數(shù)學(xué)建模投資問(wèn)題

1、1問(wèn)題重述某銀行經(jīng)理計(jì)劃用一筆資金進(jìn)行有價(jià)證劵的投資，可供購(gòu)進(jìn)的證劵以及其信用等級(jí)、到期年限、收益如下表所示。按照規(guī)定，市政證劵的收益可以免稅，其他證劵的收益需按照50%的稅率納稅。此外還有以下限制：（1） 政府及代辦機(jī)構(gòu)的證劵總共至少要購(gòu)進(jìn)400萬(wàn)元；（2） 所購(gòu)證劵的平均信用等級(jí)不超過(guò)1.4（信用等級(jí)數(shù)字越小，信用程度越高）；（3） 所購(gòu)證劵的平均到期年限不超過(guò)5年。證劵名稱證劵種類信用等級(jí)到期年限到期稅前收益（%）A市政294.3B代辦機(jī)構(gòu)2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5（1） 若該經(jīng)理有1000萬(wàn)元資金，應(yīng)如何投資？（2） 如果能夠以2.75%的利率借到不超

2、過(guò)100萬(wàn)元資金，該經(jīng)理應(yīng)如何操作？（3） 在1000萬(wàn)元資金情況下，若證劵A的稅前收益增加為4.5%，投資應(yīng)否改變？若證劵C的稅前收益減少為4.8%，投資應(yīng)否改變？2模型的假設(shè)(1)假設(shè)該投資為連續(xù)性投資，即該經(jīng)理投資不會(huì)受到年限過(guò)長(zhǎng)而導(dǎo)致資金周轉(zhuǎn)困難的影響；(2)假設(shè)證劵稅收政策穩(wěn)定不變而且該經(jīng)理優(yōu)先考慮可以免稅的市政證劵的情況下再考慮其他證劵種類以節(jié)約成本；(3)假設(shè)各證劵之間相互獨(dú)立而且各自的風(fēng)險(xiǎn)損失率為零。(4)假設(shè)在經(jīng)理投資之后，各證劵的信用等級(jí)、到期年限都沒(méi)有發(fā)生改變；(5)假設(shè)投資不需要任何交易費(fèi)或者交易費(fèi)遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于投資金額和所獲得的收益,可以忽略不計(jì)；(6)假設(shè)所借貸資金所要支

3、付的利息不會(huì)隨時(shí)間增長(zhǎng)，直接等于所給的利率乘上借貸資金。3符號(hào)說(shuō)明X1:投資證劵A的金額（百萬(wàn)元）；X2:投資證劵A的金額（百萬(wàn)元）；X3:投資證劵A的金額（百萬(wàn)元）；X4:投資證劵A的金額（百萬(wàn)元）；X5:投資證劵A的金額（百萬(wàn)元）；Y：投資之后所獲得的總收益（百萬(wàn)元）；4問(wèn)題分析對(duì)于該經(jīng)理根據(jù)現(xiàn)有投資趨勢(shì)，為解決投資方案問(wèn)題，運(yùn)用連續(xù)性投資模型，根據(jù)所給的客觀的條件，來(lái)確定各種投資方案，并利用線性規(guī)劃模型進(jìn)行選擇方案，以獲得最大的收益。問(wèn)題一，該經(jīng)理優(yōu)先考慮可以免稅的市政證劵的情況下再考慮其他證劵種類以節(jié)約成本，我們可以在所提出的假設(shè)都成立的前提下（尤其是假設(shè)所借貸資金所要支付的利息不會(huì)隨

4、時(shí)間增長(zhǎng)，直接等于所給的利率乘上借貸資金）以及綜合考慮約束資金和限制條件，將1000萬(wàn)元的資金按照一定的比例分別投資個(gè)各種證劵。而該如何分配呢？怎樣地分配才是最合理的呢？我們通過(guò)建立一個(gè)線性規(guī)劃模型來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。由所給的表格知證劵A(市政)，B（代辦機(jī)構(gòu)），C（政府），D（政府），E（市政）的信用等級(jí)分別為2，2，1，1，5，到期年限分別為9，15，4，3，2，1，到期稅前收益（%）分別為4.3，5.4，5.0，4.4，4.5（市政證劵的收益可以免稅，其他的收益按50%的稅率納稅）以及政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少要購(gòu)進(jìn)400萬(wàn)元，所購(gòu)證券的平均信用等級(jí)不超過(guò)1.4(信用等級(jí)數(shù)字越小，信用程度

5、越高)，所購(gòu)證券的平均到期年限不超過(guò)5年這三個(gè)約束條件，不妨設(shè)投資證劵A，B，C，D，E的金額分別為x1，x2，x3，x4，x5，建立線性規(guī)劃模型，用lingo或者lindo軟件求解即可得出最優(yōu)投資方案和最大利潤(rùn)。問(wèn)題二中的解決方法和問(wèn)題一中的解決方法是一樣的，只不過(guò)在求解時(shí)需要進(jìn)行靈敏度分析利用問(wèn)題一的模型，把借貸的1百萬(wàn)元在投資后所獲得的收益與借貸所要付出的利息作比較，即與2.75%的利率借到的1百萬(wàn)元資金的利息比較，若大于，則應(yīng)借貸；反之，則不借貸。若借貸，投資方案需將問(wèn)題一模型的第二個(gè)約束條件右端10改為11，用lingo軟件求解即可得出最優(yōu)方案以及最大收益。而對(duì)問(wèn)題三，是否該改變要看

6、最優(yōu)解是否改變，如果各證劵所對(duì)應(yīng)的字?jǐn)?shù)在最優(yōu)解不變的條件下目標(biāo)函數(shù)允許的變化范圍內(nèi)，則不應(yīng)該改變投資方案，反之則改變投資方案。即證劵A所對(duì)應(yīng)的系數(shù)只取決于到期稅前收益，而證劵C所對(duì)應(yīng)的系數(shù)取決于到期稅前收益和其收益所需的稅額。同樣的通過(guò)在問(wèn)題一的靈敏度分析結(jié)果中可以知道最優(yōu)解不變的條件下目標(biāo)函數(shù)系數(shù)所允許的變化范圍，根據(jù)題中證劵A和證劵C所對(duì)應(yīng)的系數(shù)系數(shù)改變即可決定投資方案是否應(yīng)改變。5模型的建立與求解問(wèn)題一的求解：在提出的假設(shè)條件成立的前提下，根據(jù)題目給出的限制條件以及各種證劵的信息（政府及代辦機(jī)構(gòu)的證劵總共至少要購(gòu)進(jìn)4百萬(wàn)元；所購(gòu)證劵的平均信用等級(jí)不超過(guò)1.4；所購(gòu)證劵的平均到期年限不超過(guò)

7、5年），設(shè)投資證劵A、證劵B、證劵C、證劵D、證劵E的金額分別為：X1、X2、X3、X4、X5（百萬(wàn)元），投資之后獲得的總收益為Y百萬(wàn)元。對(duì)于平均信用等級(jí)和平均到期年限的求解，我們可以用加權(quán)算術(shù)平均值的算法求得，即用各個(gè)信用等級(jí)（平均到期年限）乘以相應(yīng)的權(quán)，然后相加，所得之和再除以所有的權(quán)之和。在1000萬(wàn)元的資金約束條件下，另外考慮到證劵B、C、D的收益都需按照50%的稅率納稅，我們可以建立如下的線性規(guī)劃模型：Max Y=0.043X1 (0.054*0.5)X2 (0.05*0.5)X3 (0.044*0.5)X4 0.045X5S.t.X2 X3 X4=4X1 X2 X3 X4 X5=1

8、0(2X1 2X2 X3 X4 5X5)/(X1 X2 X3 X4 X5)=1.4(X1 15X2 4X3 3X4 2X5)/(X1 X2 X3 X4 X5)=4X1 X2 X3 X4 X5=106X1 6X2-4X3-X4 36X5=04X1 10X2-X3-2X4-3X5=4X1 X2 X3 X4 X5=11(2X1 2X2 X3 X4 5X5)/(X1 X2 X3 X4 X5)=1.4(X1 15X2 4X3 3X4 2X5)/(X1 X2 X3 X4 X5)=4X1 X2 X3 X4 X5=116X1 6X2-4X3-X4 36X5=04X1 10X2-X3-2X4-3X5=4;x1

9、x2 x3 x4 x5=10;6*x1 6*x2-4*x3-4*x4 36*x5=0;4*x1 10*x2-x3-2*x4-3*x5=4;x1 x2 x3 x4 x5=11;6*x1 6*x2-4*x3-4*x4 36*x5=0;4*x1 10*x2-x3-2*x4-3*x5=0;運(yùn)行結(jié)果：Global optimal solution found.Objective value: 0.3282000Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX1 2.400000 0.000000X2 0.000000 0.3018182E-01X3 8.100000 0.000000X4 0.000000 0.6363636E-03X5 0.5000000 0.000