《微積分》第二篇第一章講義不定積分課件

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分第1頁，共51頁。第二篇 第一章 不定積分原函數(shù)的概念 、不定積分的求法本章難點(diǎn)：原函數(shù)的概念、分部積分法本章重點(diǎn)：第2頁，共51頁。一、不定積分的概念（一）原函數(shù)的概念1、回顧求“導(dǎo)數(shù)”例如：現(xiàn)在，我們問：這個過程是否可以反過來？即：第3頁，共51頁?！径x1.1】(P220)【注意】其中c為任意常數(shù)所以，都是 的原函數(shù)。第4頁，共51頁。第5頁，共51頁?！纠?】 給定函數(shù)求它的一個原函數(shù)?！窘狻恳?yàn)槲覀冎馈纠?】 給定函數(shù)求它的一個原函數(shù)?！窘狻恳?yàn)榈?頁，共51頁。討論1：任給一個函數(shù)，它是否總有原函數(shù)？結(jié)論1：初等函數(shù)總有原函數(shù)！答：不一定。討論2：如果一個函數(shù)有

2、原函數(shù)，會有多少 個原函數(shù)？可見，原函數(shù)是不唯一的。結(jié)論2：一個函數(shù)有原函數(shù)的話，就有 無窮多個原函數(shù)。第7頁，共51頁。（二） 不定積分的定義定義1.2:【例】其中 f(x) 稱為被積函數(shù)，x 為積分變量。第8頁，共51頁。注意：【例如】記?。呵蟛欢ǚe分就是求原函數(shù)第9頁，共51頁。二、不定積分的求法實(shí)際上導(dǎo)數(shù)和不定積分是兩種互逆運(yùn)算。所以類似于求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求初等函數(shù)的不定積分，也分三個方面:（1）積分的基本公式；（2）不定積分的四則運(yùn)算法則；（3）不定積分與復(fù)合運(yùn)算的關(guān)系.第10頁，共51頁。由前面的分析知道：求導(dǎo)公式反過來就是積分公式（一）不定積分的基本公式也就是說，有一個導(dǎo)數(shù)公式

3、，反過來就有一個積分公式 導(dǎo)數(shù)基本公式積分基本公式第11頁，共51頁。解：注意：冪函數(shù)求導(dǎo)數(shù)會降低冪次，求不定積分 會增加冪次。解：第12頁，共51頁。解：解：第13頁，共51頁。解：解：第14頁，共51頁。導(dǎo)數(shù)基本公式積分基本公式證明：將兩個結(jié)果統(tǒng)一起來就得到積分公式(3). 第15頁，共51頁?！窘狻繉?dǎo)數(shù)基本公式積分基本公式第16頁，共51頁。導(dǎo)數(shù)基本公式積分基本公式第17頁，共51頁。以上這些積分基本公式都是需要牢記的另外，有一種方法可以檢驗(yàn)不定積分計算的正確與否：就是將計算結(jié)果求導(dǎo)數(shù)，看是否等于被積函數(shù)。積分公式固然重要，但最重要的還是求導(dǎo)公式。第18頁，共51頁。系統(tǒng)回顧一下積分基本

4、公式第19頁，共51頁。第20頁，共51頁。（二）不定積分的四則運(yùn)算法則實(shí)際上都是由求導(dǎo)法則推出來的。第21頁，共51頁。例4：解：性質(zhì)1性質(zhì)2第22頁，共51頁。例5：解：像這種利用不定積分的性質(zhì)1、2和積分基本公式直接計算出不定積分的方法稱為直接積分法 第23頁，共51頁?！揪毩?xí)1】課本225頁，練習(xí)1.2 題1第24頁，共51頁?！窘狻啃再|(zhì)1第25頁，共51頁。求復(fù)雜積分的兩種方法1、第一換元法（湊微分法）2、分部積分法第26頁，共51頁。（三）第一換元法（湊微分法）分析：第27頁，共51頁?！窘狻康?8頁，共51頁?！净鞠敕ā?被積函數(shù)復(fù)雜時，找一個中間變量將被積函數(shù)變成簡單函數(shù)求積

5、分。用公式表達(dá)為：第29頁，共51頁。第一換元法（湊微分法）的步驟：第30頁，共51頁?！窘狻康?1頁，共51頁。解：第32頁，共51頁?！揪毩?xí)2】課本236頁，練習(xí)1.3 題2第33頁，共51頁?！窘狻康?4頁，共51頁。2、第二換元法解：為使被積函數(shù)有理化,作變換代入原式得：第35頁，共51頁。第36頁，共51頁。（四）分部積分法主要是用于處理被積函數(shù)是兩個函數(shù)相乘的形式的不定積分。定理1.2（分部積分公式）寫成微分形式：第37頁，共51頁。運(yùn)用分部積分法求不定積分，主要是要熟練運(yùn)用分部積分公式。分部積分法求 的步驟是：將左邊復(fù)雜的積分化為右邊簡單的積分。第38頁，共51頁。解：第39頁，共51頁。問題：兩個函數(shù)先找哪個函數(shù)的原函數(shù)呢？方法是： 冪函數(shù)乘以三角函數(shù)時，先找三角函數(shù) 的原函數(shù)； 冪函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)時，先找指數(shù)函數(shù) 的原函數(shù)； 冪函數(shù)乘以對數(shù)函數(shù)時，先找冪函數(shù)的 原函數(shù)。第40頁，共51頁?！窘狻?冪函數(shù)乘以三角函數(shù)時，先找三角函數(shù) 的原函數(shù)；第41頁，共51頁。解：【注意】連續(xù)多次運(yùn)用分部積分公式第42頁，共51頁。解：第43頁，共51頁。解：第44頁，共51頁。解：第45頁，共51頁。一般地，要記?。旱?6頁，共51頁?！揪?/p>