蜥微博。思想與方法.求雙曲線標準方程的主要方法:(1)定義法：由條件判定動點的軌跡是雙曲線，求出a2, b2,得雙曲線方程.(2)待定系數(shù)法：即“先定位，后定量，如果不能確定焦點的位置，應(yīng)注 意分類討論或恰當設(shè)置簡化討論.假設(shè)雙曲線過兩點，焦點位置不能確定，可設(shè)方程為Ax2+By2=1(AB0).當雙曲線的漸近線方程 bxiay= 0,求雙曲線方程時，可設(shè)雙曲線方程為 b2x2-a2y2= KR 0).與雙曲線b2= 1有一樣的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為02-2=0).雙曲線的標準方程求雙曲線的漸近線方程，