三角形的五心問題

1、AB2+3GC2=I（AB2+AC2+BC2）自主招生講座平面幾何5三角形的五心問題一重心：中線交點(diǎn)1.AG:GD2:12AD21AB2+AC2一1BC22243.SSAGBC3AABC4X1）BC2+3GA2CA2+3GB2=（2）GA2+GB2+GC2=1（AB2+AC2+BC2）（3）GA2+GB2+GC2最小。二外心：三邊中垂線交點(diǎn)，外接圓圓心。如圖，OE丄BC交BC于D。OAOBOCRBOC=2A（非鈍角三角形）BOC=2（180一A）（鈍角三角形）3.BD=DC,BE=Ec小abc4.S=AABC4R三內(nèi)心：角平分線交點(diǎn)，內(nèi)切圓圓心。設(shè)AABC的內(nèi)切圓O切邊AB于點(diǎn)P，AI（I為內(nèi)

2、心）的延長線交外接圓于D，內(nèi)切圓半徑為r，則1.BIC=90+22AP=rcot=22DB=DC=DIrS=（a+b+c）AABC2四垂心：高線的交點(diǎn)D設(shè)O,G,H分別是AABC的外心、重心和垂心,OD丄BC于D，AH的延長線交外接圓于，則AH2ODH與H關(guān)于BC成軸對稱。1AHGODFBCH與ABC的半徑相同。ABH=CBO,BCO=ACH,BAH=CAO124.S=丄r(bc-a),ABC21例1:如圖，設(shè)I是，ABC的內(nèi)心，M,N分別是邊AB,AC上的點(diǎn)，且使得ABI=NIC,ACI=MIB。求證：點(diǎn)M,N,I三點(diǎn)共線。例2：BC為圓O的直徑，A為圓O上一點(diǎn)，0AOB120，D是弧AB（

3、不含C的弧）的中點(diǎn)，過O平行于DA的直線交AC于10OA的垂直平分線交O于E,F。求證:I是，CEF的內(nèi)心。例3：點(diǎn)A在KMN內(nèi)，點(diǎn)B在KM上，點(diǎn)C在MN上。若CBM=ABK,BCM=ACN.求證：ABCM的外心在AM上。例4:設(shè)O為AABC的外心，AB=AC,D是AB中點(diǎn)，G是,ACD的重心，連接AO并延長交CD于M，連接CG并延長交AB于E。求證：0G丄CD.例5：在銳角AABC中，ACBC,AD丄BC于D，BE丄AC于E，AB=2DE,0,I分別是AABC的外心和內(nèi)心，取AB的中點(diǎn)M，連接EM,DM,AO,BO,BI.求AIO.作業(yè)：1.如圖，I是ABC的內(nèi)心，I關(guān)于邊BC,CA,AB的對稱點(diǎn)分別為A,B：C.證明：若A2.如圖，在ABC中,A的平分線與外接圓交于點(diǎn)D,I是內(nèi)心，M為BC中點(diǎn)，P為I關(guān)于M的對稱點(diǎn)，延長DP與外接圓相交于N。求證：線段AN,BN,CN中有兩個的和等于第三個。（提示：面積法）C3.已知在ABC中,由點(diǎn)A分別向,B和,C的平分線引垂線，垂足分別