48課時數(shù)模教案選修課jxcss第10-12次數(shù)學(xué)建模

1、第八章 離散模型8.1 層次分析模型8.2 循環(huán)比賽的名次y離散模型 離散模型：差分方程（第7章）、整數(shù)規(guī)劃（第4章）、圖論、對策論、網(wǎng)絡(luò)流、 分析社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的有力工具 只用到代數(shù)、集合及圖論（少許）的知識8.1 層次分析模型背景 日常工作、生活中的決策問題 涉及經(jīng)濟(jì)、社會等方面的因素 作比較判斷時人的主觀選擇起相當(dāng)大的作用，各因素的重要性難以量化 Saaty于1970年代提出層次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) AHP一種定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費(fèi)用C

2、4飲食C5旅途一. 層次分析法的基本步驟例. 選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇.“選擇旅游地”思維過程的歸納 將決策問題分為3個層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素， 各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。 通過相互比較確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重。 將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對目標(biāo)的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。層次分析法的基本步驟一.計(jì)算成對比較陣和權(quán)向量 元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度 設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2, , Cn對目標(biāo)O的重要性A成對比較陣A是正互反陣要由

3、A確定C1, , Cn對O的權(quán)向量選擇旅游地成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如 A的秩為1，A的唯一非零特征根為n A的任一列向量是對應(yīng)于n 的特征向量 A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對比較陣A，建議用對應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w ，即一致陣性質(zhì)2 4 6 8比較尺度aij Saaty等人提出19尺度aij 取值1,2, , 9及其互反數(shù)1,1/2, , 1/9尺度 1 3 5 7 9 相同 稍強(qiáng) 強(qiáng) 明顯強(qiáng) 絕對強(qiáng)aij = 1,1/2, ,1/9

4、的重要性與上面相反 心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過9個 用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實(shí)例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對比發(fā)現(xiàn)， 19尺度較優(yōu)。 便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：二.一致性檢驗(yàn)對A確定不一致的允許范圍已知：n 階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n 階正互反陣最大特征根 n, 且 =n時為一致陣定義一致性指標(biāo):CI 越大，不一致越嚴(yán)重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51 n1234567891110為衡量CI 的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo) RI隨

5、機(jī)模擬得到aij , 形成A，計(jì)算CI 即得RI。定義一致性比率 CR = CI/RI 當(dāng)CR0.1時，通過一致性檢驗(yàn)Saaty的結(jié)果如下“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對目標(biāo)的成對比較陣最大特征根=5.073權(quán)向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo) RI=1.12 (查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.0163)個頂點(diǎn)的雙向連通競賽圖，存在正整數(shù)r，使鄰接矩陣A 滿足Ar 0，A稱素陣 素陣A的最大特征根為正單根，對應(yīng)正特征向量s，且排名為1，2，4，3用s排名1234(4)1, 2,

6、3, 4?1234566支球隊(duì)比賽結(jié)果排名次序?yàn)?，3， 2，5，4，6第九章 概率模型9.1 傳送系統(tǒng)的效率9.2 報童的訣竅9.3 隨機(jī)存貯策略確定性因素和隨機(jī)性因素隨機(jī)因素可以忽略隨機(jī)因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)隨機(jī)因素影響必須考慮概率模型統(tǒng)計(jì)回歸模型馬氏鏈模型隨機(jī)模型確定性模型隨機(jī)性模型傳送帶掛鉤產(chǎn)品工作臺工人將生產(chǎn)出的產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的空鉤上運(yùn)走，若工作臺數(shù)固定，掛鉤數(shù)量越多，傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品越多。背景在生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效率的指標(biāo)，研究提高傳送帶效率的途徑9.1 傳送系統(tǒng)的效率問題分析 進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運(yùn)轉(zhuǎn)，應(yīng)假定工人們的生產(chǎn)周期相同，即生產(chǎn)一

7、件產(chǎn)品的時間相同。假設(shè)每人作完一件產(chǎn)品后，要么恰有空鉤經(jīng)過他的工作臺，使他可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走，要么沒有空鉤經(jīng)過，迫使他放下這件產(chǎn)品并立即投入下件產(chǎn)品的生產(chǎn)。 可以用一個周期內(nèi)傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的比例，作為衡量傳送帶效率的數(shù)量指標(biāo)。 工人們生產(chǎn)周期雖然相同，但穩(wěn)態(tài)下每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻不會一致，可以認(rèn)為是隨機(jī)的，并且在一個周期內(nèi)任一時刻的可能性相同。模型假設(shè)1）n個工作臺均勻排列，n個工人生產(chǎn)相互獨(dú)立，生產(chǎn)周期是常數(shù)；2）生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻在一個周期內(nèi)是等可能的；3）一周期內(nèi)m個均勻排列的掛鉤通過每一工作臺的上方，到達(dá)第一個工作臺的掛鉤都是空的；4）每人在生產(chǎn)完一

8、件產(chǎn)品時都能且只能觸到一只掛鉤，若這只掛鉤是空的，則可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走；若該鉤非空，則這件產(chǎn)品被放下，退出運(yùn)送系統(tǒng)。模型建立 定義傳送帶效率為一周期內(nèi)運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)（記作s,待定）與生產(chǎn)總數(shù) n（已知）之比，記作 D=s /n 若求出一周期內(nèi)每只掛鉤非空的概率p，則 s=mp為確定s，從工人考慮還是從掛鉤考慮，哪個方便？ 設(shè)每只掛鉤為空的概率為q，則 p=1-q如何求概率 設(shè)每只掛鉤不被一工人觸到的概率為r，則 q=rn 設(shè)每只掛鉤被一工人觸到的概率為u，則 r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m1-(1-1/m)n/n一周期內(nèi)有m個掛鉤通過每一工作臺的上方模型解釋若(一周期運(yùn)行的)掛

9、鉤數(shù)m遠(yuǎn)大于工作臺數(shù)n, 則 傳送帶效率(一周期內(nèi)運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）定義E=1-D (一周期內(nèi)未運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）提高效率的途徑： 增加m 習(xí)題1當(dāng)n遠(yuǎn)大于1時, E n/2m E與n成正比，與m成反比若n=10, m=40, D87.5% (89.4%)9.2 報童的訣竅問題報童售報： a (零售價) b(購進(jìn)價) c(退回價)售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-c 每天購進(jìn)多少份可使收入最大？分析購進(jìn)太多賣不完退回賠錢購進(jìn)太少不夠銷售賺錢少應(yīng)根據(jù)需求確定購進(jìn)量每天需求量是隨機(jī)的優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長期的日平均收入每天收入是隨機(jī)的存在一個合適的購進(jìn)量等于每天收入的期望建模

10、設(shè)每天購進(jìn) n 份，日平均收入為 G(n)調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律每天需求量為 r 的概率 f(r), r=0,1,2準(zhǔn)備求 n 使 G(n) 最大 已知售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-c求解將r視為連續(xù)變量結(jié)果解釋nP1P2取n使 a-b 售出一份賺的錢 b-c 退回一份賠的錢0rp9.3 隨機(jī)存貯策略問題以周為時間單位；一周的商品銷售量為隨機(jī)；周末根據(jù)庫存決定是否訂貨，供下周銷售。（s, S) 存貯策略制訂下界s, 上界S，當(dāng)周末庫存小于s 時訂貨，使下周初的庫存達(dá)到S; 否則，不訂貨?？紤]訂貨費(fèi)、存貯費(fèi)、缺貨費(fèi)、購進(jìn)費(fèi)，制訂（s, S) 存貯策略,使(平均意義下)總費(fèi)用最小模型假設(shè) 每次

11、訂貨費(fèi)c0, 每件商品購進(jìn)價c1,每件商品一周貯存費(fèi)c2,每件商品缺貨損失費(fèi)c3 ,c3 相當(dāng)于售出價，所以c1c3 每周銷售量 r 隨機(jī)、連續(xù)，概率密度 p(r) 周末庫存量x, 訂貨量 u, 周初庫存量 x+u 一周的銷售是集中在周初進(jìn)行的，即每周貯存量按 x+u-r 計(jì) ，一周內(nèi)不隨時間而改變。（可考慮修改此假設(shè)）建模與求解（s, S) 存貯策略確定(s, S), 使目標(biāo)函數(shù)每周總費(fèi)用的期望值最小，即長期經(jīng)營中每周總費(fèi)用的平均值s 訂貨點(diǎn)， S 訂貨值平均費(fèi)用 訂貨費(fèi)c0, 購進(jìn)價c1, 貯存費(fèi)c2, 缺貨費(fèi)c3, 銷售量 r 建模與求解1）設(shè) x 0時 , 求 u 使 J(u) 最小，確定S建模與求解SP