高考數(shù)學(xué)選填靜電題型匯編：題型4 具有關(guān)于某點對稱的函數(shù)的最值性質(zhì)

1、題型4 具有關(guān)于某點對稱的函數(shù)的最值性質(zhì)【方法點撥】1.若奇函數(shù)f(x)在D上有最值，則f(x)maxf(x)min0.2.關(guān)于某一點中心對稱的函數(shù)在對稱區(qū)間上的最值的解決方法同上，可以使用圖象變換，轉(zhuǎn)化為奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的最值問題. 一般的，若單調(diào)函數(shù)f(x)關(guān)于點(m，n)對稱，且在D上有最值，則f(x)maxf(x)min2n.【典型題示例】例1 設(shè)函數(shù)f(x)eq f(（x1）2sin x,x21)的最大值為M，最小值為m，則Mm_.【答案】2【分析】本題解法較多，利用函數(shù)的奇偶性應(yīng)當(dāng)最為簡單.將函數(shù)解析式適當(dāng)作如下變形，設(shè)，顯然為奇函數(shù)，由題意知其最大值、最小值一定存在，根據(jù)函數(shù)圖

2、象的對稱性，最大值與最小值互為相反數(shù)，其和為0，所以，本題應(yīng)填2.【解析】顯然函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x)eq f(（x1）2sin x,x21)1eq f(2xsin x,x21)，設(shè)g(x)eq f(2xsin x,x21)，則g(x)g(x)，g(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖象的對稱性知g(x)maxg(x)min0，Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2答案：2.點評:1.本題欲求最大值與最小值的和，上述解法沒有運用常規(guī)的求最值的基本工具，如：求導(dǎo)、基本不等式、單調(diào)性、反解等，而是充分利用函數(shù)的性質(zhì)奇偶性，舍棄解析式其外在的“形”轉(zhuǎn)而研究函數(shù)的“性”，這

3、種策略和方法在解題中經(jīng)常涉及.由于考生受定勢思維的影響，此類題目多為考生所畏懼.2. 發(fā)現(xiàn)函數(shù)隱藏的單調(diào)性、對稱性是解決此類問題之關(guān)鍵，對于單調(diào)奇函數(shù)有下列性質(zhì)：若單調(diào)奇函數(shù)f(x)滿足f(a)f(b)0，則ab0.更一般的，若單調(diào)函數(shù)f(x)關(guān)于點(m，n)對稱，且滿足f(a)f(b)2n，則ab2m.例2 已知函數(shù)，則_【答案】【解析】因為所以,故答案為：.例3 已知，設(shè)函數(shù)，的最大值、最小值分別為，則的值為 .【答案】4039【分析】研究函數(shù)的對稱性，利用函數(shù)（其中是奇函數(shù)）在對稱區(qū)間上的最大值、最小值的和為.【解析】設(shè)則所以的圖象關(guān)于點對稱所以的圖象關(guān)于點對稱故的值為4039.【鞏固訓(xùn)

4、練】1.已知函數(shù)f(x)ln(eq r(19x2)3x)1，則f(lg 2)feq blc(rc)(avs4alco1(lg f(1,2)()A.1 B.0 C.1 D.22已知定義在上的函數(shù)，則在上的最大值與最小值之和等于（ ）ABCD3.已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值為（ ）A0B1C2D34.已知函數(shù)在區(qū)間的值域為，則的值為_.5. 已知函數(shù),在區(qū)間上的最大值為最小值為則_.【答案與提示】1.【答案】D【解析】令g(x)ln(eq r(19x2)3x)，xR，則g(x)ln(eq r(19x2)3x)，因為g(x)g(x)ln(eq r(19x2)3x)ln(eq r(19x2)3

5、x)ln(19x29x2)ln 10，所以g(x)是定義在R上的奇函數(shù).又lg eq f(1,2)lg 2，所以g(lg 2)geq blc(rc)(avs4alco1(lg f(1,2)0，所以f(lg 2)feq blc(rc)(avs4alco1(lg f(1,2)g(lg 2)1geq blc(rc)(avs4alco1(lg f(1,2)12.2 【解析】根據(jù)題意，設(shè)，有，即函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，則，則有，變形可得，所以，當(dāng)時，函數(shù)的最大值與最小值之和等于.故選：C3.【解析】，令，即,而是在R上的奇函數(shù)，設(shè)其最大值為,最小值為，由奇函數(shù)性質(zhì)可得，所以，故選擇C4.【答案】2【分析】本題的難點在于發(fā)現(xiàn)函數(shù)內(nèi)隱藏的奇偶性、對稱性. 【解析】因為設(shè)，則為定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)所以在區(qū)