大一高數(shù)課件第八章811多元函數(shù)的基本概念、微分法及其應(yīng)用

1、推廣第八章 一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué) 注意: 善于類比, 區(qū)別異同多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用 第八章 第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念 （1）鄰域一、多元函數(shù)的概念說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 ,也可寫成點(diǎn) 的去心鄰域記為（2）區(qū)域例如，即為開集連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域例如，例如，有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域例如，（3）聚點(diǎn) 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說明： 邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；例(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn) 點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E例如,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合（3）n維空間 n維空間的記號為說

2、明： n維空間中兩點(diǎn)間距離公式 特殊地當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離設(shè)兩點(diǎn)為 n維空間中鄰域、區(qū)域等概念內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域等概念也可定義鄰域：二、多元函數(shù)的概念 引例: 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強(qiáng)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （1）二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)稱為該函數(shù)的定義域，稱為自變量，稱為因變量數(shù)集稱為函數(shù)的值域在點(diǎn)的值記為例1 求 的定義域解所求定義域?yàn)槭怯薪玳]區(qū)域例如的定義域是無界開區(qū)域的定義域不是區(qū)域（2） 二元函數(shù) 的圖形二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.圖形如右圖.例如,例如,左圖球面.單值分支:定義1 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槭堑膬?nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，如果

3、以任何方式無限趨近于時(shí)，函數(shù)的對應(yīng)值總是無限趨近于某一個(gè)確定的常數(shù)則稱A為函數(shù)當(dāng)記為 或這里三、多元函數(shù)的極限時(shí)的極限說明：（1）定義中 的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似例2 求證 證當(dāng) 時(shí)，原結(jié)論成立例3 求極限 解其中值或有的極限不存在，則可以斷定函數(shù)極限不存在 .例4. 討論函數(shù)函數(shù)趨于不同 若當(dāng)點(diǎn) 以不同方式趨于解: 設(shè) 沿直線 趨于點(diǎn) ,則有在點(diǎn) 的極限. 值不同極限不同 !在 點(diǎn)極限不存在 .例4 證明 不存在 證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在不存在.觀察播放確定極限不存在的方法：利用點(diǎn)函數(shù)的形式有四、多元函數(shù)的連續(xù)性

4、定義3對二元函數(shù)，如果則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).例如, 函數(shù)又如, 函數(shù)上間斷.在圓周在點(diǎn) 極限不存在, 故 為其間斷點(diǎn).注（1）（2）二元連續(xù)函數(shù)是一個(gè)無孔無縫的曲面如果函數(shù)在 上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 上連續(xù)例5 討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性解取故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).當(dāng) 時(shí)例6 討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性解取其值隨k的不同而變化，極限不存在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）最大值和最小值定理 在有界閉區(qū)域 上的多元連續(xù)函數(shù)，在 上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次（2）介值定理多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)例如等都是二元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域例解多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）五、小結(jié)多元函數(shù)的定義思考題思考題解答不能.例取但是 不存在.原因?yàn)槿羧?、若,則_.,則_.的定義域是_.4、