量子力學與能帶理論LI GUOzhu

1、量子力學與能帶理論 李國柱導體、半導體、絕緣體能夠讓電流通過的材料，導體依其導電性還能夠細分為超導體、導體、半導體、及絕緣體。在科學及工程上常用利用歐姆來定義某一材料的導電程度。導體、半導體、絕緣體絕緣體，又稱電介質，是一種阻礙電荷流動的材料。導體、半導體、絕緣體半導體是指一種導電性可受控制，范圍可從絕緣體至導體之間的材料。*不同的材料為什么會有不同的導電性能，是材料怎樣的微觀結構導致了導電性的差異？問題為了研究固體的導電性能，我們首先需要研究固體內部電子運動的理論，這就是我今天要講的能帶理論。能帶理論提出的背景能帶理論是研究固體中電子運動規(guī)律的一種近似理論。固體由原子組成，原子又包括原子實和

2、最外層電子，它們均處于不斷的運動狀態(tài)。為使問題簡化，首先假定固體中的原子實固定不動，并按一定規(guī)律作周期性排列，然后進一步認為每個電子都是在固定的原子實周期勢場及其他電子的平均勢場中運動，這就把整個問題簡化成單電子問題。能帶理論就屬這種單電子近似理論，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里淵在解決金屬的導電性問題時提出。19251926，Heisenberg， Schordinger等人建立量子力學的矩陣力學形式和波動力學形式。1946年他和漢森、帕卡德一起研究發(fā)展核感應原理，即用原子核感應的方法測量由于原子核磁矩旋所感應的電動勢，提出核磁共振技術，和 E.M.Purcell獲得 1952年諾貝爾物

3、理學獎。在Heisenberg的建議下， Bloch 應用量子力學研究固體中的電子問題。他從電子在周期性離子間運動的圖像出發(fā)，得出固體中電子運動的波函數(shù)的一般形式（Bloch波函數(shù)），這一理論為現(xiàn)代固體理論奠定了基礎 （1928）能帶理論能帶理論是用量子力學的方法研究固體內部電子運動的理論。定性地闡明了晶體中電子運動的普遍特點，并進而說明了導體與絕緣體、半導體的區(qū)別所在，解釋了晶體中電子的平均自由程問題單一 H 原子內 s, p, d 能級上的電子云分布.電子共有化對于能量為E1的電子，由于E1小，勢能曲線是一種勢壘。因勢壘較寬，因此電子穿透勢壘的概率很微小，基本上仍可看成是束縛態(tài)的電子，在各

4、自的原子核周圍運動。對于具有較大能量E3的電子，能量超過了勢壘高度，電子可以在晶體中自由運動；還有那些能量E2接近勢壘高度的電子，將會因隧道效應而穿越勢壘進入另一個原子中。這樣在晶體內部就出現(xiàn)了一批屬于整個晶體原子所共有的電子，稱為電子共有化。價電子受母原子的束縛最弱，共有化成度最為顯著。內層電子的共有化程度小，與孤立原子的情況相近。 多電子在原子和晶體中的勢場單電子勢能曲線 雙電子勢能曲線周期勢場固體中的電子和孤立原子中的電子一樣么？晶體中電子共有化的結果，使得晶體內電子的能量狀態(tài)不同于孤立原子中的電子，晶體內電子的能量可以處于一些允許的范圍之內，這些允許的范圍稱為能帶，而不能處于兩個能帶之

5、間的區(qū)域，此區(qū)域稱為禁帶。對于理想晶體，其原子服從晶格排列，具有周期性，因而可以認為離子實的勢場也具有周期性。晶體中的電子在一個周期性等效勢場中運動，其波動方程為：晶格的周期性勢場模型周期性等效勢場 波函數(shù) 能量1.在晶體中每點的勢能為各個原子實在改點所產(chǎn)生的勢能之和2.每一點勢能主要取決于與核較近的幾個原子實（因為勢能與距離成反 比）3.理想晶體中原子排列具有周期性，晶體內部的勢場具有周期性4.電子的影響：電子均勻分布于晶體中，其作用相當于在晶格勢場中附 加了一個均勻的勢場，而不影響晶體勢場的周期性能帶理論布洛赫波由一個平面波和一個周期函數(shù)（布洛赫波包）相乘得到。其中與勢場具有相同周期性。由

6、上面的薛定諤方程解得布洛赫波的具體形式為：式中k 為波矢。上式表達的波函數(shù)稱為布洛赫函數(shù)。布洛赫函數(shù)的性質行進波因子 表明在晶體中運動的電子已不再局域于某個原子周圍，而是可以在整個晶體中運動的，這種電子稱為共有化電子。它的運動具有類似行進平面波的形式。那么，周期函數(shù) 的作用則是對這個波的振幅進行調制，使它從一個原胞到下一個原胞作周期性振蕩，但這并不影響態(tài)函數(shù)具有行進波的特性。 能帶理論當勢場具有晶格周期性時，其中的粒子所滿足的波動方程的解存在性質：具有晶格周期性（T為晶格平移矢量）。其中這一結論稱為布洛赫定理（Blochs theorem），其中為晶格周期矢量。能帶理論硅晶格中的布洛赫波絕熱近

7、似：所有離子都周期性地靜止排列在其格點位置上，因而忽略了電子與聲子的碰撞（多粒子的多體問題一種粒子的多電子問題）平均場近似：忽略電子與電子間的碰撞，用平均場代替電子與電子間的相互作用。每個電子都是固定的離子勢場和其它電子的平均場中運動的。（多電子問題單電子問題）周期場近似：固定的離子勢場看作周期勢場，電子的平均場是常勢場。（最后簡化為周期場中的單電子運動問題）能帶理論的假設和近似能帶形成的量子力學理論晶體中電子共有化的結果，使得晶體內電子的能量狀態(tài)不同于孤立原子中的電子，晶體內電子的能量可以處于一些允許的范圍之內，這些允許的范圍稱為能帶，而不能處于兩個能帶之間的區(qū)域，此區(qū)域稱為禁帶。我們從用薛

8、定諤方程出發(fā)，來說明能帶的形成。對一維線性晶體點陣，電子受到周期性勢場的微擾作用，在電子能量較大即接近是自由電子的情況下，電子的薛定諤方程為式中勢能U(x)具有周期性 U（x）=U（x+nd） n=1,2,3.薛定諤方程的求解按照標準的量子力學解題步驟，可得到波數(shù)能量關系下面程序畫出的左邊曲線是對等式(25.1.5)的右邊函數(shù)關于變量k作圖得到的，因為等式右邊函數(shù)的取值范圍為-1，1，這樣對k亦即能量E的取值范圍有一定限制。相應于等式右邊函數(shù)的允許取值范圍，我們畫出E對ka的圖。能帶圖形雙擊添加標題文字單擊此處添加段落文字內容單擊此處添加段落文字內容單擊此處添加段落文字內容雙擊添加標題文字單擊

9、此處添加段落文字內容單擊此處添加段落文字內容單擊此處添加段落文字內容雙擊添加標題文字E k曲線有許多不連續(xù)的地方，即某些k值處（ka=n）,曲線“打開了缺口”，缺口對應的能量是不允許的，由此構成了禁帶。禁帶的形成原因上面的分析說明，由于周期勢場的微擾，E（k）函數(shù)將在K為/a的整數(shù)倍出斷開，能量有突變。能帶理論平面波波矢K（又稱“布洛赫波矢”，它與約化普朗克常數(shù)的乘積即為粒子的晶體動量）表征不同原胞間電子波函數(shù)的位相變化，其大小只在一個倒易點陣矢量之內才與波函數(shù)滿足一一對應關系，所以通常只考慮第一布里淵區(qū)內的波矢。對一個給定的波矢和勢場分布，電子運動的薛定諤方程具有一系列解，稱為電子的能帶，常

10、用波函數(shù)的下標n 以區(qū)別。這些能帶的能量在的各個單值區(qū)分界處存在有限大小的空隙，稱為能隙。在第一布里淵區(qū)中所有能量本征態(tài)的集合構成了電子的能帶結構。(a)(b)(c)一維能帶結構的三種表示方法（a）能帶的簡約布里淵區(qū)表示；（b）能帶的周期性表示；（c）能帶的擴展布里淵區(qū)表示擴展布里淵區(qū)圖像：不同的能帶在k空間中不同的布里淵區(qū)中給出；簡約布里淵區(qū)圖像：所有能帶都在簡約區(qū)中給出；周期布里淵區(qū)圖像：在每一個布里淵區(qū)中給出所有能帶。能帶形成的能級影響理論關于能帶的形成，還可以從晶體中各個原子的能級的相互影響來說明。如下圖所示，在單個原子中，電子具有分離的能級如1s,2s,2p等，如果晶體內含有N個相同

11、的原子，那么原先每個原子中具有相同能量的所有價電子，現(xiàn)在處于共有化狀態(tài)。這些被共有化的外層電子，由于泡利不相容原理的限制，不能再處于相同的能級上，這就使得原來相同的能級分裂成N個和原能級相近的新能級。由于N很大，新能級中相鄰兩能級的能量差僅為10-22eV，幾乎可以看成是連續(xù)的，N個新能級具有一定的能量范圍，通常稱為能帶。（如下圖所示）原子內不可能有兩個或兩個以上的電子具有完全相同的4個量子數(shù)n、l 、ml 、ms 能帶的成因示意圖1s2p2s分裂成2個能級分裂成N個能級原子分子晶體一般地，形成固體時，原子軌道能級展開成一個能帶N個原子能帶的重要意義固體的導電性質，主要是能帶結構決定，而不是由

12、固體電子的多少決定。能帶是分析新材料、設計新器件的基礎能帶工程。能帶的概念被推廣到固體中光、聲的傳播（1987光子晶體、聲子晶體）。能帶理論是凝聚態(tài)物理中最重要的部分能帶理論的發(fā)展1900,Drude建立金屬自由電子氣體模型，解釋金屬的電導、熱導；1928，Sommerfeld引入Fermi-Dirac統(tǒng)計（量子），解釋電子的熱容量等。固體的能帶理論的建立：1928，F(xiàn). Bloch 應用量子理論研究固體的電子運動，提出Bloch定理，奠定了現(xiàn)代量子固體物理的基礎。1931年，A. H. Wilson 依據(jù)能帶理論，成功地解釋了金屬、絕緣體和半導體的差別（定性研究）。 1964, W. Kohn等建立密度泛函理論，借助與計算機，能夠定量計算高分子、納米材料、介觀器件等。（精確計算）Kokn,物理學家、1998年諾貝爾化學獎能帶理論固體材料的能帶結構由多條能帶組成，能帶分為傳導帶（簡稱導帶）、價電帶（簡稱價帶）和禁帶等，導帶和價帶間的空隙稱為能隙。能帶理論能帶結構可以解釋固體中導體、半導體、絕緣體三大類區(qū)別的由來。材料的導電性是由“傳導帶”中含有的電子數(shù)量決定。當電子從“價