1、線性代數(shù)課后習(xí)題復(fù)習(xí)指導(dǎo)

1、同濟(jì)五版線性代數(shù)習(xí)題解讀 一）1、利用對(duì)角線法則計(jì)算行列式，可以通過(guò)幾道小題熟悉一下把行列式化成上下）三角的過(guò)程，基本題。2、3題涉及排列以及行列式的展開(kāi)準(zhǔn)則，不是太重要，了解即可。4、5、6題是一些計(jì)算行列式的練習(xí)，不同特點(diǎn)的行列式通常有不同的方法，常見(jiàn)的就是化 為上下）三角，按行列）展開(kāi)，某一行列）是和的形式可進(jìn)行拆分，基本題，要通過(guò)這 些練習(xí)來(lái)熟練行列式的運(yùn)算這一塊。5題雖然是以方程形式給出，但考察點(diǎn)還是計(jì)算。7、行列式性質(zhì)的應(yīng)用，比較重要的題型，重在對(duì)思維的訓(xùn)練，而且該題的結(jié)論很常用，最 好掌握。8、一些難度較高的行列式的計(jì)算題，涉及到不少技巧，而這些技巧通常初學(xué)者是想不到 的，這時(shí)候

2、可以看看答案，體會(huì)一下答案的做法，對(duì)這塊內(nèi)容的要求和不定積分是類似的。9、設(shè)計(jì)巧妙的題目，隱含考點(diǎn)是行列式按行展開(kāi)的性質(zhì)：若是相同行 列）的元素和代數(shù)余子式對(duì)應(yīng)相乘求和，結(jié)果是行列式的值；若是不同行列）的元素和代數(shù)余子式對(duì)應(yīng)相乘求和，結(jié)果為0。注意此題要求的結(jié)果是第三行的代數(shù)余子式的某種組合，而根據(jù)代數(shù)余子式 的定義可知，這與題給的行列式中的第三行的元素是無(wú)關(guān)的，那就可以根據(jù)需要把第三行的 元素替換為前面要求的式子中的那些系數(shù)，這樣問(wèn)題就簡(jiǎn)化為求一個(gè)新的行列式，而無(wú)需煩 瑣的進(jìn)行四次求代數(shù)余子式的運(yùn)算。此題技巧性較強(qiáng)，但這個(gè)構(gòu)思方法值得掌握。10、克蘭姆法則的應(yīng)用，歸根結(jié)底還是計(jì)算行列式。11

3、、12題是通過(guò)行列式來(lái)判斷齊次方程組的解的情況，基本題，在已經(jīng)復(fù)習(xí)完一遍線代后也可以用其它方法化階梯行、求秩）來(lái)做?？偟膩?lái)說(shuō)，第一章的習(xí)題大都非常基本，集中于計(jì)算層面的考察，沒(méi)有理解上的難度。同濟(jì)五版線性代數(shù)習(xí)題解讀 二）1、矩陣乘法的基本練習(xí)，簡(jiǎn)單題，但計(jì)算很容易出錯(cuò)，不可輕視，5）小題實(shí)際上就是第五章要接觸的二次型。2、直接考察矩陣相關(guān)運(yùn)算，基本題。3、矩陣的乘法實(shí)際上是表示一個(gè)線性變換，題目給出了從y到x的變換，還給出了從 z到y(tǒng)的變換，要求z到x的變換。既然一個(gè)矩陣可以表示一個(gè)線性變換，兩個(gè)矩陣的乘積即可 理解為兩個(gè)變換的疊加，這也是提供了一個(gè)側(cè)面去理解矩陣相乘的意義。4、5題實(shí)際上都

4、是通過(guò)一些具體的例子來(lái)加深對(duì)矩陣運(yùn)算的理解，比如矩陣乘法不能交換、不能像數(shù)乘那樣約去因子，等等，這些例子是比較重要的，由于有時(shí)能在考場(chǎng)上派上用 場(chǎng)，需要熟悉。6、7題是求矩陣乘方的題目，基本題，但要注意些適當(dāng)?shù)募记?，比如拆成兩個(gè)特殊矩陣的 和，能簡(jiǎn)化運(yùn)算。8、9是關(guān)于對(duì)稱陣概念的考查，不難但重要，由于這類題即是線代里證明題的代表：幾乎 都要從定義出發(fā)證明。所以從這兩道題得到的啟發(fā)是要把線代上的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都摳得足夠 細(xì)，了然于心。10、11、12都是矩陣求逆的計(jì)算題，只不過(guò)表達(dá)方式不同，10題是直接提出要求，11題是以矩陣方程的形式來(lái)暗示求逆，12題則從線性方程組的角度來(lái)暗示求逆。求逆是錯(cuò)誤率很

5、高的一類題目，所以需要重點(diǎn)練習(xí)。13、和3題類似，矩陣的乘法實(shí)際上是表示一個(gè)線性變換，題目給出了從y到x的變換一一可以用一個(gè)矩陣表示，反過(guò)來(lái)求x到y(tǒng)的變換，求逆陣即可。此題的另外一個(gè)暗示：要能夠熟練的掌握從方程組到矩陣的寫法，即矩陣方程x=Ay代表一個(gè)線性方程組，或者說(shuō)一個(gè)線性變換，對(duì)這兩種寫法都要能夠看到一個(gè)馬上反應(yīng)到另一個(gè)。14、考察矩陣和其逆陣、伴隨陣的關(guān)系，同時(shí)把行列式加進(jìn)來(lái)，綜合性較強(qiáng)的重要題型。15、16解簡(jiǎn)單的矩陣方程，注意先對(duì)已知等式做一些適當(dāng)?shù)淖冃?，基本題。14、15證明矩陣可逆，從定義出發(fā)即可，注意從題目中體會(huì)思路。16、考察矩陣和其逆陣、伴隨陣的關(guān)系，同時(shí)把行列式加進(jìn)來(lái)，

6、綜合性較強(qiáng)的重要題型。17、18稍微復(fù)雜一些的矩陣方程，由于其中涉及到伴隨陣，但也不難，利用好伴隨陣和逆 陣的關(guān)系即可簡(jiǎn)化，此二題的難度接近考研中的填空題。19、20是矩陣的乘方 多項(xiàng)式實(shí)質(zhì)也是乘方）運(yùn)算，在復(fù)習(xí)完一遍線代后再看發(fā)現(xiàn)這其實(shí)就 是特征值特征向量 對(duì)角化）的一個(gè)應(yīng)用，實(shí)際上特征值問(wèn)題本來(lái)就可以理解為是為了尋找 矩陣乘方運(yùn)算的捷徑而發(fā)展起來(lái)的，只不過(guò)后來(lái)發(fā)現(xiàn)特征值還有許多其它很好的用處。21、22證明矩陣可逆，從可逆的定義出發(fā)即可，即若能找到某一矩陣與已知矩陣的乘積為 單位陣，那么已知矩陣肯定可逆，注意從這兩道題目中體會(huì)這種常用的思路。23、24題本身的證明是從定義出發(fā)，更重要的是這

7、兩道題可以作為結(jié)論記的，線代的考研題目常涉及這兩個(gè)命題。在線代的學(xué)習(xí)中，把握好一些不是課本上正面給出如出現(xiàn)于習(xí)題中）的命題是很有好處的。25、26、27、28都是對(duì)分塊矩陣運(yùn)算的考查，作為適當(dāng)?shù)木毩?xí)，是必要的。在分塊矩陣這 部分知識(shí)點(diǎn)特別要注意的是：要能夠根據(jù)問(wèn)題的需要采取適當(dāng)?shù)姆謮K方式，典型的如行分塊 和列分塊，一個(gè)線性方程組可以用矩陣人乂加來(lái)表示，一個(gè)矩陣方程 AX=B則可看作是若干個(gè)線性方程組 A（x1 x2 . xn=（b1 b2 . bn同時(shí)成立的結(jié)果，當(dāng)然這只是一個(gè)典型的里子，其它還有很多類似的點(diǎn)也要熟練到能夠在頭腦中隨時(shí)切換，以適應(yīng)不同的解題或理解需 要。和第一章類似，第二章的學(xué)

8、習(xí)也主要集中在計(jì)算層面上，我們可以這樣來(lái)理解，前兩章的內(nèi) 容主要是教會(huì)我們一些線性代數(shù)中基本的運(yùn)算規(guī)則，就如我們以前學(xué)數(shù)的加減乘除一樣，這 些規(guī)則當(dāng)然是認(rèn)為規(guī)定的，但是又是在解決某些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中會(huì)大量用到的，所以有必 要先統(tǒng)一進(jìn)行了解和學(xué)習(xí)，比如求行列式可以幫助我們解方程，求矩陣的乘積可以幫助我們 進(jìn)行坐標(biāo)變換，等等。同濟(jì)五版線性代數(shù)習(xí)題解讀三）1、用初等變換把矩陣化為最簡(jiǎn)行階梯形，基本運(yùn)算的練習(xí)，實(shí)際上也可以化為階梯行而不 一定非要最簡(jiǎn)，這類計(jì)算要多加練習(xí)，需純熟掌握。2、3表面上是要求一個(gè)能使已知矩陣化為行最簡(jiǎn)形的可逆陣，實(shí)際上是考察初等矩陣，由 于化為行最簡(jiǎn)形的過(guò)程就是初等變換過(guò)程，

9、對(duì)應(yīng)的是一系列初等矩陣的乘積，把這一過(guò)程搞 清楚了，要求的矩陣也就相應(yīng)清楚了。要知道一個(gè)初等矩陣對(duì)應(yīng)一個(gè)初等變換，其逆陣也 是，從這個(gè)意義上去理解可以有效解決很多問(wèn)題。4、求矩陣的逆陣的第二種方法 第一種是伴隨陣），基本題，同時(shí)建議把這兩種方法的來(lái)龍 去脈搞清楚書上相應(yīng)章節(jié)有解釋），即為什么可以通過(guò)這兩種方法求逆陣。5、6是解矩陣方程，關(guān)鍵還是求逆，復(fù)習(xí)過(guò)一遍線代的同學(xué)就不用拘泥于一種方法了，選 擇自己習(xí)慣的做法即可。7、考察矩陣秩的概念，所以矩陣的秩一定要搞清楚：是不為零的子式的最高階數(shù)。所以秩為r的話只需要有一個(gè)不為零的 r階子式，但所有的r+1階子式都為零；至于 r-1階子式， 也是有可

10、能為零的，但不可能所有的都為零，否則秩就是r-1而不是r 了。8、還是涉及矩陣的秩，矩陣減少一行，秩最多減1,也可能不減，不難理解，但自己一定要在頭腦中把這個(gè)過(guò)程想清楚。9、主要考查矩陣的秩和行列）向量組的秩的關(guān)系，實(shí)際上它們是一致的，由于已經(jīng)知道的 兩個(gè)向量是線性無(wú)關(guān)的，這樣此題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題：在找兩個(gè)行向量，與條件中的兩 個(gè)行向量組成的向量組線性無(wú)關(guān)，最后由于要求方陣，所以還要找一個(gè)向量，與前面四個(gè)向 量組和在一起則線性相關(guān)，最容易想到的就是0向量了。10、矩陣的秩是一個(gè)重要而深刻的概念，它能夠反映一個(gè)矩陣的最主要信息，所以如何求矩陣的秩也就相應(yīng)的是一類重要問(wèn)題。矩陣的初等行列）變換

11、都不會(huì)改變其秩，所以可以混用行、列變化把矩陣化為最簡(jiǎn)形來(lái)求出秩。11題是一個(gè)重要命題，經(jīng)?？梢灾苯幽脕?lái)用，至于它本身的證明，可以從等價(jià)的定義出 發(fā)：等價(jià)是指兩個(gè)矩陣可以經(jīng)過(guò)初等變換互相得到，而初等變換是不改變矩陣的秩的，所以 等價(jià)則秩必相等。實(shí)際上11題由于太過(guò)常用，以至于我們常常認(rèn)為秩相等才是等價(jià)的定義，不過(guò)既然是充分必要條件，這樣理解也并無(wú)不可。12、選取合適的參數(shù)值來(lái)確定矩陣的秩，方法不止一種，題目不難但比較典型。13、14題是求解齊次、非齊次方程組的典型練習(xí)，務(wù)必熟練掌握。15、線性方程組的逆問(wèn)題，即已知解要求寫出方程，把矩陣的系數(shù)看做未知數(shù)來(lái)反推即可， 由于基礎(chǔ)解系中自由未知量的個(gè)數(shù)

12、和有效方程正好是對(duì)應(yīng)的，個(gè)人感覺(jué)這類題不太重要。16、17、18題是線性方程組的一類典型題，考研常見(jiàn)題型，討論不同參數(shù)取值時(shí)解的情 況，要熟練掌握這類題目。19、證明本身不是很重要，重要的是由題目得到的啟示：由一個(gè)向量及其轉(zhuǎn)置或一個(gè)列向量一個(gè)行向量）生成的矩陣其秩一定是1。這實(shí)際上也不難理解，矩陣的秩是1意味著每行,R（B這個(gè)關(guān)鍵命題即可?；蛘邚耐夥匠探M角度出發(fā)，即要證明兩個(gè)矩陣秩相等，可證其方程組同解。21、注意A是否可逆未知，故不能用求逆的方法證明，這是易犯的錯(cuò)誤之一。實(shí)際上該題考察的還是方程組只有零解的條件：滿秩。關(guān)鍵一步在于把條件改寫為A（X-Y=0前兩章的習(xí)題以鍛煉計(jì)算能力為主，從

13、第三章開(kāi)始理解層面的內(nèi)容逐漸增多，很多概念要引 起重視。同濟(jì)五版線性代數(shù)習(xí)題解讀 四）首先說(shuō)一下，第四章的精華就在于勾勒出了向量組、矩陣和線性方程組之間的關(guān)系，它們共 同形成一個(gè)線性代數(shù)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，習(xí)題四中的證明題基本上都是對(duì)思維的鍛煉，做好這些證 明題有助于加深對(duì)線代知識(shí)點(diǎn)相互關(guān)系的理解，要重點(diǎn)對(duì)待。1、涉及一個(gè)重要的知識(shí)轉(zhuǎn)換，即一個(gè)向量能否被另一個(gè)向量組線性表出的問(wèn)題實(shí)際上就是 一個(gè)線性方程組是否有解的問(wèn)題，同時(shí)，一個(gè)向量組是否能被另一個(gè)向量組線性表出的問(wèn)題 實(shí)際上就是兩個(gè)向量組的秩的比較問(wèn)題，所以此題即轉(zhuǎn)化為考察兩個(gè)向量組的秩的大小。由 于我們知道一個(gè)重要的事實(shí)：一個(gè)向量組不可能由比它秩

14、更小的向量組來(lái)線性表出，例如， 三維空間里的向量秩是3）永遠(yuǎn)不可能由平面上的向量 秩是2）來(lái)表出。2、考察向量組的等價(jià)，搞清楚何為向量組等價(jià)，直接驗(yàn)證即可，基本題。另外可以發(fā)散一下思維，向量組等價(jià)和矩陣等價(jià)有何不同？哪個(gè)命題的結(jié)論更強(qiáng)？實(shí)際上向量組等價(jià)則對(duì)應(yīng) 矩陣一定等價(jià)，反之未必。3、與線性表出有關(guān)的命題，一般用反證法，這類題目可以有效的鍛煉解題思路，如果不會(huì) 要重點(diǎn)體會(huì)答案給出的方法和思路。4、5題涉及線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的判斷，實(shí)際上還是轉(zhuǎn)化為方程組有解無(wú)解的問(wèn)題，基本 題。6題考察對(duì)兩個(gè)向量線性相關(guān)的理解，實(shí)際上就是對(duì)應(yīng)成比例，但實(shí)際上很多類似的題目不 僅僅局限于兩個(gè)向量，此題不是太有代

15、表性，了解一下即可。7、8涉及到一些相關(guān)和無(wú)關(guān)的命題判斷，重點(diǎn)在于理解題干的意思，如 81）的錯(cuò)誤在于放 大了線性相關(guān)的結(jié)論，由于線性相關(guān)只需要至少有一個(gè)向量可由其余向量表示，而不一定能 確定到底是哪個(gè)向量能用其余向量表示，類似的去理解清楚其余幾個(gè)說(shuō)法要表達(dá)的意思，這 是第一要?jiǎng)?wù)。至于反例倒在其次，可以通過(guò)參考書的答案看看，了解下有這樣的反例即可。9、10題是證明線性相關(guān)線性無(wú)關(guān)的經(jīng)典題，可先假設(shè)其線性組合為零，然后推證系數(shù)的情況，若系數(shù)可不全為零則線性相關(guān)，若系數(shù)必須全為零則線性無(wú)關(guān)，重點(diǎn)題型。11、12考察如何求一個(gè)向量組的秩和最大無(wú)關(guān)組，注意求向量組的秩只能用一種變換一般用行變化)，化為

16、階梯形即一目了然，基本題型的練習(xí)，要熟練掌握。13、通過(guò)秩來(lái)確定參數(shù)，基本題，只不過(guò)這里是以向量組的形式給出條件，和以線性方程組、矩陣的形式給出條件無(wú)本質(zhì)區(qū)別。14、15是向量組的命題，注意單位坐標(biāo)向量的特殊性：線性無(wú)關(guān)。另外 14題就是15題的 特殊情況。16、用反證法，此題的巧妙之處在于要逐步遞推，這是線代習(xí)題中少有的過(guò)程比結(jié)論重要的題目 大多習(xí)題都是結(jié)論常用所以顯得更重要)，注意仔細(xì)體會(huì)證明過(guò)程。17、就是習(xí)題三的20題，只不過(guò)是以向量組的說(shuō)法給出。18、應(yīng)該從此題中體會(huì)到的是：兩個(gè)向量組等價(jià)，則其關(guān)系矩陣一定是滿秩的，原因可用矩 陣的語(yǔ)言來(lái)解釋：兩個(gè)向量組等價(jià)實(shí)際上就是通過(guò)一系列初等變

17、換可互化，關(guān)系矩陣就是這 些所所有初等變換對(duì)應(yīng)的初等矩陣的乘積，初等矩陣全部都是滿秩的。19、題目本身不難，直接代入已知條件再作適當(dāng)?shù)淖冃渭纯?，但?fù)習(xí)過(guò)一遍線代的同學(xué)應(yīng)該 注意到，特征值與特征向量的一些概念在此題中已經(jīng)初現(xiàn)端倪，要把思路拓寬，看看從特征 向量的角度來(lái)看是否能對(duì)題目有新的體會(huì)。20、齊次線性方程組的練習(xí)，基本題型，必需的練習(xí)，尤其是+R(B+R(B=R(A+B至于證明本身，只是這兩個(gè)命題在某種特殊情況下的綜合應(yīng)用，解答 過(guò)程給我們的提示相對(duì)來(lái)說(shuō)是更重要的。25、與伴隨陣的秩有關(guān)的著名命題，常用結(jié)論，一定要掌握。證明過(guò)程很多參考資料都給出 了。26、非齊次線性方程組的練習(xí)，基本題型

18、。27、考察線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，較好的融合了該部分的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)此題的練習(xí)可以加深解的結(jié)構(gòu)相關(guān)概念的理解。28、討論參數(shù)取值對(duì)方程組的解的影響，基本題，以向量組的語(yǔ)言給出而已。29、把線性方程組和空間解讀幾何的知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合的一道題目，可以作為一個(gè)提高練習(xí)，不 強(qiáng)求掌握。30、以抽象的向量形式給出線性方程組的問(wèn)題，考研典型題之一，解決此題需要綜合應(yīng)用線 性方程組和向量組的若干知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)掌握和理解的對(duì)象。31、32、33都是涉及解的結(jié)構(gòu)的證明題，其中對(duì)基礎(chǔ)解系的理解要清晰：基礎(chǔ)解系是線性 無(wú)關(guān)的，同時(shí)所有的解都可由基礎(chǔ)解系表示，由此可見(jiàn)基礎(chǔ)解系本身就給出了許多強(qiáng)有力的 信息，這個(gè)在題目中一

19、定要多加利用。同時(shí)還有一些解的結(jié)構(gòu)的命題，如非次方程解的差即 齊次方程解，等等，也可以通過(guò)這幾道練習(xí)中來(lái)加強(qiáng)理解和掌握。34及以后的向量空間的題目都不作要求，最多是 40題的過(guò)渡矩陣了解一下即可，具體解法 可參加書上例題，這里不再詳述。通過(guò)三、四章的學(xué)習(xí)和練習(xí)，我們體會(huì)到，要學(xué)好線代，需要建立起良好的思維習(xí)慣，即面對(duì)線性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，常常需要從不同的角度方程組角度、向量組角度和矩陣角度）去理解同一個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)或數(shù)學(xué)命題，并且它們通常還是可以互推的，所以在線代里，“見(jiàn)一反 三”非常重要，一旦抓住了整個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，線代就會(huì)成為考研數(shù)學(xué)里最簡(jiǎn)單的一環(huán)。同濟(jì)五版線性代數(shù)習(xí)題解讀 五）1、涉及與正交相關(guān)的條

20、件的基本計(jì)算題，可作為運(yùn)算方面的練習(xí)。2、施密特正交化的計(jì)算，很重要的基本題，要注意的是施密特正交化的計(jì)算公式難于記 憶，最好是把正交化的整個(gè)過(guò)程搞清楚，也就是說(shuō)：給你一組向量，你要把它們化成正交 的，怎么做？可以先考慮簡(jiǎn)單情形，兩個(gè)向量怎么正交化？很簡(jiǎn)單，只要一個(gè)向量減去它在 另外一個(gè)上的投影就可以了。那三個(gè)向量怎么正交化？先把其中兩個(gè)正交化，然后第三個(gè)減 去它在另外兩個(gè)的平面上的投影就好了。依次類推，就不難理解施密特正交化中每個(gè)公式的 意義了。3、判斷矩陣是不是正交陣，按定義即可，基本題。4、5是簡(jiǎn)單的涉及正交矩陣概念的證明題，從定義出發(fā)，都不難得到結(jié)論。6、求特征值和特征向量的基本題型，

21、需要練習(xí)純熟。7、證明特征值相同，按特征值定義即可，此命題可作為結(jié)論用。8、較難的一道題，把線代里幾個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)都綜合在一起考察，關(guān)鍵在于問(wèn)題的轉(zhuǎn)化： 有公共的特征向量問(wèn)題即兩個(gè)方程組有公共解的問(wèn)題，然后用與方程組的基礎(chǔ)解系有關(guān)的知 識(shí)點(diǎn)解決，要重點(diǎn)體會(huì)解題思路。9、10、11都是與特征值有關(guān)的一些命題，從定義出發(fā)不難證明，線代里的概念大多都要從定義上去抓住它們，把它們理解好。其中10題是一個(gè)常用的結(jié)論。12、13是特征值性質(zhì)的應(yīng)用，即特征值與矩陣特有的對(duì)應(yīng)關(guān)系，比如矩陣作多項(xiàng)式運(yùn)算，則其特征值也就該多項(xiàng)式規(guī)律變化，基本題，也是常見(jiàn)題型。14、考察相似的概念，仍然是要把握好定義，何為相似？1

22、5、16題涉及到相似對(duì)角化，這就要求把相似對(duì)角化的條件搞清楚，那么什么樣的矩陣可相似對(duì)角化？條件是特征向量線性無(wú)關(guān)，從這點(diǎn)出發(fā)就可以解決問(wèn)題。至于161）則是特征值特征向量定義的直接考察。17、18涉及到求矩陣的乘方，實(shí)際上特征值特征向量問(wèn)題就可以看作是為了簡(jiǎn)化矩陣乘方運(yùn)算提出的，這里自然是化為對(duì)角陣以后計(jì)算，18題是應(yīng)用題形式。19、20題涉及正交的相似變換矩陣，基本題，計(jì)算量較大且容易出錯(cuò)，是值得重視的練 習(xí)。21、22、23題則是特征值問(wèn)題的反問(wèn)題，實(shí)際上把已知的對(duì)角矩陣看作出發(fā)點(diǎn)即可。值得 注意的是：對(duì)一般矩陣來(lái)說(shuō)，不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是線性無(wú)關(guān)的；對(duì)對(duì)稱矩陣來(lái) 說(shuō)，不同的特征值

23、對(duì)應(yīng)的特征向量不僅線性無(wú)關(guān)，還是正交的，這顯然是個(gè)更有用的結(jié)果。 24是一個(gè)重要命題，它涉及到由一個(gè)列向量生成的矩陣的特征值問(wèn)題。實(shí)際上有一個(gè)列向 量生成的矩陣其秩是 1,而且是對(duì)稱的，所以必可對(duì)角化，故 0是其n-1重特征值，至于非 零特征值，也不難求出，就是這個(gè)列向量轉(zhuǎn)置后生成的數(shù)。此題的結(jié)論很常用，要重點(diǎn)掌 握。25題涉及求矩陣的多項(xiàng)式運(yùn)算，不外乎就是乘方運(yùn)算，與17、18題類同。26、27題考察二次型的概念，基本題，要求熟練寫出一個(gè)二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣，反過(guò)來(lái)也 一樣。28、29題考察用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，實(shí)際上就是一個(gè)對(duì)角化的問(wèn)題，但由于是對(duì) 稱矩陣，所以既可正交又可相似對(duì)角化。

24、同時(shí)要注意二次型的幾何意義：是一個(gè)二次曲面。 曲面的形狀在不同的坐標(biāo)系下都是一樣的，所以對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的二次型，若不能直接看出它 是什么曲面，可以通過(guò)化為主坐標(biāo)系下的二次型即標(biāo)準(zhǔn)型）來(lái)進(jìn)行觀察。30、綜合性較強(qiáng)的一道題，轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的條件極值問(wèn)題即可。31、用配方法化二次型的練習(xí)，基本題，注意計(jì)算不要出錯(cuò)。32、33都是判斷二次型的正定性，對(duì)于具體給出的二次型，用順序主子式的符號(hào)即可判斷，這個(gè)是其中一個(gè)充分必要條件。34、實(shí)際給出了正定的另一個(gè)充分必要條件，證明過(guò)程涉及一個(gè)抽象矩陣，故只能從最基本 的正定的定義出發(fā)，此命題是一個(gè)有用的結(jié)論，要求掌握。最后是一些線性代數(shù)核心知識(shí)點(diǎn)的相關(guān)思維訓(xùn)練學(xué)

25、好線代的最關(guān)鍵要點(diǎn)在于“見(jiàn)一反三”，即面對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)，都要能夠從線性方程組、向量和矩陣三個(gè)角度來(lái)表述和理解它，以便于根據(jù)解決問(wèn)題的需要選擇合適的切入點(diǎn)。現(xiàn)將一些個(gè)人覺(jué)得比較鍛煉思維的習(xí)題匯總?cè)缦?，相信通過(guò)對(duì)這些題目涉及的命題及其推理過(guò)程進(jìn)行深入思考，會(huì)有助于更進(jìn)一步把握好線代的知識(shí)體系。1、任何一個(gè)向量 a =a1, a2, ., an ）都能由單位向量e 1=1, 0, ., 0）、 e 2=0,1, ., 0）、 n=0, 0, ., 1）線性表出，且表示方式唯一。2、向量組”1, “2,，a n中任一個(gè)向量a i可以由這個(gè)向量組線性表出。3、判斷下列說(shuō)法正確性：1） “向量組 ”1,

26、 “2,，an,如果有全為零的數(shù) k1,k2, ., kn 使得 k1* a 1+k2* a 2+kn* a n=0,貝U a 1, “2,，an 線性無(wú)關(guān)。” 2）“如果有一組不全為零的數(shù)k1, k2, ., kn ,使得k1* a 1+k2* a 2+ - +kn* a nw0,則a1 , a 2,，n n線性無(wú)關(guān)。3）若向量組a 1, a 2,，n n2）線性相關(guān)，則其 中每一個(gè)向量都可以由其余向量線性表出?！?、三維空間中的任意 4個(gè)向量必線性相關(guān)。5、n+1個(gè)n維向量必線性相關(guān)。6、如果向量組 a 1, a 2, a 3線性無(wú)關(guān)，則向量組 2a1+a2, a 2+5 a 3, 4 a

27、 3+3 a 1也線 性無(wú)關(guān)。7、如果向量組 a 1, a 2, a 3, a 4線性無(wú)關(guān)，判斷向量組a 1+ a 2, a 2+ a 3, a 3+ a 4,a 4+ a 1是否線性無(wú)關(guān)。8、如果向量3可以由向量組1, a 2,，an線性表出，則表出方式唯一的充分必要條 件是a 1 , a 2 ,，n n線性無(wú)關(guān)。9、設(shè)向量組a 1, a 2,，a n線性無(wú)關(guān)，3 =k1* a 1+k2* a 2+ - +kn* a n。如果對(duì)于某個(gè) kiW0,則用3替換ai后得到的向量組 a 1,-，a（i-1 , 3, a（i+1,，an也線性 無(wú)關(guān)。10、由非零向量組成的向量組“1, a 2,，a n

28、n A 2）線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是每一個(gè)a i1i wn）都不能用它前面的向量線性表出。11、設(shè) a1, a 2,，n n 線性無(wú)關(guān)，且 31, 32,，Bn） =A a 1, a 2,，an）, 則3 1, 3 2, , 3 n線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是A的行列式為零。12、秩為r的向量組中任意r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都構(gòu)成它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。13、任一 n維向量組若是線性無(wú)關(guān)的，那么其所含向量數(shù)目不會(huì)超過(guò)no14、如果n維向量構(gòu)成的向量組 a 1 , a 2,，n n線性無(wú)關(guān)，那么任一 n維向量3可由a 1 , a 2,，n n線性表出。15、如果任意的 n維向量都可以由a 1 , a 2,

29、，n n線性表出，那么 a 1 , a 2,，a n 線性無(wú)關(guān)。16、如果秩為r的向量組可以由它的 r個(gè)向量線性表出，則這 r個(gè)向量構(gòu)成的向量組就是它 的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。17、n個(gè)方程的n元線性方程組x1* a 1+x2* a 2+ - +xn* a n= 3對(duì)任何3都有解的充分必要條 件是它的系數(shù)行列式為零。18、如果向量組 ”1, “2,，an和向量組a 1, “2,，an, 3有相同的秩，則 3可 以由al, a2,，n n線性表出。19、r a 1, 2 2,，n n, 31, 3 2,，3 m) r a 1, 2 2,，an) +r31, 3 2,，3 m)。20、矩陣的任意一個(gè)

30、子矩陣的秩不會(huì)超過(guò)原矩陣的秩。21、如果m*n的矩陣A的秩為r,那它的任何s行組成的子矩陣 A1的秩不會(huì)小于r+s-m。22、如果一個(gè)n*n矩陣至少有nA2-n+1個(gè)元素為0,則這個(gè)矩陣不是滿秩矩陣。23、如果一個(gè)n*n矩陣至少有nA2-n+1個(gè)元素為0,那么這個(gè)矩陣的秩最多是多少？24、設(shè)刀1, 2 2,，y t是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則與 1 1, 2 2,，y t等 價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組也是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。25、設(shè)n元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩是rrn ),則方程組的任意 n-r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量都是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。26、設(shè)n元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩是rrn),設(shè)

31、81, 8 2,，8 m是方程組的解向量，則 r不為零，則向量, A(k2, ., A(kn )是這個(gè)齊次線性方程組 的一個(gè)基礎(chǔ)解系。28、設(shè)A1是s*n矩B$ A的前s-1行組成的子矩陣，如果以 A1為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組 的解都是方程 a(s1*x1+a(s2*x2+ +a(sn*xn=0的解，其中a(ij是矩陣A的元素，則 A 的第s行可以由A的前s-1行線性表出。29、n個(gè)方程的n元非齊次線性方程組有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)它對(duì)應(yīng)的齊次方程組只有零解。30、如果Y 1, Y 2,，y t都是n元非齊次線性方程組的解，并且有一組數(shù)u1, u2,，un 滿足 u1+u2+.+un=1 ,貝U u1* y 1+u2* 2 2+- - +ut* 刀 t 也是方程組的一個(gè)解。31、如果v 0是非齊次線性方程組的一個(gè)特解，刀1,刀2,，y t是它對(duì)應(yīng)的齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，令丫1 = 丫0+刀1, 丫2=丫0+刀2,，丫 t= 丫 0+刀t ,則非齊次線性方程組的任意一個(gè)解可以表示為丫 =u0* 丫 0+u1* v 1+u2* v 2+.+ut* v t ,其中 u0+u1+u2+.+ut=1 。32、設(shè)A是s*n矩陣，如果對(duì)于任意列向量Y,者B有At =0,則A=0。33、兩個(gè)n級(jí)上三角矩陣白乘積仍是n級(jí)上三角矩陣，且乘積矩陣的主對(duì)角元等于因子矩陣的相應(yīng)主對(duì)角