中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略專題《對(duì)角互補(bǔ)模型》

1、專題16對(duì)角互補(bǔ)模型破解策略1.全等型之“90”如圖，/AO*/DC呂90,OC平分/AOB則c亠CE；O呼OE*、2OC(3)證明12S.OCDS.OCE=?OC.方法一：如圖，過(guò)點(diǎn)C分別作CM_OACNLOB由角平分線的性質(zhì)可得CM*CN/MC*90.所以/MC*/NCE從而NCE(ASA,故CD*CE易證四邊形MON為正方形.所以O(shè)呼OE=ODOWNE*2Oh*.2OC.垂足分別為MN.所以SOCDSOCE=S正方形MONC=ON=OC.方法二：如圖，過(guò)C作CF丄OC交OB于點(diǎn)F.易證/DO(*/EFC*45,CC*CF，/DCd/ECF所以DCOAECF(ASA所以CD=CEOD=FE

2、,可得O呼OE=OF*.2OC.所以SqcdSOCE-S.OCF-OC.【拓展】如圖，當(dāng)/DCE勺一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)(1)(2)OE-OD=、2OC(3)S.oCE-S.OCDJoe2.如圖，證明同上.2.全等型之“120”D時(shí)，貝如圖，/AO*2/DC*120,OC平分/AOB貝U：(1)c亠ce(2)ODOE=OC(3)SOCDS.OCE二OC2.4證明方法一：如圖，過(guò)點(diǎn)c分別作CMLOACNOB垂足分別為MN.SOCDSOCE=2SONCOC易證NCE(ASA,所以CD=CEODOE=2ON=GC.方法二：如圖，以CO為一邊作/FCd60。，交OB于點(diǎn)卩，則厶OCF為等邊三角形.易

3、證DC2ECF(ASA.所以C亠CEODOE=OF=OCSaocdDSAoce=Socf=OC2【拓展】如圖，當(dāng)/DCE的一邊與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E時(shí)，則:(1)CD=CE(2)OD-OE=OC(3)Saocd-Saoce4如圖，證明同上.3、全等型之“任意角”如圖，/AO圧2口，/DCP1802g，OC平分/AOB貝U：2(1)CD=CE(2)ODOE=2OCcos：;(3)SaodcDSaoec=證明：方法一：如圖，過(guò)點(diǎn)C分別作CMLOACNLOB垂足分別為MNCD=CE,ODhOE=2ON=2OCcos-：2SaodcDSaoec=2Saonc=OCsin。cos。方法二：如圖，以CO為

4、一邊作/FCd1802：，交OB于點(diǎn)F.A易證NCE(ASA-.bONE易證DCGAECF(ASA二CD=CE,ODOE=OF=2OCcos_：:2SaodcDSAoec=Saocf=OCsinacos【拓展】如圖，當(dāng)/DCE的一邊與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E時(shí)，則：2(1)CD=CE(2)OD-OE=2OCcos：;(3)SaodcSaoe=如圖，證明同上4、相似性之“90”如圖，/AOB=ZDCE=90，/COB=：，貝UCE=CD-tan:方法一：如圖，過(guò)點(diǎn)C分別作CMLOACNLOB垂足分別為MN易證AMCRANCE二些二匹=空=tan：，艮卩CE=CD-tan:MDCDCM方法二：如圖，過(guò)

5、點(diǎn)C作CFLOC交OB于點(diǎn)F.FECECFODCDCO易證ADC3AECF二壬=竺=比=上3na，即CE=CD-tana方法三：如圖，連接DE易證DGE、C四點(diǎn)共圓CDE=ZCOE=爲(wèi)，故CE=CD-tan二【拓展】如圖，當(dāng)/DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D時(shí)，則CE=CD-tan:如圖，證明同上.例題講解例1、已知AABC是。O的內(nèi)接三角形，A吐AC，在/BAC所對(duì)弧BC上任取一點(diǎn)D,連接AD，BD，CD.如圖1,若/BAC=120,那么B片CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是什么?如圖2,若/BAG:,那么BD+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是什么？解：(1)BDCD=.3AD如圖3,過(guò)點(diǎn)A分別向/BD

6、G勺兩邊作垂線，垂足分別為E、F.由題意可得/ADB=ZADC=30易證AEBAAFCBDCD=2DE=、：$3AD(2)BDCD=2AD?sin二.2如圖4,作/EADZBAC交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.則厶EBAADCA所以BE=CDC作AF丄DE于點(diǎn)F,則ZFA亠上所以BDCD=DE=2DF=2AD?sin上.22例2如圖1,將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在正方形ABCD的對(duì)角線BD上滑動(dòng)，并使其一條直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,另一條直角邊與BC相交于點(diǎn)F.求證：PA=PE；如圖2,將中的正方形變?yōu)榫匦?，其余不變，且AD=10,CD=8,求AP:PE的值；如圖3,在的條件下，當(dāng)P滑動(dòng)到BD的延長(zhǎng)線上時(shí)

7、，APPE的值是否發(fā)生變化？E圖1CABEC圖2解：如圖4,過(guò)點(diǎn)P分別作PMLAB,PN丄BC,垂足分別為M,N.則PMhPNZMPN=90,由已知條件可得ZAPE=90，所以ZAPMkZEPN所以APMEPN故AP=PED如圖5,過(guò)點(diǎn)P分別作PMLABPN!BC垂足分別為MN.貝UPM/AD,PN/CD.所以BPMTABDABNPABCD.可得蟲二匹二fE,所以電二AD/.ADBDCDPNCD4APPM5MCAPPF的值不變.如圖，理由同易證APMhAEPN所以=_PEPN4進(jìn)階訓(xùn)練1.如圖，四邊形ABCD被對(duì)角線BD分為等腰RtABD和RtCBQ其中/BAD和/BCD都是直角，另一條對(duì)角線

8、AC的長(zhǎng)度為2,則四邊形ABCD勺面積為.答案：四邊形ABCD勺面積為2.【提示】易證AB、C、D四點(diǎn)共圓，的結(jié)論可得S四邊形ABCD=2aC=2.22.在ABC中,A吐AC，/A=60,D是BC邊的中點(diǎn)，/EDF=120,DE與AB邊相交于點(diǎn)E,DF與AC邊（或AC邊的延長(zhǎng)線）則/BCAZBDAZABD=ZACD由“全等型之90”BE+CF=-AB；2如圖2,將圖1中的/EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與AC邊的延長(zhǎng)線交于如圖1,DF與AC邊相交于點(diǎn)F,求證:點(diǎn)F,作DNLAC于點(diǎn)N,若DN=FN,求證：BE+CF=3(BE-CF).答案：略.【提示】過(guò)點(diǎn)D作DG/AC交AB于點(diǎn)6證

9、厶DEG2ADFC從而BE+CF=BE+E(=B(=1AB.2A過(guò)點(diǎn)D作DG/AC交AB于點(diǎn)G,同可得BECF-1AB=DC=2DN,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)H,使243得BH=CF,J則DH=DF-DE從而BE+CF-HE=2DE=2X.、2DN=2DN,所以BE+CF-.3(BECF).3在菱形ABC沖，兩條對(duì)角線ACBD相交于點(diǎn)O,ZMOM/BC180,/MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，射線OM交BC于點(diǎn)E,射線ON交CD于點(diǎn)F,連結(jié)EF.如圖1,當(dāng)/ABC90時(shí)，OEF的形狀是;如圖2,當(dāng)/ABC60時(shí)，請(qǐng)判斷厶OEF勺形狀，并說(shuō)明理由；如圖3,在的條件下，將/MON勺頂點(diǎn)移動(dòng)到AO的中點(diǎn)O處，/MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，仍滿足/MON+ZBC180,