三重積分柱球坐標(biāo)課件

1、第1頁，共42頁。2. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 就稱為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁，共42頁。0 xz yM(r, z)zrNxyz(x, y, z) (r, , z)柱面坐標(biāo)z = z.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁，共42頁。 z動(dòng)點(diǎn)M(r, , z)柱面Sr =常數(shù)：平面z =常數(shù)：MrSz柱面坐標(biāo)的坐標(biāo)面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁，共42頁。動(dòng)點(diǎn)M(r, , z)半平面P柱面S =常數(shù):r =常數(shù)：平面z =常數(shù)：zx0yzMrSP柱面坐標(biāo)的坐標(biāo)面.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返

2、回 結(jié)束 第5頁，共42頁。xz y0 drrrddz平面z元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：半平面及+d ; 半徑為r及 r+dr的園柱面； 平面 z及 z+dz；柱面坐標(biāo)下的體積元素機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁，共42頁。柱面坐標(biāo)下的體積元素xz y0drrrddz底面積 ：r drd半平面及+d ; 半徑為r及 r+dr的園柱面； 平面 z及 z+dz；dz平面z+dz.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁，共42頁。xz y0drrrddz底面積 ：r drd半平面及+d ; 半徑為r及 r+dr的園柱面； 平面 z及 z+dz；dzdV =.柱面坐標(biāo)下的體積元素.dV機(jī)動(dòng)

3、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁，共42頁。柱坐標(biāo)計(jì)算適用范圍:1) 積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單 ;2) 被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 仍然是“先一后二”化為三次積分。二重積分用極坐標(biāo)時(shí)方程和計(jì)算簡單， 3) 柱坐標(biāo): 當(dāng)積分域?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)的圓柱面時(shí)用柱面坐標(biāo)化為累次積分的積分限都是常數(shù)。第9頁，共42頁。1.Dxy:z = 0用哪種坐標(biāo)？.柱面坐標(biāo)0 xz yDxy例1.計(jì)算I =1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁，共42頁。柱坐標(biāo)下三重積分舉例例21xzy02-22第11頁，共42頁。0 xz y1Dxy.Dxy:z = 1錐

4、面化為: r = z1.用哪種坐標(biāo)？柱面坐標(biāo)例3.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁，共42頁。其中為由例4. 計(jì)算三重積分所圍解: 在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁，共42頁。例5. 計(jì)算三重積分解: 在柱面坐標(biāo)系下所圍成 .與平面其中由拋物面原式 =機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁，共42頁。3. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 適用范圍:1) 積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單;2) 被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.第15頁，共42頁。0 xz yM (r, , )rNyxz. .球面

5、坐標(biāo)3. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁，共42頁。 SrMyz x0r =常數(shù): =常數(shù):球面S動(dòng)點(diǎn)M(r,)球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁，共42頁。球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面Cr =常數(shù): =常數(shù):S球面S半平面P動(dòng)點(diǎn)M(r,)Myz x0P =常數(shù):錐面C.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁，共42頁。 rdrdrsinxz y0圓錐面rd球面r圓錐面+d球面r+d r元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：drsind球面坐標(biāo)下的體積元素半平面 及+d ； 半徑為r及r+dr的球面；圓錐面及+d機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

6、第19頁，共42頁。rdrdxz y0 drd元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：rsind球面坐標(biāo)下的體積元素.半平面 及+d ； 半徑為r及r+dr的球面；圓錐面及+dr 2sin drddsin drddr 2rcos )dVdV =機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁，共42頁。rR 對r: 從0R積分,得半徑任取球體內(nèi)一點(diǎn)例1. 0 xz y機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁，共42頁。0 xz yMrR對: 從0 積分，.例1. 對r: 從0R積分,得半徑任取球體內(nèi)一點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁，共42頁。R對 : 從0 積分，掃遍球體.例1. 得錐面0

7、xz y對r: 從0R積分,得半徑任取球體內(nèi)一點(diǎn)對: 從0 積分，機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁，共42頁。0 xz yR. 0I=V當(dāng) f =1,.例1. 對r: 從0R積分,得半徑任取球體內(nèi)一點(diǎn)得錐面對: 從0 積分，對 : 從0 積分，掃遍球體機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第24頁，共42頁。球系下確定積分限練習(xí)1 為全球體2 為空心球體3 為上半球體4 為右半球體為球體的 第一、二卦限部分.例2. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第25頁，共42頁。z 0 xya化為球系下的方程r=2a cos.M.r例3. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第26頁，共42

8、頁。例4. 計(jì)算三重積分解: 在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中 與球面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第27頁，共42頁。例52yxz6D第28頁，共42頁。例52yxz6D第29頁，共42頁。例6.求曲面所圍立體體積.解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,利用對稱性, 所求立體體積為yoz面對稱, 并與xoy面相切, 故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于 xoz 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第30頁，共42頁。利用對稱性化簡三重積分計(jì)算使用對稱性時(shí)應(yīng)注意：、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的奇偶性機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第31頁，共42

9、頁。解機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第32頁，共42頁。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第33頁，共42頁。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第34頁，共42頁。內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔, 或坐標(biāo)系 體積元素 適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系* 說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成 ;機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第35頁，共42頁。1. 將用三次積分表示,其中由所提示:思考與練習(xí)六個(gè)平面圍成 ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第36頁，共42頁。2. 設(shè)計(jì)算提示: 利用對稱性原式 = 奇函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第37頁，共42頁。3. 設(shè)由錐面和球面所圍成 , 計(jì)算提示:利用對稱性用球坐標(biāo) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第38頁，共42頁。作業(yè)P106 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); 10 (2) ; 11 (1),(4)第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第39頁，共42頁。備用題 1. 計(jì)算所圍成. 其中 由分析：若用“先二后一”, 則有計(jì)算較繁