向量在中學(xué)幾何中的應(yīng)用

1、PAGE PAGE 7向量在中學(xué)幾何中的應(yīng)用 所謂向量法，就是利用向量的運(yùn)算來(lái)研究圖形性質(zhì)的方法。幾何學(xué)的主要內(nèi)容是研究空間或平面圖形的性質(zhì)，而空間或平面圖形可以看成是點(diǎn)的集合。由于向量的幾何性質(zhì)，又由于向量、點(diǎn)、序偶之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以把圖形的基本結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)為向量的關(guān)系，這實(shí)質(zhì)就是幾何問(wèn)題的代數(shù)化處理。這樣，幾何中的添線、補(bǔ)圖等技巧讓位于代數(shù)中的解法。運(yùn)用向量方法處理中學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)問(wèn)題能開(kāi)闊解題思路，化難為易，使之更簡(jiǎn)捷地得到解決。下面舉例題來(lái)說(shuō)明向量在中學(xué)幾何中的應(yīng)用。一、利用向量射影公式求兩異面直線間的距離利用向量射影公式求兩異面直線間的距離，對(duì)數(shù)量積公式=|變形，可得向量射影公式| =，求

2、兩異面直線間的距離，可轉(zhuǎn)化為先求得兩直線的公垂線的方向，然后在兩直線上各取一點(diǎn)，得到以這兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量，最后利用向量射影公式求出該向量在公垂線的方向上的射影長(zhǎng)就是兩異面直線間的距離。 例1、已知長(zhǎng)方體中， =4，=3， =2，若、分別是、的中點(diǎn)，求異面直線與間的距離。 解；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，則有：， ， ， ， 圖1所以=，=，。 設(shè)=，且, 解得： 取y=3，則設(shè)向量在向量上的射影長(zhǎng)為,則 即為異面直線間的距離，所以=|=二、利用向量求點(diǎn)到面的距離 點(diǎn)到平面的距離，可轉(zhuǎn)化為求以該點(diǎn)為端點(diǎn)的斜線段所成的向量到該平面的法向量上的射影長(zhǎng)。例2、如圖2，在棱長(zhǎng)為

3、1的正方體- 中，、分別是、的中點(diǎn)，求點(diǎn)到截面的距離. 解：以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則, ,所以, , 設(shè)面的法向量為= ,則有：， 圖2 所以 令x=1,則y=2,z=-1，所以。又，所以點(diǎn)到截面的距離為=。對(duì)于線面距離、面面距離，可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離來(lái)求解。所以點(diǎn)面距離的向量求法可以加以推廣，進(jìn)行合理的應(yīng)用。三、利用向量求兩條異面直線所成的角在計(jì)算異面直線所成角時(shí)，轉(zhuǎn)化為求向量的夾角。利用公式。例3、在長(zhǎng)方體- 中，已知 =3, =,求：異面直線與所成的角。解：如圖3，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，以為y軸，以為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則有：, , , 所以, ,所以 = 圖3 (

4、點(diǎn)評(píng)：計(jì)算兩條直線所成的角是向量運(yùn)算的基本功能，應(yīng)重點(diǎn)掌握)四、利用向量求二面角求二面角的大小問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為二面角兩個(gè)面所對(duì)應(yīng)的法向量與法向量夾角的問(wèn)題、避免了尋找兩個(gè)面的平面角的麻煩，一般步驟如下：（1）求平面，平面的法向量，（2）求的大?。?）利用二面角與其法向量夾角關(guān)系，得出二面角的大小為或-。其中的大小可以計(jì)算得出，但確定二面角的大小是還是-呢？可根據(jù)定理：若、分別為二面角的兩個(gè)半平面上二點(diǎn)，且,，、分別為平面，平面的法向量，則當(dāng)與符號(hào)相同時(shí)，二面角的大小與相等，當(dāng)與符號(hào)相反時(shí)，二面角的大小與互補(bǔ)，概括為“同號(hào)相等，異號(hào)相反”。例4、已知正方體- 中，、分別為棱、的中點(diǎn)。求平面與平面所

5、成的二面角大小。解：如圖4，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則，。， ， 設(shè)平面的法向量。=0， =0 ，令z=-2， 圖4 則同理，可求得平面的一個(gè)法向量，=-,又由=-20，=20可知所求二面角與其法向量夾角互補(bǔ)。平面與平面所成的二面角大小為。五、利用向量求軌跡方程利用向量確定具有一定性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡，其過(guò)程一般是：（1）設(shè)置向量，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；（2）根據(jù)已知條件找出已知點(diǎn)或線段對(duì)應(yīng)的向量，并把它們看作常量，找出動(dòng)點(diǎn)表示的向量。例5、如圖5，已知橢圓，直線是直線上一點(diǎn)，射線交橢圓于，又點(diǎn)在上且滿足,當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。 解：由題意可設(shè)= （0

6、） = （0） 、代入= 設(shè)、 、 圖5 由、可得 ， 因?yàn)辄c(diǎn)、分別在已知直線和橢圓上，分別代入得： 由、可得： ，因此點(diǎn)的軌跡是橢圓，其軌跡方程為： （其中x、y不同時(shí)為零）。說(shuō)明：這是幾年前的一道全國(guó)高考題，是一道有難度的多動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題。如果用解析幾何常規(guī)方法求解，其過(guò)程曲折冗長(zhǎng)，運(yùn)算復(fù)雜?，F(xiàn)在用向量求解，不僅減少運(yùn)算量，其過(guò)程也變得平坦自然。在解題過(guò)程中，除了合理地構(gòu)造向量外，另一關(guān)鍵點(diǎn)就是充分利用了共線向量的性質(zhì)。 六、利用共線向量定理證明：兩直線平行 例6、如圖6，已知五邊行，、分別是邊、的中點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)。求證：/且=。（分析：欲證兩直線平行，只需證明分別在兩直線上的非零向量共線即可）證明：任取一點(diǎn)，則=（+ ）=（+）=（+ ）=（+）=-=（-）= 圖6故/且=七、利用向量證明垂直問(wèn)題 例7、如圖7，四面體中，=，=，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，求證：是、的公垂線。分析：要證，由向量垂直的充要條件可知，只要證,且即可，應(yīng)用向量加法的法則，由得到， ，由得到， 圖7 ，又由、分別是、的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)即可得到，。證明：=，=, 點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn) 化簡(jiǎn) 式得 化簡(jiǎn) 式得 - 得 = 由、得=0， 是、的公垂線?？傊?，幾何對(duì)象的向量方法處理，既能反映對(duì)象間的數(shù)量關(guān)系，又能體現(xiàn)其位置關(guān)系，從而能數(shù)形相輔地用代數(shù)方法研究幾何題。用向