科大數(shù)模課件mm03-種群模型

1、數(shù)學(xué)建模種群模型1數(shù) 學(xué) 建 模 從自然走向理性之路 數(shù)學(xué)建模2種群模型第三講 種群模型【主要內(nèi)容】 介紹動物群體的種群模型，包括單 種群模型、多種群模型?！局饕康摹?了解如何建立微分方程模型，以及 微分方程穩(wěn)定性理論在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。 建模目的是研究充分長時間以后過程的變化趨勢 平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。 數(shù)學(xué)建模3種群模型 單種群模型 本節(jié)介紹Malthus 模型、Logistic 模型及可開發(fā)的單種群模型，應(yīng)用微分方程的數(shù)學(xué)工具來研究種群的增長與變化規(guī)律。 數(shù)學(xué)建模4種群模型 1.1 Malthus 模型 設(shè) p(t) 一給定的物種在時刻t的總數(shù) r(t,p)該物種在時刻t出生率與死亡率之差

2、， 稱為自然增長率。 假設(shè)r為常數(shù)，則種群的增長規(guī)律可以用以下微分方程表出 （1） 數(shù)學(xué)建模5種群模型 上式稱為單一種群的Malthus 模型，若設(shè)初值為 p(t0)=p0 ,則（1）式的解為 由于其增長形式為指數(shù)形式，故該模型又稱為指數(shù)增長模型。 數(shù)學(xué)建模6種群模型 1.2 Logistic 模型 Malthus 模型的不合理性在于，它沒有反映出這樣的事實，即當(dāng)種群群體龐大到一定程度時，群體中個體之間要為有限的生存空間及資源而進行競爭。因此線性微分方程（1）必須再加上一個競爭項。 有人用某種昆蟲做實驗，結(jié)果表明，單位時間內(nèi)兩個成員發(fā)生沖突的次數(shù)的統(tǒng)計平均與p2成比例，故這個競爭項的一個合理的

3、選擇是-bp2，其中b是常數(shù)。 數(shù)學(xué)建模7種群模型 此模型稱為阻滯增長模型，是由荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst在1837年提出的，又稱為Logistic 模型。 當(dāng)初值p(t0)=p0給定時，（3）的解為 其變化曲線見下圖。 數(shù)學(xué)建模8種群模型 注意到 于是，不論初值怎樣，群體規(guī)模總是小于并且趨于極限值 r/b, 這個極限值的實際意義是環(huán)境資源對該種群的最大容納量，記 N = r/b, 則方程（3）可以寫為更常見的形式 數(shù)學(xué)建模9種群模型 其中r是固有增長率，N是環(huán)境資源對該種群的最大容量。 有人曾用上述Logistic 模型對17901950 年美國人口的數(shù)量作過預(yù)測，與實際數(shù)據(jù)相當(dāng)吻合，誤

4、差不超過2.5%。 數(shù)學(xué)建模10種群模型1.3 可開發(fā)的單種群模型 考察一個漁場，我們要建立一個在有捕撈條件下魚的總量所滿足的方程，并且在穩(wěn)定的前提下討論如何控制捕撈使持續(xù)產(chǎn)量最大。 模型假設(shè) 記t時刻漁場魚的總量為p(t)，r為固有增長率，N為環(huán)境資源允許的最大魚量。 數(shù)學(xué)建模11種群模型 1) 在無捕撈條件下， p(t)服從Logistic 模型 2) 單位時間的捕撈量h與漁場魚量成正比，比例系數(shù)為 k，表示單位時間捕撈率。于是 數(shù)學(xué)建模12種群模型 模型建立 ，則在有捕撈條件下漁場魚量的增長模型為 數(shù)學(xué)建模13種群模型 模型討論 由本問題的目標(biāo)出發(fā)，我們關(guān)心的是漁場中魚量達到穩(wěn)定的平衡狀

5、態(tài)時的情形，而不必知道每一時刻的魚量變化情況，故不需要解出方程，只需要討論方程(7) 的平衡點并分析其穩(wěn)定性。 平衡點：滿足 的點稱為方程(7) 的平衡 點。 數(shù)學(xué)建模14種群模型解得(7) 的兩個平衡點為：容易算出 : 數(shù)學(xué)建模15種群模型 稱平衡點 p*是穩(wěn)定的是指：對方程(7) 的任 一個解p = p (t)，恒有 判斷平衡點p*是否穩(wěn)定，可以通過（8）式判別，但這需要解方程（7）。 另一種判別法是根據(jù)一階近似方程判斷 ： 數(shù)學(xué)建模16種群模型 近似方程(9) 的一般解為：于是有下述結(jié)論： ，則p*是穩(wěn)定平衡點。 ，則p*不是穩(wěn)定平衡點。 數(shù)學(xué)建模17種群模型回到我們的問題，由于所以，

6、當(dāng)k r 時， 是穩(wěn)定平衡點, p0不是 ； 數(shù)學(xué)建模18種群模型 結(jié)果分析 當(dāng)捕撈適度(即： k r ）時，漁場產(chǎn)量將減至 p1 = 0，破壞性捕撈，從而是不可持續(xù)的。 數(shù)學(xué)建模19種群模型 進一步討論 如何控制捕撈強度k ,使得持續(xù)產(chǎn)量 h(p0 ) = kp0最大？ 數(shù)學(xué)建模20種群模型對應(yīng)的 結(jié)論 控制捕撈強度k = r/2，使?jié)O場產(chǎn)量pm保持在最大魚量N 的一半時，可以獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量hm = rN / 4。 數(shù)學(xué)建模21種群模型 多種群模型 多種群模型包含相互競爭模型、相互依存模型及弱肉強食模型，前兩個模型可以統(tǒng)一用微分方程組描述為 數(shù)學(xué)建模22種群模型 在該系統(tǒng)中，的不同取值便

7、決定了這兩個種群的不同關(guān)系。 ， 0 ，表示該模型為種群間相互競爭模型； ， 0，則意味著該模型為種群間相互依存模型。若 0 , 則該模型可變化為弱肉強食模型，我們在這里只討論第三種模型的建立及解的表現(xiàn)。 數(shù)學(xué)建模23種群模型 先介紹一些微分方程定性理論中的結(jié)論。考慮微分方程組 二元方程組 的根稱為微分方程組（11）的平衡點。 數(shù)學(xué)建模24種群模型 設(shè)( x* , y* ) 是方程組（11）的一個平衡點 ,令 將P(x,y), Q (x,y) 在( x* , y* )附近展開，略去高階項，可得近似線性系統(tǒng)： 數(shù)學(xué)建模25種群模型 設(shè)系數(shù)矩陣 的特征根為 1 ，2 ，則有以下結(jié)論： 1 ，2是同

8、號實數(shù)時： i 0 ( x* , y* )不是穩(wěn)定點。 1 ，2是異號實數(shù)時， ( x* , y* )點不是穩(wěn)定點，稱為鞍點。 數(shù)學(xué)建模26種群模型 1 ，2是共軛復(fù)數(shù)時： 1 ，2 abi a 0 ( x* , y* ) 不是穩(wěn)定點。 微分方程組（11）的平衡點( x* , y* )的穩(wěn)定性，可以應(yīng)用上述三條結(jié)論判定。 數(shù)學(xué)建模27種群模型 弱肉強食模型 弱肉強食模型，生態(tài)學(xué) 上稱為食餌（Prey）捕食 者（Predater）系統(tǒng)，簡稱 為PP系統(tǒng)。 二十世紀(jì)20年代中期， 意大利生物學(xué)家DAncona研究魚類種群間的制約關(guān)系。在研究過程中，他偶然注意到了在第一次世界大戰(zhàn)時期，地中海各個港口

9、的捕魚資料中，鯊魚等（捕食者）魚類的比例有明顯的提高（見下表）。 數(shù)學(xué)建模28種群模型 他無法解釋這種現(xiàn)象，于是求助于著名意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望他能幫助建立一個PP系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，來解釋這種現(xiàn)象。 模型建立（Volterra模型） 設(shè)食餌數(shù)量為x1(t)，捕食者數(shù)量為x2(t) 。 年份191419151916191719181919192019211922鯊魚比例11.921.4 22.1 21.2 36.4 27.3 16.0 15.9 14.8 數(shù)學(xué)建模29種群模型 第一步：只考慮食餌。假定大海的資源非常豐富，食餌之間不存在競爭，則x1(t) 將以固有增長率r1的速度無限

10、增長，即：x1 = r1 x1 . 第二步：考慮到捕食者的存在，食餌的增長將受到限制，設(shè)降低的程度與捕食者數(shù)量成正比 , 即： x1 = x1( r1 1 x2) (14)比例系數(shù)1 反映捕食者的捕食能力。 數(shù)學(xué)建模30種群模型 第三步：捕食者離開食餌無法生存，設(shè)其自然死亡率為r2(0)，則x2 = r2x2。而食餌為它提供食物的作用相當(dāng)于使其死亡率降低， 促進了其增長。設(shè)這個作用與食餌數(shù)量成正比，于是： x2 = x2(- r2 2x1) (15) 比例系數(shù)2反映食餌對捕食者的供養(yǎng)能力。 方程（14）、（15）表示在正常的情況下，兩類魚相互之間的影響關(guān)系。 數(shù)學(xué)建模31種群模型模型分析 解方

11、程組 x1( r1 1 x2) = 0 x2(- r2 2 x1) = 0得到方程組（14）、（15）的平衡點為 仍用線性化的方法研究平衡點的穩(wěn)定性。 數(shù)學(xué)建模32種群模型對于P1(0,0)點 , 兩個特征根為異號實數(shù)，故P1(0,0)點不穩(wěn)定。 數(shù)學(xué)建模33種群模型 對于 ： 特征方程為 此時，兩個特征根是共軛復(fù)數(shù)，實部為0，故無法直接判斷平衡點穩(wěn)定性。 為分析解的漸進行為，一種變通方法是到相空間中去分析解軌跡的圖形。在（14）、（15）中消去dt ，得： 數(shù)學(xué)建模34種群模型數(shù)學(xué)建模35種群模型定理當(dāng)x1 , x2 0 時，方程 定義了一族封閉曲線。數(shù)學(xué)建模36種群模型P0T1T2T2T2

12、數(shù)學(xué)建模37種群模型軌線是一族以平衡點P0 為中心的封閉曲線,方向為逆時針方向（由導(dǎo)數(shù)符號確定）。封閉軌線對應(yīng)著方程(16)的周期解, 所以P0 是不穩(wěn)定的， 我們用一個周期內(nèi)的平均值作為食餌與捕食者的近似值。 數(shù)學(xué)建模38種群模型模型解釋 1. 捕食者死亡率的下降( r2 ), 或食餌對捕食者的供 養(yǎng)能力的增加 (2 ),都將導(dǎo)致食餌的減少 ( x1 )。 2. 食餌增長率的下降 （ r1 ），或捕食者的掠食能力的增加 (1 ),都將導(dǎo)致捕食者數(shù)量的減少 ( x2 )。 3. 周期性可以解釋為當(dāng)食用魚大量增加時，鯊魚由于有了豐富的食物而大量增加，從而大量的食用魚被吞吃，數(shù)量急劇減少， 反過來造成鯊魚的減少，而鯊魚的減少又促使食用魚大量增加，如此循環(huán)往復(fù)，形成周期性。 數(shù)學(xué)建模39種群模型 下面用這個模型解釋為什么戰(zhàn)爭時期捕撈量下降有利于鯊魚繁殖的問題。 設(shè)表示捕撈能力的系數(shù)為e ,則相當(dāng)于食餌的自然增長率由r1 下降為r1 - e , 捕食者的死亡率由r2 增加為r2 + e 。用y