中考數(shù)學(xué)專題37 方案設(shè)計型問題

1、不得用于商業(yè)用途學(xué)科教師輔導(dǎo)講義年級:輔導(dǎo)科目數(shù)學(xué)課時數(shù)：3方案設(shè)計型問題教學(xué)目的教學(xué)內(nèi)容一、【中考要求】方案設(shè)計問題是通過設(shè)置一個世紀問題的情景，給出若干信息，提出解決問題的要求，尋求恰當?shù)慕鉀Q方案，有時還給出幾個不同的解決方案,要求判斷其中哪個方案較優(yōu)。方案設(shè)計問題主要考查學(xué)生的動手操作能力和實踐能力。它包括測方案設(shè)計、作圖方案設(shè)計和經(jīng)濟類方案設(shè)計。（一）測量方案設(shè)計題，一般限定條件、限定測量工具，讓同學(xué)們設(shè)計一個可行的方案，對某一物體的長度進彳測量并計算，要注意的是設(shè)計出來的方案要有課操作性。（二）作圖、拼圖方案設(shè)計題，它擺脫了傳統(tǒng)的簡單作圖，它把作圖的技能考查放在一個世紀生活的大背景下

2、,考查學(xué)生的綜合創(chuàng)新能力，它給同學(xué)們的創(chuàng)造性思維提供廣闊的空間與平臺。此類題常以某些規(guī)則的圖形，如等腰三角形、菱形、矩形、圓等，通過某些輔助線，將面積分割或分割后拼出符合某些條件的圖形。（三）經(jīng)濟類方案設(shè)計題，一般有較多種供選擇的解決問題的方案，但在實施中要考慮到經(jīng)濟因素，此類問題類似于求最大值或最小值的問題，但解決的方法較多。方案設(shè)計題貼近生活，具有角強的操作性和實踐性，解決此類問題時要慎于思考，要先思考后動手，設(shè)計性問題的結(jié)果不一定唯一，但必須符合實際情況。近年一些省市的中考數(shù)學(xué)題中涌現(xiàn)了立意活潑、設(shè)計新穎、富有創(chuàng)新意識、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的要求學(xué)生自我設(shè)計題目。這類命題以綜合考查閱讀理解能力、

3、分析推理能力、數(shù)據(jù)處理能力、文字概括能力、書面表達能力和動手能力等。二、【考點知識梳理】“動手操作”類題，多指對某種圖形按照要求完成某些操作，進而對結(jié)果進行探究，直至解決的一類題型.“方案設(shè)計”是指根據(jù)要求，構(gòu)造某種問題的具體解決方案或者對問題給出的若干種解決方法進行比較的一類題型.實際操作型問題是讓學(xué)生在實際操作的基礎(chǔ)上設(shè)計問題，主要有：（1）裁剪、折疊、拼圖等動手操作問題，往往與面積、對稱性相聯(lián)系；（2）與畫圖、測量、猜想、證明等有關(guān)的探究性問題.方案設(shè)計問題的題型主要包括：（1）根據(jù)實際問題拼接或分割圖形；（2）利用方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等知識對實際問題中的方案進行比較等.三、【

4、中考典例精析】類型一動手操作題如圖所示，如果將矩形紙沿虛線對折后，沿虛線剪開，剪出一個直角三角形，展開后得到一個等腰三角形.則展開后三角形的周長是（）A.2+顧【點撥】動手操作法.【答案】B提示：利用勾股定理即可得出結(jié)果.類型二方案設(shè)計題為鼓勵學(xué)生參加體育鍛煉，學(xué)校計劃拿出不超過1600元的資金再購買一批籃球和排球.已知籃球和排球的單價比為3:2,單價和為80元.籃球和排球的單價分別是多少元？若要求購買籃球和排球的總數(shù)量是36個，且購買的籃球數(shù)量多于25個，有哪幾種購買方案？【點撥】本題綜合考查方程和不等式組的實際應(yīng)用正確理解題意找出題目的等量和不等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵注意求n的整數(shù)解時不要漏解

5、.22【解答】(1)設(shè)籃球的單價為x元，則排球的單價為3X元，依題意得x+x=80，解得x=48,即籃球和排球的單價分別是48元和32元.(2)設(shè)購買的籃球數(shù)量為n個，則購買的排球數(shù)量為(36n)個.n25,由題意得48n+32(36n)W1600，解得25vnW28.而n為整數(shù)，所以其取值為26、27、28，對應(yīng)的36n的值為10、9、8,故共有三種購買方案.方案一：購買籃球26個，排球10個；方案二：購買籃球27個，排球9個；方案三：購買籃球28個，排球8個.四、【課堂訓(xùn)練】1.如圖，將一張正方形紙片剪成四個小正方形，得到4個小正方形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個正方形再剪成四個小正

6、方形，共得到7個小正方形，稱為第二次操作；再將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到10個小正方形，稱為第三次操作；，根據(jù)以上操作，若要得到2011個小正方形，則需要操作的次數(shù)是()A.669B.670C.671解析：第n次操作得至I3n+1個小正方形，所以3n+1=2011，所以n二670.答案：B2.(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖，矩形ABCD中,E是AD的中點，將AABE沿BE折疊后得到GBE，且點G在矩形ABCD的內(nèi)部.小明將BG延長交DC于點F,認為GF=DF,你同意嗎？說明理由.(2)【解決問題】AD(3)【類比探究】保持(1)中的條件不變，若DC=nDF,求AB的值.解：(1)同意.

7、連結(jié)EF則ZEGF=ZD=90,EG=AE=ED,EF=EF.RtAEGF9RtAEDF,GF=DF.(2)由(1)知，GF=DF.不得用于商業(yè)用途僅供個人參考設(shè)DF=x,BC=y,則有GF=x,AD=y.DC=2DF,.CF=x,DC=AB=BG=2x,BF=BG+GF=3x.在RtABCF中，BC2+CF2=BF2,即y2+x2=(3x)2.y=2x,.ab=2b=2.(3)由(1)知，GF=DF,設(shè)DF=x,BC=y,則有GF=x,AD=y.DC=nDF,.DC=AB=BG=nx.ACF=(n-1)x,BF=BG+GF=(n+1)x.在RtBCF中，BC2+CF2=BF2,即y2+(n1

8、)x2=(n+1)x2._2廠.AD工_/ny2；nx，ABnxn.3君實機械廠為青揚公司生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，該機械廠由甲車間生產(chǎn)A種產(chǎn)品，乙車間生產(chǎn)B種產(chǎn)品，兩車間同時生產(chǎn)甲車間每天生產(chǎn)的A種產(chǎn)品比乙車間每天生產(chǎn)的B種產(chǎn)品多2件，甲車間3天生產(chǎn)的A種產(chǎn)品與乙車間4天生產(chǎn)的B種產(chǎn)品數(shù)量相同.求甲車間每天生產(chǎn)多少件A種產(chǎn)品？乙車間每天生產(chǎn)多少件B種產(chǎn)品？君實機械廠生產(chǎn)的A種產(chǎn)品的出廠價為每件200元，B種產(chǎn)品的出廠價為每件180元.現(xiàn)青揚公司需一次性購買A、B兩種產(chǎn)品共80件，君實機械廠甲、乙兩車間在沒有庫存的情況下只生產(chǎn)8天，若青揚公司出廠價購買A、B兩種產(chǎn)品的費用超過15000元而不超過15

9、080元.請你通過計算為青揚公司設(shè)計購買方案.解：(1)設(shè)乙車間每天生產(chǎn)x件B種產(chǎn)品，貝忡車間每天生產(chǎn)(x+2)件A種產(chǎn)品.根據(jù)題意3(x+2)4x,解得x6.x+28.因此，甲車間每天生產(chǎn)8件A種產(chǎn)品，乙車間每天生產(chǎn)6件B種產(chǎn)品.(2)設(shè)青揚公司購買B種產(chǎn)品m件，則購買A種產(chǎn)品(80m)件.15000v200(80m)+180mW15080,解得46Wmv50.Vm為整數(shù)，m為46或47或48或49.又乙車間8天只能生產(chǎn)48件，m為46或47或48.故共有三種購買方案：方案1:購買A種產(chǎn)品32件，B種產(chǎn)品48件；方案2:購買A種產(chǎn)品33件，B種產(chǎn)品47件；方案3:購買A種產(chǎn)品34件，B種產(chǎn)品

10、46件.有一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，被分成了4個相同的扇形，分別標有數(shù)1、2、3、4(如圖所示)，另有一個不透明的口袋裝有分別標有數(shù)0、1、3的三個小球(除數(shù)不同外，其余都相同)小亮轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，停止后指針指向某一扇形，扇形內(nèi)的數(shù)是小亮的幸運數(shù)，小紅任意摸出一個小球，小球上的數(shù)是小紅的吉祥數(shù)，然后計算這兩個數(shù)的積.請你用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩個數(shù)的積為0的概率；小亮與小紅做游戲，規(guī)則是：若這兩個數(shù)的積為奇數(shù)，小亮贏；否則，小紅贏.你認為該游戲公平嗎？為什么？如果不公平，請你修改該游戲規(guī)則，使游戲公平.解：(1)畫樹狀圖如下：1/K/13國/N/K吉祥數(shù)0131|013013013枳0130

11、-:1IIIIIII603?0412僅供個人參考或列表如下:幸運數(shù)吉祥曠71234000001123436912TOC o 1-5 h z41由圖（表）知，所有等可能的結(jié)果有12種，其中積為o的有4種，所以積為o的概率為p=12=3（2）不公平.因為由圖（表）知，積為奇數(shù)的有4種，積為偶數(shù)的有8種，41所以積為奇數(shù)的概率為px=3；82積為偶數(shù)的概率為P2=182=312因為1工3所以該游戲不公平.游戲規(guī)則可修改如下：若這兩個數(shù)的積為0,則小亮贏；積為奇數(shù)，則小紅贏.（只要正確即可）七、【課后達標練習】1.（10龍巖）我校為迎接縣中學(xué)生籃球比賽，計劃購買A、B兩種籃球共20個供學(xué)生訓(xùn)練使用.若

12、購買A種籃球6個，貝則購買兩種籃球共需費用720元；若購買A種籃球12個,則購買兩種籃球共需費用840元.（1）A、B兩種籃球單價各多少元？（2）若購買A種籃球不少于8個，所需費用總額不超過800元.請你按要求設(shè)計出所有的購買方案供學(xué)校參考，并分別計算出每種方案購買A、B兩種籃球的個數(shù)及所井中需費用.2.（10常州）如圖所示，小吳和小黃在玩轉(zhuǎn)盤游戲時，準備了兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤甲、乙，每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形區(qū)域，并在每個扇形區(qū)域內(nèi)標上數(shù)字，游戲規(guī)則：同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，指針所指扇形區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和為4,5或6時，則小吳勝否則小黃勝。（如果指針恰好在分割線上，那么重轉(zhuǎn)

13、一次,僅供個人參考為實現(xiàn)區(qū)域教育均衡發(fā)展，我市計劃對某縣A、B兩類薄弱學(xué)校全部進行改造.根據(jù)預(yù)算，共需資金1575萬元.改造一所A類學(xué)校和兩所B類學(xué)校共需資金230萬元；改造兩所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校共需資金205萬元.改造一所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校所需的資金分別是多少萬元？若該縣的A類學(xué)校不超過5所，則B類學(xué)校至少有多少所？我市計劃今年對該縣A、B兩類學(xué)校共6所進行改造，改造資金由國家財政和地方財政共同承擔.若今年國家財政撥付的改造資金不超過400萬元；地方財政投入的改造資金不少于70萬元，其中地方財政投入到A、B兩類學(xué)校的改造資金分別為每所10萬元和15萬元.請你通過計算求出有幾種改造方案

14、？一種電訊信號轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31km.現(xiàn)要求：在一邊長為30km的正方形城區(qū)選擇若干個安裝點，每個點安裝一個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號能完全覆蓋這個城市問：能否找到這樣的4個安裝點，使得這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達到預(yù)設(shè)的要求？至少需要選擇多少個安裝點，才能使這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達到預(yù)設(shè)的要求？答題要求：請你在解答時，畫出必要的示意圖，并用必要的計算、推理和文字來說明你的理由.(下面給出了幾個邊長為30km的正方形城區(qū)示意圖，供解題時選用)TOC o 1-5 h z4D”P沖門NDRC日CRCHC不得裁商業(yè)用途圖2圖M圖4僅供個人參考不得用于商業(yè)用途（10河北）某公司銷售

15、一種新型節(jié)能產(chǎn)品,現(xiàn)準備從國內(nèi)和國外兩種銷售方案中選擇一種進行銷售.若只在國內(nèi)銷售,銷售價格y（元/件）與月銷量x（件）的函數(shù)關(guān)系式為：y=丄X+150,成本為20元/件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費62500元，設(shè)月利潤為w內(nèi)（元）（利100內(nèi)潤=銷售額一成本一廣告費）若只在國外銷售，銷售價格為50元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件（a為常數(shù)，10WaW40）,當月銷量為X（件）時，每月還需繳納丄X2元的附加費，100設(shè)月利潤為w外（元）（利潤=銷售額一成本一附加費）.夕卜（1）當x=1000時，y=元/件，w=元；內(nèi)（2）分別求出w內(nèi)，w外與X間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫X的取值范

16、圍）；r（3）當X為何值時，在國內(nèi)銷售的月利潤最大？若在國外銷售月利潤的最大值與在國內(nèi)銷售月利潤的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要將5000件產(chǎn)品全部銷售完，請你通過分析幫公司決策，選擇在國內(nèi)還是在國外銷售才能使所獲月利潤較大？6如圖，小明想用皮尺測量池塘A、A間的距離，但現(xiàn)有皮尺無法直接測量，學(xué)習有關(guān)知識后，他想出了一個方法:先在地上取一個可以直接到達A、B兩點的點O,連接0A、OB，分別在0A、OB上取中點C、D,連接CD,并測得CD=a，由此他即知道A、B間的距離是（）A.2a；B.2a；C.a；D.3a7如圖，轉(zhuǎn)盤被分成六個扇形區(qū)域，并在上面依次寫上數(shù)字1、2、3、4、轉(zhuǎn)盤指針的

17、位置固定，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后任其自由停止請你用這個轉(zhuǎn)盤設(shè)計動的轉(zhuǎn)盤停止時，指針指向的區(qū)域的概率是2/3,并說明你的設(shè)計理由（設(shè)計方案可用土所示，也可以用文字表述）。&市康智牛奶乳業(yè)有限公司經(jīng)過市場調(diào)研，決定從明年起對甲、乙兩種產(chǎn)品實行“限產(chǎn)壓庫”，要求這兩種產(chǎn)品全年共新增產(chǎn)品20件，這20件的總價值p（萬元）滿足:110vpv120已知有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示,那么該公司明年應(yīng)怎樣安排產(chǎn)品每件產(chǎn)品的產(chǎn)值新增產(chǎn)品的產(chǎn)量？甲4.5萬元乙7.5萬元我市某鄉(xiāng)A,B兩村盛產(chǎn)柑橘，A村有柑橘200噸，B村有柑橘300噸。現(xiàn)在將這些柑橘運到C,B兩個冷藏倉庫。已知C倉庫可儲存240噸，D倉庫可儲存260噸：從A村運到C,

18、D兩處的費用分別為每噸20元至25元，從B村運到C,D兩處的費用分別為每噸15至18元。設(shè)從A村運到C倉庫的柑橘質(zhì)量為x噸，A，B兩村運往兩倉庫的柑橘費用分別為yA元和yB元收地運地CD總計aX噸200噸b300噸總計240噸260噸500噸AB（1）請?zhí)顚懴卤聿⑶蟪鰕A和yB與x之間的AB函數(shù)關(guān)系式（2）試討論A，B兩個村中，那個村的運費少；（3）考慮到B村的經(jīng)濟承受能力，B村的的柑橘不超過4830元。在這種情況下，請問怎樣調(diào)運，才能使兩村運費最??？求出最小值。如圖，在人民公園人工湖兩側(cè)的A，B兩點欲建一座觀賞橋，由于受條件限制，無法直接度量A，B間的距離，請你用學(xué)過的知識，在圖中設(shè)計三種測

19、量方案要求：（1）畫出你設(shè)計的測量平面草圖；（2）在圖形中標出測量的數(shù)據(jù)（長度用a,b,c角度用a,B，Y，表示）并寫出測量的依據(jù)及AB的表達式。如圖，在RtAABC中，ZACB=90o,ZCAB=30。,用圓規(guī)和直尺作圖，用兩種方法把它分成兩個三角形，且要求其中一個三角形是等腰三角形（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）如圖,某市經(jīng)濟開發(fā)區(qū)建有B、C、D三家食品加工廠，這三個工廠和開發(fā)區(qū)A處的自來水廠正好在一個矩形的四個頂點上，它們之間有公路相通，且AB=CD=900m,AD=BC=1700m。自來水公司已經(jīng)修好一條自來水主管道AN，B、C兩廠之間的公路與自來水管道交于E處，EC=500m。若

20、自來水主管道到各工廠的自來水管道由各廠負擔，每米造價800元。DBC（1）要使修建自來水管道的造價最低，這三個工廠的自來水管道路線應(yīng)怎樣設(shè)計？并在圖形中畫出。（2）求出各廠所建的自來水管道的最低的造價各是多少?13某工廠現(xiàn)有甲種原料226kg，乙種原料250kg，計劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共40件，生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品用料情況如下表:設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，請解答下列需要甲原料需要乙原料問題：一件A產(chǎn)品7kg4kg（1）求x的值，并說明有哪幾種符一件B產(chǎn)品3kg10kg合題意的生產(chǎn)方案。（2）若甲種原料50元/kg，乙種原料40元/kg,說明（1）中哪種方案較優(yōu)?14.課題研究：現(xiàn)有邊長為120cm的正方形鐵皮，準備將它設(shè)計制作成一個開口的水槽，使水槽能通過的水的流量最大。初三（1）班數(shù)學(xué)興趣小組討論得出結(jié)論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截面面積越大，則通過水槽的水的流量越大。為此他們對水槽的橫截面進行了探索：（1）方案一：把它折成橫截面為直角三角形的水槽（如圖），若ZACB=900，設(shè)AC=xcm，該水槽的橫截面面積為ycm2，請你寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系（不必寫出x的取值范圍），并求出當x取何值時，y的值最大，最大