圓錐曲線(xiàn)(近幾年)答案

1、(2010廣一模)1（本小題滿(mǎn)分14分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與點(diǎn)到定直線(xiàn)：的距離之比為（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)、是直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若，求的最小值19（本小題滿(mǎn)分14分）（本小題主要考查橢圓、基本不等式等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力）（1）解：設(shè)點(diǎn)，依題意，有整理，得所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為（2）解：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)的坐標(biāo)為、是直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)，可設(shè)，（不妨設(shè)），即即由于，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立故的最小值為20.（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，記的面積為（）求在，的條件下，的最大值；（）

2、當(dāng)，時(shí)，求直線(xiàn)的方程20. (本小題滿(mǎn)分14分)如圖，直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，記的面積為）求在，的條件下，的最大值；（）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，1分由，代入方程：解得， 3分所以（基本不等式） 5分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值6分（）當(dāng)，時(shí)，求直線(xiàn)的方程（）解：由得， 8分 9分設(shè)到的距離為，則， 10分又因?yàn)?，所以，代入式并整理，得?12分解得，代入式檢驗(yàn)，均符合題意 13分故直線(xiàn)的方程是或或，或 14分(2013年一模)20（本小題滿(mǎn)分14分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為， ，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)分別為, 且與交于點(diǎn).(1) 求橢圓的方程；(

3、2) 是否存在滿(mǎn)足的點(diǎn)? 若存在，指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）; 若不存在，說(shuō)明理由.20（本小題滿(mǎn)分14分）（本小題主要考查橢圓、拋物線(xiàn)、曲線(xiàn)的切線(xiàn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)）(1) 解法1：設(shè)橢圓的方程為,依題意:解得: 2分 橢圓的方程為. 3分解法2：設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)橢圓的定義得，即， 1分， . 2分 橢圓的方程為. 3分(2)解法1：設(shè)點(diǎn),，則，三點(diǎn)共線(xiàn),. 4分, 化簡(jiǎn)得：. 5分由,即得. 6分拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為，即. 7分同理，拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為. 8分 設(shè)點(diǎn)，由得：

4、，而，則. 9分代入得， 10分則，代入 得，即點(diǎn)的軌跡方程為. 11分若，則點(diǎn)在橢圓上，而點(diǎn)又在直線(xiàn)上，12分直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn),直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn). 13分滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有兩個(gè). 14分解法2：設(shè)點(diǎn),，由,即得. 4分拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為，即. 5分， .點(diǎn)在切線(xiàn)上, . 6分同理，. 7分綜合、得，點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程. 8分經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)是唯一的，直線(xiàn)的方程為， 9分點(diǎn)在直線(xiàn)上， . 10分點(diǎn)的軌跡方程為. 11分若，則點(diǎn)在橢圓上，又在直線(xiàn)上，12分直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn),直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn). 13分滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有兩個(gè). 14分解法3：顯然直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由消去，得. 4

5、分設(shè),則. 5分由,即得. 6分拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為，即. 7分， . 同理,得拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為. 8分由解得. 10分,點(diǎn)在橢圓上. 11分.化簡(jiǎn)得.(*) 12分由, 13分可得方程(*)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根. 滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有兩個(gè). 14分21（本小題滿(mǎn)分14分）已知雙曲線(xiàn)：的中心為原點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)是直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，且滿(mǎn)足（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）證明：直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積是定值；（3）若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)右支交于不同兩點(diǎn)，在線(xiàn)段上取異于點(diǎn)，的點(diǎn)，滿(mǎn)足，證明點(diǎn)恒在一條定直線(xiàn)上21（本小題滿(mǎn)分）（本小題主要考查直線(xiàn)的斜率、雙曲線(xiàn)的

6、方程、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力）（1）解：設(shè)雙曲線(xiàn)的半焦距為，由題意可得解得（2）證明：由（1）可知，直線(xiàn)，點(diǎn)設(shè)點(diǎn),，因?yàn)?，所以所以因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，所以，即所以所以直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積是定值（3）證法1：設(shè)點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于不同兩點(diǎn)，由（2）知，設(shè)，則即整理，得由，得將，代入，得 將代入，得所以點(diǎn)恒在定直線(xiàn)上證法2：依題意，直線(xiàn)的斜率存在設(shè)直線(xiàn)的方程為，由消去得因?yàn)橹本€(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于不同兩點(diǎn)，則有設(shè)點(diǎn)，由，得整理得將代入上式得整理得 因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上，所以聯(lián)立消去得所以點(diǎn)恒在定直線(xiàn)上（

7、本題（3）只要求證明點(diǎn)恒在定直線(xiàn)上，無(wú)需求出或的范圍）21.(本小題滿(mǎn)分14分）經(jīng)過(guò)點(diǎn)F (0，1)且與直線(xiàn)y=-1相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為M點(diǎn)A、D在軌跡M上，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)線(xiàn)段AD (兩端點(diǎn)除外）上的任意一點(diǎn)作直線(xiàn)l，使直線(xiàn)l與軌跡M 在點(diǎn)D處的切線(xiàn)平行，設(shè)直線(xiàn)l與軌跡M交于點(diǎn)B、C.(1)求軌跡M的方程；(2)證明：；(3)若點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離等于，且ABC的面積為20，求直線(xiàn)BC的方程.21（本小題滿(mǎn)分14分）已知雙曲線(xiàn)：和圓：（其中原點(diǎn)為圓心），過(guò)雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為、 （1）若雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)，使得，求雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍；（2）求直線(xiàn)的方程；（3）求三角形面

8、積的最大值21（本小題滿(mǎn)分14分）（本小題主要考查圓、雙曲線(xiàn)、直線(xiàn)方程和不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，以及分類(lèi)討論思想與創(chuàng)新意識(shí)等）解：（1）因?yàn)?，所以，所?分由及圓的性質(zhì)，可知四邊形是正方形，所以因?yàn)?，所以，所?分故雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為4分（2）方法1：因?yàn)?，所以以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為5分因?yàn)閳A與圓兩圓的公共弦所在的直線(xiàn)即為直線(xiàn)，6分所以聯(lián)立方程組7分消去，即得直線(xiàn)的方程為8分方法2：設(shè)，已知點(diǎn)，則， 因?yàn)?，所以，?分整理得因?yàn)?，所?分因?yàn)椋鶕?jù)平面幾何知識(shí)可知，因?yàn)?，所?分所以直線(xiàn)方程為即所以直線(xiàn)的方程為8分方法3：設(shè)，已知點(diǎn)，則， 因?yàn)?，所以，?/p>

9、5分整理得因?yàn)?，所?分這說(shuō)明點(diǎn)在直線(xiàn)上 7分同理點(diǎn)也在直線(xiàn)上所以就是直線(xiàn)的方程 8分（3）由（2）知，直線(xiàn)的方程為，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為因?yàn)?，所以三角形的面積10分以下給出求三角形的面積的三種方法：方法1：因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，所以，即設(shè)，所以11分因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減12分當(dāng)，即時(shí)，13分當(dāng)，即時(shí)，綜上可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，14分方法2：設(shè)，則11分因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，即，即所以令，則所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增12分當(dāng)，即時(shí)，13分當(dāng)，即時(shí)，綜上可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，14分方法3：設(shè)，則11分因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，即，即所以令，所以在上單調(diào)遞增，在上單

10、調(diào)遞減12分因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，此時(shí)13分當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)綜上可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，14分（2012年二模）19（本小題滿(mǎn)分14分）已知對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與拋物線(xiàn)有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn).（1）求直線(xiàn)的方程；（2）若橢圓經(jīng)過(guò)直線(xiàn)上的點(diǎn)，當(dāng)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取得最小值時(shí)，求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo).19（本小題滿(mǎn)分14分）(本小題主要考查直線(xiàn)、橢圓、拋物線(xiàn)等知識(shí), 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力)（1）解法1：由消去，得. 1分直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，解得. 3分直線(xiàn)的方程為. 4分解法2：設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的公共點(diǎn)坐標(biāo)為， 由，

11、得，直線(xiàn)的斜率.依題意得，解得. 2分把代入拋物線(xiàn)的方程，得. 點(diǎn)在直線(xiàn)上，解得. 直線(xiàn)的方程為. 4分（2）解法1：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，依題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為. 5分設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則 7分解得 點(diǎn). 8分直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為. 9分由橢圓的定義及平面幾何知識(shí)得：橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)， 11分其中當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，上面不等式取等號(hào).當(dāng)時(shí)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取得最小值，其值為. 12分此時(shí)橢圓的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為. 14分解法2：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，依題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為. 5分設(shè)橢圓的方程為， 由消去，得.（*） 7分由， 8分得. 解得. . 11分當(dāng)時(shí)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取得最小值，其值為. 1

12、2分此時(shí)橢圓的方程為. 把代入（*）方程，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為. 14分(2011年高考)21（本小題滿(mǎn)分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)A，設(shè)P是上一點(diǎn)，M是線(xiàn)段OP的垂直平分線(xiàn)上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足（1） 當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；（2） 已知設(shè)H是E上動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并給出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)；（3） 過(guò)點(diǎn)且不平行于軸的直線(xiàn)與軌跡E有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線(xiàn)的斜率的取值范圍解：（1）如圖1，符合的點(diǎn)M可以在PO的左側(cè)和右側(cè)。當(dāng)M在PO左側(cè)時(shí)，顯然點(diǎn)M是PO垂直平分線(xiàn)與X軸的交點(diǎn)，所以易得M的軌跡方程為：y=0(x-1) 當(dāng)M在PO右側(cè)時(shí)， ，所以PM/x軸，設(shè)M(x,y),則P(

13、-2，y)因?yàn)镸在PO的垂直平分線(xiàn)上，所以,即：（x綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡E的方程為：y=0(x-1) 和（x如圖：（2）當(dāng)H在方程y=0(x-1)運(yùn)動(dòng)時(shí)，顯然當(dāng)H在方程（x上運(yùn)動(dòng)時(shí)，,由圖知當(dāng)P,H,T三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得最小值，顯然此時(shí)，設(shè)H(x,-1),因?yàn)镠在上，得x=,所以H(,-1)綜上所得：（）min=1-(-2)=3。H(,-1)(3)設(shè)直線(xiàn)l1:y 1=k(x-1),聯(lián)立得：當(dāng)k=0時(shí)，顯然只有一個(gè)交點(diǎn)，不成立。當(dāng)k時(shí)，所以當(dāng)k時(shí)，直線(xiàn)l1與軌跡E至少有兩個(gè)交點(diǎn)?？梢?jiàn)l1與y=0(x-1) 不能有交點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)C時(shí)，k=由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)l1與軌跡E有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，k(2012年高考)20 （本小題滿(mǎn)分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在上（1） 求橢圓的方程；（2） 設(shè)直線(xiàn)與橢圓和拋物線(xiàn)相切，求直線(xiàn)的方程解：(1):依題意：c=1,1分則：,2分設(shè)橢圓方程為：3分將點(diǎn)坐標(biāo)代入，解得：4分所以故橢圓方程為：5分（2）設(shè)所求切線(xiàn)的方程為：6分消除y7分化簡(jiǎn)得：8分同理：聯(lián)立直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)的方程得：消除y得：9分化簡(jiǎn)得：10分將代入解得：解得：12分故切線(xiàn)方程為：14分(2013年高考)（本小題滿(mǎn)分14分）已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為. 設(shè)為直線(xiàn)上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，其中為切點(diǎn).（1） 求拋物線(xiàn)的方程