人教版A版高中數(shù)學(xué)必修4-三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)例題DOC

1、- -三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角V2、角d的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱d為第幾象限角.第一象限角的集合為k-360第二象限角的集合為k-360dk-360+90,kgZ丿oo+90k-360+180,kgZ第三象限角的集合為k-360第四象限角的集合為k-360終邊在x軸上的角的集合為+180dk-360+270,kgzooo+270d)y貝ysin-=,rxcos-=,rtan=(x豐0),x10、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限

2、正切為正，第四象限余弦為正11、三角函數(shù)線：sin=MP,cos-=OM,tan=AT.12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：(1)sin2-+cos2-=1(sin2a=1一cos2a,cos2a=1一sin2a)；(2)sina=tanacosa.、.sinasina=tanacosa,cosa=tana丿13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：(l)sin(2k兀+a)=sina,cos(2k兀+a)=cosa,tan(2k兀+a)=tana(kwz).(2)sinG+a)=sina,cosG+a)=cosa,tanG+a)=tana.(3)sin(-a)=一sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)

3、=tana.(4)sinGa)=sina,cosGa)=cosa,tanGa)=tana.口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限.符號(hào)看象限，就是把a(bǔ)看作是某一個(gè)銳角(例如30、45、60之類)，然后n+a、n-a、-a就看作是n與這個(gè)銳角相加減或者相反后的角，然后根據(jù)這個(gè)角在第幾象限，來(lái)判斷三角函數(shù)的正負(fù)。例如把a(bǔ)看作是30,所以n+a為210第三象限角，所以sin為負(fù)、cos為負(fù)、tan為正，也就是誘導(dǎo)公式二了。結(jié)論：當(dāng)扌巴把a(bǔ)看作是某一個(gè)銳角時(shí)，n+a、n-a、-a就分別為第三、第二、第四象限角了，又例如：sin(3n+a)先化成sin【2n+(n+a)】，再化成sin(n+a)，因?yàn)閚+a第三

4、象限角，而第三象限角的sin為負(fù)，所以sin(n+a)=-sina，用等式表示為sin(3n+a)=sin【2n+(n+a)=sin(n+a)=-sina(5)sin=cosa，cos-a=sina.12丿(6)sin5)+a12丿=cosa，5).cos+a=-sina.12丿口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限.(這里的符號(hào)看象限，跟上面的一樣道理，不同的是n減小到一半而已，其他沒變，同樣把a(bǔ)看作是某一個(gè)銳角，然后來(lái)判斷)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)歸納一、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：性函數(shù)y=sinxycosxytanx圖象y/iJl22310衛(wèi)2J一ky

5、l4VLxi口丿丿、丿WO定義域RR兀xx豐k兀,kwZ、2J值域-1,1-1,1R最值當(dāng)x=2k兀H(kwZ)2時(shí)，y=1；max當(dāng)x2k兀(kwZ)2時(shí)，y.-1.min當(dāng)x2k兀(kwZ)時(shí)，y1；當(dāng)x2k兀+兀max(kwZ)時(shí)，y-1.min既無(wú)最大值也無(wú)最小值周期性2兀2兀兀奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在2k兀2k兀H仕L22在bk兀一兀,2k兀(kwZ)上是增函數(shù)；在(兀，兀、k兀,k兀+122丿(keZ)上是增函數(shù)；“-“3-在2k+,2k+仕L22(keZ)上是減函數(shù).在2k-,2k-+-(keZ)上是減函數(shù).(keZ)上是增函數(shù).對(duì)稱性對(duì)稱中心(k-,0)(keZ)對(duì)稱軸

6、x-k-+(keZ)對(duì)稱中k-+,0(keZ)k2丿對(duì)稱軸x=k-(keZ)對(duì)稱中心2,0(kez)k2丿無(wú)對(duì)稱軸2、正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線二、yX1y=cosx、-6-4-(丿-2-、j-12-4-6-X3、用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(描點(diǎn)法)：正弦函數(shù)y=sinx,xe0,2n的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)(-,1)(冗，0)(辺，-1)(2冗，0)22余弦函數(shù)y=cosxxe0,2-的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)(-,0)(-,-1)(3-,0)(2-,1)22只要這五個(gè)點(diǎn)描出后，圖象的形狀就基本確定了因此在精確度要求不太

7、高時(shí)，常采用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，要求熟練掌握。優(yōu)點(diǎn)是方便，缺點(diǎn)是精確度不高。二、函數(shù)y二Asingx+9)的圖象1、由函數(shù)y二sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)二Asin(x+9)的圖象。有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移?！狈ㄒ唬合绕揭坪笊炜sy=sinx向左(9o)或向右(9y=sin(x+9)平移|9|個(gè)單位橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的丄倍、sin”、丄m、応y=sin(Qx+m)縱坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍_y=Asln(x+m)橫坐標(biāo)不變法二：先伸縮后平移y=sinx橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的十倍縱坐標(biāo)不變y=sinfflx向左(m0)或向右(my=sln(wx+m)m平移供個(gè)單位縱

8、坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍_y=Asln(ttx+m)橫坐標(biāo)不變注意：第一種方法平移ImI個(gè)單位，第二種方法平移ImI個(gè)單位。原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)變量x而言的。因此在用這樣的變換法作圖象時(shí)一定要注意平移的先后順序，否則必然會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。2、函數(shù)y=ASin()x+m)xet),+)其中(A0,w0)的物理意義：函數(shù)y=Asln(Wx+m)xe)其中(A0,W0)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)：A:這個(gè)量振動(dòng)時(shí)離開平衡位置的最大距離，稱為“振幅”2兀T：T=絞往復(fù)振動(dòng)一次所需的時(shí)間，稱為“周期”f:/=丄=單位時(shí)間內(nèi)往返振動(dòng)的次數(shù)，稱為“頻率”T2兀ex+m:稱為“相位”.m:x=0時(shí)的相位，稱為初相”.

9、例題選講例1、函數(shù)y=tanx-3的定義域。TOC o 1-5 h z兀兀、(keZ)解：由tanx-運(yùn)0得tanx、運(yùn)，所求定義域?yàn)閗K+，刼+32丿例2、求函數(shù)y=2sin2x+寧的單調(diào)遞減區(qū)間.I4丿兀兀3兀解：由一+2kK2x+2k兀,(keZ)242兀5兀解得+k兀xyx3縱坐標(biāo)不變y=sin（2x+才）兀兀分析2：x-2x-2（x+）2x+63解法2：ysinx橫丄標(biāo)佰短到原來(lái)的2ysin2x向左干移&I單位_縱坐標(biāo)不變ysin2（x+6）sin（2x+y）注意：在解法1中，先平移，后伸縮；在解法2中，先伸縮，后平移。表面上看來(lái)，兩種變換方法中的平移是不同的（即6和3），但由于平移

10、時(shí)平移的對(duì)象已有所變化，所以得到的結(jié)果是一致的。鞏固練習(xí)1、2、已知AABC中，tanA-5，則cosA等于（）D丄厶5B、乜化簡(jiǎn)sin（兀2）+cos（廳+2）的結(jié)果等于（12A、13D、一123、A、0B、-1D、一遇2列等式中，恒成立的是（A、sin(-x)=cos(-x)22B、sin(兀-x)=一sinxC、sin(2兀+x)=sinxD、cos(x+x)=cosx4、x兀函數(shù)f（x）f3sin（2-4）（xGR）的最小正周期為（兀AA、2C、2兀D、4兀5、(7(7A,0B,0C,0D.,0112J112J112J112B）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）B兀函數(shù)y二sin（3x-）是圖象的一

11、個(gè)對(duì)稱中心是（兀在下列各區(qū)間中，函數(shù)y=sin（x+-46、- - -兀C.-n,0A.2，n7、當(dāng)函數(shù)y二2cosx-1取得最大值時(shí)，x的取值為()C兀兀A、x=2k兀+,kgZb、x=2k兀一,kgZ22D、x=2k兀+兀,kgZ).D8、函數(shù)y=3sin(2x+專)的圖象可看作是函數(shù)y=3sin2x的圖象，經(jīng)過如下平移得到的，其中正確的是(A、向右平移于個(gè)單位B、向左平移中個(gè)單位C、向右平移中個(gè)單位d、向左平移J個(gè)單位9、已矢口sinacosa=g，貝cosasina8的值等于)Ba、3B、vC、D、4冗10、sin-33425兀cos)AA、B、C、D、兀5兀。一+k兀,+k兀,(kg

12、Z)3613、將cos100,sin110,sin1680從小到大排列為sinllosinl68ocoslOo14、兀函數(shù)y二2sin(2x+y)的圖象的對(duì)稱軸方程是14、x二竺+蘭kgZ212兀11、函數(shù)f(x)二sin(2x-)的單調(diào)遞減區(qū)間是612、若f(x)二2sn(ex+申)(其中0,冏)的最小正周期是兀，且f(0)二1，則15、記f(x)=asin(兀x+a)+bcos(兀x+卩)+4,(a、b、Q、0均為非零實(shí)數(shù)),15、-2001；若f(2009)二2009，則f(2010)=三.解答題16、已知tana=兀Q3兀，求sinQ-cosQ的值.2TOC o 1-5 h z/3兀、口不.*31ae(兀,)且tana=v3sina=,cosa=-222.311-V3sinacosa=+=22217、化簡(jiǎn)sin(x+180o)cos(x)sin(x180。)tan(x180o)；sinx解：原式二(sinx)cosxsinx(tanx)=(sinx)cosxsinx()=sin3x.cosx證明:tan2x一sin2x=tan2xsin2x.證：左邊二tan2x一sin2x=tan2x一tan2xcos2x=tan2x(1cos2x)=tan