控制工程基礎(chǔ)第三章ccx

1、第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法3-1 系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)3-2 一階系統(tǒng)的時域分析3-3 二階系統(tǒng)的時域分析3-4 高階系統(tǒng)的時域分析3-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性3-6 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算3-1 系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)典型輸入信號：正弦函數(shù)1單位脈沖函數(shù)單位加速度函數(shù)單位斜坡（速度）函數(shù)單位階躍函數(shù)復(fù)域表達(dá)式時域表達(dá)式名 稱系統(tǒng)性能指標(biāo)： 1、動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程 動態(tài)過程指在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。動態(tài)過程表現(xiàn)為：衰減、發(fā)散、等幅振蕩。 動態(tài)過程提供穩(wěn)定性，響應(yīng)速度及阻尼情況信息 穩(wěn)態(tài)過程指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當(dāng)時間t 趨于無窮時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)

2、方式，表征系統(tǒng)輸出量復(fù)現(xiàn)輸入量的程度。 穩(wěn)態(tài)過程提供穩(wěn)態(tài)誤差信息 2、動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能 動態(tài)性能是指描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動態(tài)過程隨時間t 的變化狀況的指標(biāo)。 穩(wěn)態(tài)誤差是描述穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標(biāo)，是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。控制系統(tǒng)運(yùn)行的首要條件系統(tǒng)在此作用下的動態(tài)性能能夠滿足要求，其他函數(shù)作用下的動態(tài)性能即可滿足要求th()0.9h()0.5h()0.1h()h(t)0tdtrtstp超調(diào)量穩(wěn)態(tài)值誤差帶：允許誤差5或2%調(diào)節(jié)時間：響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在一個允許誤差范圍內(nèi)，所需的最短時間。峰值時間：響應(yīng)曲線達(dá)到第一個峰值所需要的時間。上升時間：響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的1

3、0%上升到90%，所需的時間。延遲時間：響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時間。h()h(t)0.1h()0.9h()0t0.5h()tdtrts穩(wěn)態(tài)值延遲時間td：指響應(yīng)曲線第一次達(dá)到其終值的50所需的時間；上升時間tr：指響應(yīng)從終值的10上升到終值的90所需的時間（對于有振蕩的系統(tǒng)來說，上升時間可定義為從零第一次上升到終值所需的時間）；峰值時間tp：指響應(yīng)超過其終值到達(dá)第一個峰值所需的時間；調(diào)節(jié)時間ts：指響應(yīng)到達(dá)并保持在終值的5或2內(nèi)所需的最短時間；超調(diào)量：指響應(yīng)的最大偏離值與終值的百分?jǐn)?shù)，即振蕩次數(shù)N：在調(diào)整時間ts內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)曲線的振蕩次數(shù)。3-2 一階系統(tǒng)的時域分析1、一階系統(tǒng)的數(shù)

4、學(xué)模型RC電路，溫室調(diào)節(jié)系統(tǒng)，水位調(diào)節(jié)系統(tǒng)，恒溫箱等2、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)無振蕩無穩(wěn)態(tài)誤差初始斜率：1/T0.6320.8650.950.982T(慣性)越小，響應(yīng)越快0.368/T3、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)無穩(wěn)態(tài)誤差斜率：1/T2零初始條件下，閉環(huán)傳函和脈沖響應(yīng)具有相同的動態(tài)過程信息，故常求單位脈沖響應(yīng)，得被測系統(tǒng)的閉環(huán)傳函；工程上無法得到理想的單位脈沖，常用具有一定脈寬h和有限幅度的矩形脈動函數(shù)代替，要求：h=0)(t)1(t)t觀察一下他們之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系？線性定常系統(tǒng)的一個重要特性：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。系統(tǒng)對輸入信號積分的響

5、應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分，其積分常數(shù)由初始條件確定。 此特性適用于任何階線性定常系統(tǒng)。3-3 二階系統(tǒng)的時域分析一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型阻尼比系統(tǒng)無阻尼固有頻率二階系統(tǒng)特征方程： 根據(jù) 值的取值范圍不同，特征根的分布情況有如下七種：無阻尼欠阻尼過阻尼臨界阻尼特征方程的解具有正實(shí)部，系統(tǒng)不穩(wěn)定。特征方程的解為一對共軛虛根，系統(tǒng)等幅振蕩。特征方程的解具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)時域響應(yīng)含有衰減分量。1、欠阻尼情況（ ）：阻尼振蕩頻率二、二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)延遲時間：上升時間：峰值時間：超調(diào)量： 一般地，取 ，這時調(diào)節(jié)時間：超調(diào)量只與阻尼比有關(guān)2、臨界阻尼情況（ ）：3、過阻尼情況（ ）：調(diào)節(jié)時間：上升時

6、間：延遲時間：4、無阻尼情況（ ）：二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線三、二階系統(tǒng)的單位速度響應(yīng) 1、欠阻尼情況（ ）：穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量2、臨界阻尼情況（ ）：結(jié)論：二階系統(tǒng)跟蹤單位速度響應(yīng)，其穩(wěn)態(tài)誤差為3、過阻尼情況（ ）：例：控制系統(tǒng) 輸入 放大器增益求：系統(tǒng)誤差響應(yīng)及性能指標(biāo)解：系統(tǒng)開環(huán)傳函因此二階系統(tǒng)跟蹤單位速度響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差均為KAn延遲時間td上升時間tr調(diào)節(jié)時間ts峰值時間tp超調(diào)量穩(wěn)態(tài)誤差ess13.52.18.20.331.061.44-0.512000.5531.6-0.170.080.80.03515000.286.6-0.170.020.80.0046結(jié)論： KA，ess,但惡化

7、了動態(tài)性能因此：不宜太大，n希望足夠大五、二階系統(tǒng)性能的改善比例-微分（PD）控制：PD控制的定性分析比例-微分（PD）控制：結(jié)論：比例-微分控制可以增大系統(tǒng)的阻尼，使階躍響應(yīng)的超調(diào)量下降，調(diào)節(jié)時間縮短，且不影響常值穩(wěn)態(tài)誤差及系統(tǒng)的自然頻率。不變仿真示例：測速反饋控制：PD結(jié)論：測速反饋會降低系統(tǒng)的開環(huán)增益，從而加大系統(tǒng)在斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差，但不影響系統(tǒng)的自然頻率，并可增大系統(tǒng)的阻尼比。不變測速反饋控制：仿真示例3-4 高階系統(tǒng)的時域分析當(dāng) 時，可以證明：離虛軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)，其響應(yīng)分量衰減越快，Aj 的值也較小。閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)：如果在所有的閉環(huán)極點(diǎn)中，距虛軸最近的極點(diǎn)周圍沒有閉環(huán)零點(diǎn)，而其它閉環(huán)極

8、點(diǎn)又遠(yuǎn)離虛軸，那么距虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)分量，隨時間的推移衰減緩慢，無論從指數(shù)還是從系數(shù)來看，在系統(tǒng)的時間響應(yīng)過程中起主導(dǎo)作用，這樣的閉環(huán)極點(diǎn)就稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。偶極子： 一對閉環(huán)零極點(diǎn)，若它們之間的距離較與其它零極點(diǎn)的距離相比，非常小，則它們的作用可以相互抵消。主要結(jié)論：閉環(huán)零點(diǎn)對系統(tǒng)動態(tài)性能總的影響是減小峰值時間，增大系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間，這種作用將隨閉環(huán)零點(diǎn)接近虛軸而加劇。閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)對系統(tǒng)動態(tài)性能總的影響是增大峰值時間，但減小系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間。3-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性的基本概念：線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其動態(tài)過程隨時間的推移逐

9、漸衰減并趨于零（原平衡工作點(diǎn)），則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之，若在初始擾動影響下，系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。穩(wěn)定的平衡點(diǎn) 不穩(wěn)定的平衡點(diǎn) 穩(wěn)定區(qū)域線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：閉環(huán)傳遞函數(shù)：當(dāng) 時，其中：其中：cj、dk、ek均為實(shí)數(shù)。當(dāng) 時， 的條件： (j=1,q, k=1,r)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件： 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部，或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均嚴(yán)格位于左半 s 平面。穩(wěn)定性與零點(diǎn)無關(guān)勞斯(Roth)穩(wěn)定判據(jù)：勞斯穩(wěn)定判據(jù)：（1）寫出系統(tǒng)閉環(huán)特征方程（按 s 的降冪排列）（2）判定穩(wěn)定的必要條件（3）列勞斯表（4）穩(wěn)定的充要條件 勞斯表中第

10、一列元素均大于0。 若勞斯表第一列中出現(xiàn)負(fù)元素，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列各元素符號的改變次數(shù)代表特征方程正實(shí)部根的數(shù)目。勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況：（1）勞斯表中某行的第一列項(xiàng)為0，而其余各項(xiàng)不為0或不全為0。 例： 1 3 2 1 3 0 2 2 系統(tǒng)不穩(wěn)定，且存在兩個根位于s右半平面。此行的0用一個非常小的正數(shù)代替構(gòu)造輔助方程：求導(dǎo)得（2）勞斯表中出現(xiàn)全0行 例： 1 8 20 16 2 12 16 2 12 16 0 0 6 16 8/3 16 824勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用：（1）確定系統(tǒng)穩(wěn)定的條件（2）確定根的范圍 系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度：指系統(tǒng)特征根位置與虛軸之間的距離，距離越大，動態(tài)性能越好。 通常

11、在左半 s 平面上作一條sa (a0) 的垂線，而 a 是系統(tǒng)特征根位置與虛軸之間的最小給定距離，希望所有的根均位于此垂線的左側(cè)。3-6 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算誤差與穩(wěn)態(tài)誤差： 輸入端定義： 輸出端定義： 當(dāng) H(s)=1（單位負(fù)反饋）時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差：應(yīng)用拉氏終值定理的條件是： sE(s)在 s 右半平面及除原點(diǎn)外的虛軸上解析。 即 sE(s)的所有極點(diǎn)位于 s 左半平面（包括坐標(biāo)原點(diǎn)）。 對于一個給定的穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號形式一定時，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差就取決于開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。開環(huán)傳遞函數(shù)：穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)類型：按的數(shù)值來劃分系統(tǒng)的類型： =0 0型系統(tǒng) =1 型系統(tǒng) =2 型

12、系統(tǒng)以此類推。影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素是：系統(tǒng)型別、開環(huán)增益、輸入信號的形式和幅值。靜態(tài)誤差系數(shù)：（1）靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp 在典型輸入 時， 定義靜態(tài)位置誤差系數(shù)： 在典型輸入 時， 定義靜態(tài)速度誤差系數(shù)：（2）靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv 在典型輸入 時， 定義靜態(tài)加速度誤差系數(shù)：（3）靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)型別靜態(tài)誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差KpKvKa單位階躍輸入單位速度輸入單位加速度輸入0型K00型K00型K00靜態(tài)誤差系數(shù)定量描述了系統(tǒng)跟蹤不同形式輸入信號（三種典型輸入信號）的能力，但求得的是系統(tǒng)的終值誤差，不能表示穩(wěn)態(tài)誤差隨時間的變化規(guī)律。利用靜態(tài)誤差系數(shù)求解穩(wěn)態(tài)誤差的前提：

13、（1）系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的；（2）輸入信號必須是三種典型信號（階躍信號、速度信號、加速度信號）或是它們的線性組合。輸入信號：穩(wěn)態(tài)誤差：擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差： 控制系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差值，反映了系統(tǒng)的抗干擾能力。其中： 為比例系數(shù)； 為積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。設(shè)（1）（2）（3）說明：干擾前加積分環(huán)節(jié)能夠克服干擾給系統(tǒng)帶來的穩(wěn)態(tài)誤差；干擾后加積分環(huán)節(jié)無用。擾動對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的影響，一方面取決于N(s)的類型，一方取決于干擾之前系統(tǒng)環(huán)節(jié)的積分?jǐn)?shù)目1和開環(huán)放大倍數(shù)K1。減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施： 產(chǎn)生誤差的原因：輸入信號、擾動信號1、對于輸入信號產(chǎn)生的誤差 Er(s) ：（1）提高系統(tǒng)的型號（2）增大開環(huán)增益 但上述兩種措施會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2、對