自控2課件李亞普諾夫

1、自動(dòng)控制原理Principle of Automatic Control浙江大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)系第九章非線性系統(tǒng)分析hwan浙江大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)系主要內(nèi)容簡(jiǎn)介Description Function（描述函數(shù)）Lyapunov（夫）穩(wěn)定性分析yapunov穩(wěn)定性分析Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問(wèn)題預(yù)備知識(shí)Lyapunov第一法（間接法） Lyapunov第二法（直接法）線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析斯基法判別非線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問(wèn)題沒有外部輸入的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)稱為自治系統(tǒng)：x t f x t 式中x為n維狀態(tài)向量，f 是n 維向量函數(shù)。x(txt

2、)在給定的初始條件下，上式的解稱為狀態(tài)軌跡。 e 0 ，則稱為自治系統(tǒng)x t f x tn若，滿足的e平衡狀態(tài)或平衡點(diǎn)。 f x t ，若初始狀態(tài)取平衡狀態(tài)，則狀態(tài)軌跡對(duì)于 x txe自治系統(tǒng)及其平衡狀態(tài)Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問(wèn)題若系統(tǒng)是線性定常的，即有 f(x, t) = Ax，則當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)唯一的平衡狀態(tài)； 當(dāng)A為奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)將存在無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)。對(duì)于非線性系統(tǒng)，可有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)，這些狀態(tài)對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的常值解（對(duì)所有 t，總存在 x xe ）。為便于表示和分析，將平衡點(diǎn)規(guī)定為狀態(tài)空間的原點(diǎn)，可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換實(shí)現(xiàn)。yapunov意義下的穩(wěn)定性問(wèn)題S

3、(H)表示以平衡狀態(tài)為球心，以H為半徑的閉球域x f (x)定義系統(tǒng)， 0 的 H 鄰域?yàn)镾(H)xxeHxe之平衡狀態(tài)其中，H0，為向量的 2 范數(shù)或范數(shù)，即 (x x)2)212enne(1) 平衡狀態(tài)xe=0 在意義下是穩(wěn)定的： 0， 0，使得對(duì)任意初始狀態(tài)如果對(duì)x0S()和任意 t 0, ) 的狀態(tài)軌跡 x(t; x0 ) S() 。意義下的穩(wěn)定性定義圍漸近穩(wěn)定(2) 平衡狀態(tài) xe=0 為漸近穩(wěn)定：如果平衡狀態(tài) xe=0，在意義下是穩(wěn)定的，并且始于域 S() 的任一條軌跡，當(dāng)時(shí)間 t 趨于無(wú)窮時(shí)，都收斂于 xe=0。其中球域 S() 被稱為平衡狀態(tài) xe=0 的吸引域。(3) 平衡狀

4、態(tài) xe=0 為圍漸近穩(wěn)定（全局漸近穩(wěn)定）：對(duì)狀態(tài)空間中的任意初始狀態(tài)（狀態(tài)空間中的所有點(diǎn)），如果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都保持漸近穩(wěn)定性。(4) 平衡狀態(tài) xe=0 為不穩(wěn)定的：如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù) 0和任一個(gè)實(shí)數(shù) 0，不管這兩個(gè)實(shí)數(shù)多么小，在 S() 內(nèi)總存在一個(gè)狀態(tài)，使得始于這一狀態(tài)的軌跡最終會(huì)脫離開 S() 。意義下的穩(wěn)定性定義yapunov意義下的穩(wěn)定性問(wèn)題經(jīng)典控制理論中只有漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)才稱為穩(wěn)定的系統(tǒng)，在意義下是穩(wěn)定的，但卻不是漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，則叫做不穩(wěn)定系統(tǒng)。經(jīng)典控制理論(線性系統(tǒng))不穩(wěn)定(Re(s)0)臨界情況(Re(s)=0)穩(wěn)定(Re(s)0, 且在x=0處有V(0)=0, 則在

5、域（域包含狀態(tài)空間的原點(diǎn)）內(nèi)的標(biāo)量函數(shù)V(x)稱22為正定函數(shù)，例如 V(x)=x1 +x2 是正定的。如果時(shí)變函數(shù)由一個(gè)定常的正定函數(shù)作為下限，即存在一個(gè)正定函數(shù)，使得對(duì)所有t t0對(duì)所有t t0V(x, t) V(x), V(0, t)0 ,則稱時(shí)變函數(shù)V(x, t)在域（包含狀態(tài)空間原點(diǎn)）內(nèi)是正定的。預(yù)備知識(shí)如果 V(x)是正定函數(shù)，則標(biāo)量函數(shù)V(x)稱為負(fù)定函數(shù)。例如22V(x)=(x1 +2x2 ) 是負(fù)定的如果標(biāo)量函數(shù)V(x)除了原點(diǎn)以及某些狀態(tài)等于零外，在域內(nèi)的所有狀態(tài)都是正定的，則V(x)稱為正半定標(biāo)量函數(shù)。如果 V(x)是正半定函數(shù)，則標(biāo)量函數(shù)V(x)稱為負(fù)半定函數(shù)。預(yù)備知識(shí)

6、如果在域內(nèi)，不論域多么小，V(x) 既可為正值，也可為負(fù)值時(shí)，標(biāo)量函數(shù)V(x)稱為不定的標(biāo)量函數(shù)。建立在第二法基礎(chǔ)上的穩(wěn)定性分析中，有一類標(biāo)量函數(shù)起著很重要的作用，即二次型函數(shù)。預(yù)備知識(shí) Exle 9-2 試證明下列二次型是正定的。22Vx213解：二次型V(x)可寫為110 x1 1 x V ( ) x 2 x3 21利用準(zhǔn)則，110110110 ,0,004112因?yàn)榫仃嘝的所有主子行列式均為正值，所以V(x)是正定的。yapunov第二法（直接法）第一法（間接法）基本思路是：首先將非線性系統(tǒng)線性化，然后計(jì)算線性化方程的特征值，用來(lái)判定原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Lyapunov第二法基本是用能

7、量的觀點(diǎn)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。即：如果系統(tǒng)有一個(gè)漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則當(dāng)其運(yùn)動(dòng)到平衡狀的能量隨著 時(shí)間的增長(zhǎng)而衰減，直到態(tài)的吸引域內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)在平穩(wěn)狀態(tài)達(dá)到極小值為止。反之，若是不斷地從外界吸取能量，儲(chǔ)能越來(lái)越多，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。yapunov第二法（直接法）可以證明：如果 x 為n維向量，且其標(biāo)量函數(shù) V(x) 正定，則滿足V(x) = C的狀態(tài)x處于n維狀態(tài)空間的封閉超曲面上，且至少處于原點(diǎn)附近， ，上述封閉曲面可擴(kuò)展為整個(gè)狀態(tài)x式中C是正常數(shù)。隨著C1 C2，則超曲面 V (x) C1 完全處于超曲面V (x) C2空間。如果的。yapunov第二法（直接法）定理9-2 考慮如下非線性系統(tǒng)

8、x(t) f (x(t)f(0)=0式中如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x, t)，且滿足以下條件：1、V(x, t) 正定；2、 t) 負(fù)定則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是（一致）漸近穩(wěn)定的。yapunov第二法（直接法） 0，x2 0解：顯然，原點(diǎn)（x1）是唯一的平衡狀態(tài)。如果定義一個(gè)正定標(biāo)量函數(shù)V(x)是負(fù)定的。V(x)隨 x 偏離平衡狀態(tài)趨于無(wú)窮而變?yōu)闊o(wú)窮，則由定理9-2，該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是圍漸近穩(wěn)定的。x x x122x2 x1 x222yapunov第二法（直接法）(1) 這里僅給出了充分條件，也就是說(shuō)，如果函數(shù)V(x, t)，那么系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。能構(gòu)造出函數(shù)不是惟一的

9、。如果函數(shù)V(x)，并不意味著平衡狀態(tài)不是漸近穩(wěn)不能構(gòu)造出定的。(2) 對(duì)于漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則函數(shù)必存在。(3) 對(duì)于非線性自治系統(tǒng)，通過(guò)構(gòu)造某個(gè)具體的函數(shù)，可以證明系統(tǒng)在某個(gè)穩(wěn)定域內(nèi)是漸近穩(wěn)定的，但這并不意味著穩(wěn)定域外的運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。對(duì)于線性自治系統(tǒng)，如果存在漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則它必定是圍漸近穩(wěn)定的。(4) 穩(wěn)定性定理9-2 ，既適合于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)，也適合于定常系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)，具有極其一般的普遍意義。yapunov第二法（直接法）定理9-3 () 考慮如下非線性系統(tǒng)斯基，巴 x( ) (x(t),t)f(0)=0式中如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x, t)，且滿

10、足以下條件：1、V(x, t) 是正定的；2、3、當(dāng)t) 負(fù)半定的； 時(shí),V (x) x4、Vx(t; x0 ,t0 ),t對(duì)于任意 t0 和任意 x0 0，在 t t0 時(shí)，t0不恒等于零，其中的 x(t; x0 ,t0 ),t 表示在時(shí)從 x0 出發(fā)的軌跡或解。則在系統(tǒng)原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是圍漸近穩(wěn)定的。yapunov第二法（直接法）關(guān)于穩(wěn)定性 x(t) f (x(t)定理9-4 (式中 f(0)=0) 考慮如下非線性系統(tǒng)如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x, t)，且滿足以下條件：1、V(x, t) 是正定的；2、t) 負(fù)半定的；3、 Vx(t; x0 ,t0 ),t均恒等于零，其

11、中的x0 0t t0t0 和任意對(duì)于任意，在時(shí)，t0 時(shí)從 x0 出發(fā)的軌跡或解。意義下穩(wěn)定的。x(t; x0 ,t0 ),t 表示在則在系統(tǒng)原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是yapunov第二法（直接法） x(t) f (x(t)定理9-5 (式中 f(0)=0) 考慮如下非線性系統(tǒng)若存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù) V(x, t)，具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足以下條件：1、V(x, t)正定；2、V(x,t) 正定；則原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。yapunov第二法（直接法） 0，x2 0解：顯然，原點(diǎn)（x1）是唯一的平衡狀態(tài)。如果定義一個(gè)正定標(biāo)量函數(shù)V(x)V ( x)222xx11 ( 0, 0)）, t對(duì)于非零狀態(tài)

12、（如21 (, t t) 負(fù)半定。對(duì)于其他任意狀態(tài)，存在，所以由定理9-3，原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，且是圍漸近穩(wěn)定。yapunov第二法（直接法） 0，x2 0然，原點(diǎn)（x1解：）是唯一的平衡狀態(tài)。如果定義一個(gè)正定標(biāo)量函數(shù)V(x)(0,0)t) 負(fù)半定。且對(duì)任意非零狀態(tài)恒為零21由定理9-4，系統(tǒng)是在意義下穩(wěn)定的。V ( ) 2 1x2kx x 2kx x 0V2yapunov第二法（直接法） 0，x2 0解：顯然，原點(diǎn)（x1）是唯一的平衡狀態(tài)。如果定義一個(gè)正定標(biāo)量函數(shù)V(x)V22與 x 無(wú)關(guān)。11 ( 0, 0), t對(duì)任意非零狀態(tài),21而對(duì)其他任意狀態(tài)， (, tt) 正半定。，所以t) 不恒

13、為零，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。非零狀態(tài)時(shí)，線性系統(tǒng)的yapunov穩(wěn)定性分析 x Axxe 0設(shè)A為非奇異矩陣，則有唯一的平衡狀態(tài)給定其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性很容易通過(guò)第二法進(jìn)行研究。V設(shè)則如果能找到正定矩陣P及矩陣Q滿足上述Lyapunov方程，則V(x)0，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。線性系統(tǒng)的yapunov穩(wěn)定性分析定理9-7線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件：給定一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱矩陣 Q ,存在一個(gè)正定對(duì)稱矩陣 P ，滿足Lyapunov 方程：是系統(tǒng)的一個(gè)Lyapunov 函數(shù)。且標(biāo)量函數(shù)線性系統(tǒng)的yapunov穩(wěn)定性分析x x Exle 9-7 考慮線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：1）選 QI；2） 利用 Lyapunov 方程計(jì)算 P 陣；3）判別 P 陣的正定性：因?yàn)镻的各階主子行列式0，故正定，所以系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。4） Lyapunov 函數(shù)線性系統(tǒng)的yapunov穩(wěn)定性分析定理9-11設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 x(k 1 Gx k )系統(tǒng)在其平衡狀態(tài) xe=0 為漸近穩(wěn)定的充分必要條件：給定任一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱矩陣 Q ,存在一個(gè)正定對(duì)稱矩陣 P ，滿足Lyapunov 方程： GT PGPQ 0標(biāo)量函數(shù)就是該系統(tǒng)的一個(gè)Lyapunov 函數(shù)。非線性系統(tǒng)的Lya