多元函數(shù)微積分匯總課件

1、第6章 多元函數(shù)微積分6.1空間解析幾何簡介.6.2多元函數(shù)微分學.6.3多元函數(shù)積分學.1第1頁，共62頁。主要內(nèi)容：一.空間直角坐標系.二.向量的基本概念及其運算.三.平面與直線的方程.四.曲面方程的概念和常用曲面的方程.五.空間曲線及其在坐標面上的投影.6.1 空間解析幾何簡介2第2頁，共62頁。O 過空間一個定點O， y軸(縱軸) z軸(豎軸)(坐標)原點 x軸(橫軸) x 1 y 1 z 1拇指方向四指轉(zhuǎn)向右手規(guī)則作三條互相垂直的軸，它們都以O(shè)為原點且一般具有相同的長度單位它們的正向通常符合右手規(guī)則.這樣的三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系一、空間直角坐標系3第3頁，共62頁。 三

2、條坐標軸中的任意兩條都可以確定一個平面，坐標面：這樣定出的三個平面統(tǒng)稱為坐標面x軸及y軸所確定的坐標面叫做 xOy面，另兩個坐標面是 yOz 面、zOx面.面面面4第4頁，共62頁。O z y x 第一卦限卦 限： 三個坐標面把空間分成八個部分，每一部分叫做一個卦限5第5頁，共62頁。O z y x 第二卦限卦 限：6第6頁，共62頁。第三卦限O z y x 卦 限：7第7頁，共62頁。O z y x 第四卦限卦 限：8第8頁，共62頁。O z y x 第五卦限卦 限：9第9頁，共62頁。O z y x 第六卦限卦 限：10第10頁，共62頁。O z y x 第七卦限卦 限：11第11頁，共6

3、2頁。O z y x 第八卦限卦 限：12第12頁，共62頁。二、空間一點的坐標： 設(shè)M為空間一已知點O x y z PRx z yMQ過點 M 作三個平面分別垂直于 x軸y 軸和 z 軸， 三個平面在 x 軸、y軸和 z 軸的交點依次為P、Q、R，在 x 軸、y 軸和 z 軸上的坐標依次為x、y、z，我們稱這組數(shù)為點M的坐標，并把x、y、z分別稱為點M的橫坐標、縱坐標、豎坐標坐標為x、y、z 的點M 記為M(x，y，z)13第13頁，共62頁。三、空間兩點間的距離設(shè)為空間兩點,在直角及直角 中 ,由勾股定理有:求14第14頁，共62頁。特殊地：若兩點分別為所以 之間的距離為15第15頁，共6

4、2頁。 解 由距離公式，得 例1 求 之間的距離16第16頁，共62頁。向量：既有大小，又有方向的量叫做向量 在數(shù)學上，用一條有方向的線段(稱為有向線段)來表示向量有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向Fvvvvv 例如力、力矩、位移、速度、加速度等都是向量三、向量的基本概念及其運算1.向量的基本概念17第17頁，共62頁。 以M1為起點、M 2為終點的有向線段所表示的向量，記作向量的符號： 向量可用粗體字母表示，也可用上加箭頭書寫體字母表示，例如，b，i，j，k，F(xiàn)， Ox yzM1M 218第18頁，共62頁。向量的模：單位向量： 模等于0的向量叫做零向量，記作0 零向

5、量的起點與終點重合，它的方向可以看作是任意的 模等于1的向量叫做單位向量零向量： 向量的大小叫做向量的模19第19頁，共62頁。 由于一切向量的共性是它們都有大小和方向，所以在數(shù)學上我們只研究與起點無關(guān)的向量，并稱這種向量為自由向量，簡稱向量自由向量： 如果向量a和b的模相等，又互相平行,且指向相同,則說向量a和b是相等的，記為 a b相等的向量經(jīng)過平移后可以完全重合20第20頁，共62頁。向量平行： 零向量認為是與任何向量都平行 兩個非零向量如果它們的方向相同或相反，就稱這兩個向量平行向量a與b平行，記作a / b21第21頁，共62頁。2向量的運算 (1).向量的長度的長度為 已知 ,則向

6、量 22第22頁，共62頁。再以B為的和，記作 a b ，即 c a b 設(shè)有兩個向量 a 與 b ，任取一點A，作 a ，起點，作 = b，那么向量 c 稱為向量 a 與 b連接AC，bacaABbC這種作出兩向量之和的方法叫三角形法則(2).向量的加法,減法和數(shù)與向量的乘法23第23頁，共62頁。平行四邊形法則：AD為邊作一平行四邊形ABCD，以AB、C 連接對角線AC， 當向量 a 與 b 不平行時，作 a ， b，那么向量等于向量 a 與 b 的和 a b bacaABbD24第24頁，共62頁。向量的加法符合下列運算規(guī)律： (2)結(jié)合律(a b) c a (b c) (1)交換律a

7、b b a；由向量加法的交換律與結(jié)合律，可知任意多個向量加法的法則： 以前一向量的終點作為后一向量的起點，相繼作向量，再以第一向量的起點為起點，最后一向量的終點為終點作一向量， 25第25頁，共62頁。負向量：向量的減法： 設(shè) a 為一向量，與 a 的模相同而方向相反的向量叫做 a 的曲面向量，記為 a 我們規(guī)定兩個向量 b 與 a 的差為b a b (a)即把向量 a 加到向量 b 上，便得 b 與 a 的差 b aa-aa-ab-abbabaa26第26頁，共62頁。它的方向當0時與 a 相同，當0時，|a|0，即a為零向量， 特別地，當1時，有1a a，(1) a a當0時與 a 相反向

8、量 a與實數(shù)的乘積記作 a ，向量與數(shù)的乘法： 規(guī)定 a 是一個向量，它的模|a| a |，27第27頁，共62頁。軸的正方向的單位向量，稱為基本單位向量設(shè)向量 終點的坐標為 的始點在原點,(如圖), 利用向量的加法可得,在中，而，又所以得(3)向量的坐標表示及其加法基本單位向量：以 分別表示沿OXZYPQRM(x,y,z)28第28頁，共62頁。故上式稱為向量的坐標表示式由數(shù)與向量的乘積定義,得29第29頁，共62頁。利用向量的坐標進行向量的加減和數(shù)乘：則 a x b x ，a y b y ，a z b z a x - b x ，a y - b y ，a z - b z a x ，a y ，

9、a z，30第30頁，共62頁。定義1(4)向量的數(shù)量積數(shù)量積也稱為“點積”.31第31頁，共62頁。注：證32第32頁，共62頁。數(shù)量積符合下列運算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：（3）33第33頁，共62頁。定義注:/向量積也稱為“叉積(5).兩向量的向量積 34第34頁，共62頁。向量積符合下列運算規(guī)律：（1）（2）證:/（3）35第35頁，共62頁。設(shè)向量積的計算公式36第36頁，共62頁。 如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法向量法向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量已知設(shè)平面上的任一點為必有四. 平面與直線的方程 1.平面的方程37第37頁，共62頁。平面的點法式方程

10、 平面上的點都滿足上面的方程，不在平面上的點都不滿足上面的方程其中法向量已知點上面的方程稱為平面的方程,平面稱為方程的圖形38第38頁，共62頁。定義:空間直線可看成兩平面的交線此方程組空間直線的一般方程2.直線的方程（1）空間直線的一般方程39第39頁，共62頁。方向向量的定義：如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱為這條直線的方向向量.（2）空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程40第40頁，共62頁。直線的對稱式方程令直線的參數(shù)方程得41第41頁，共62頁。解所以交點為取所求直線方程求其方程例142第42頁，共62頁。五.曲面方程的概念和常用曲面的方程1,曲面方程的概念曲面方程的定義：(2

11、)不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程；(1)曲面上任一點的坐標都滿足方程；那么，方程就叫做曲面的方程，而曲面就叫做方程的圖形43第43頁，共62頁。2，常用的曲面方程1，坐標面的方程坐標面是由坐標軸所確定的平面以坐標面為例 在該平面上任取一點,它的坐標為0,即；反過來,滿足方程 的任一組解所對應(yīng)的點 在坐標面上，所以坐標面的方程為面的方程為同樣可以得到: 坐標面的方程為坐標44第44頁，共62頁。方程是過點且平行于坐標面的平面方程類似地，球心在點、半徑為的球面的方程 45第45頁，共62頁。解根據(jù)題意有所求方程為特殊地：球心在原點時方程為面方程例146第46頁，共62頁。定義: 平行于定直線并

12、沿定曲線 移動的直 線L所形成的曲面稱為柱面.定曲線叫柱面的準線動直線叫柱面的母線，柱面的方程47第47頁，共62頁。柱面舉例拋物柱面平面48第48頁，共62頁。柱面的特征：（其他類推）角坐標系中表示母線平行于z軸的柱面，其準線為 xoy面上的曲線C橢圓柱面雙曲柱面拋物柱面49第49頁，共62頁。六.空間曲線及其在坐標面上的投影空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.-空間曲線的一般方程特點：曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在曲線上,不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程1.空間曲線的一般方程50第50頁，共62頁。例1 方程組 表示怎樣的曲線?解表示圓柱面，表示平面，表示橢圓.所以51第51頁，共

13、62頁。例2 方程組 表示怎樣的曲線?解表示上半球面,表示圓柱面,它們的交線如圖.52第52頁，共62頁。-空間曲線的參數(shù)方程2.空間曲線的參數(shù)方程53第53頁，共62頁。經(jīng)過t時間，運動到M點 螺旋線的參數(shù)方程取時間t為參數(shù)，動點從A點出發(fā)，解例54第54頁，共62頁。設(shè)空間曲線的一般方程：空間曲線在 面上的投影曲線3.空間曲線在坐標面上的投影55第55頁，共62頁。類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影面上的投影曲線,面上的投影曲線,56第56頁，共62頁。截線方程為解的截線在三個坐標面上的投影曲線方程. 例57第57頁，共62頁。58第58頁，共62頁。1.空間直角坐標系 2.空間兩點間距離公式（軸、面、卦限）七.小結(jié)3.向