高中數(shù)學(xué)選擇性必修一(人教A版2019) 同步講義與練習(xí)

1、高中數(shù)學(xué)選擇性必修一（人教A版2019)同步講義與練習(xí)1.1.1 空間向量及其線性運算11.1.2 空間向量的數(shù)量積運算61.1.3 共線向量與共面向量121.2.1 空間向量基本定理181.2.2 空間向量基本定理的初步應(yīng)用 251.3.1 空間直角坐標系331.3.2 空間向量運算的坐標表示 391.4.1 空間中點、直線和平面的向量表示441.4.2 空間中直線、平面的平行 501.4.3 空間中直線、平面的垂直561.4.1 空間的距離問題631.4.5 空間的夾角問題 69第一章章末復(fù)習(xí)76第一章章末練習(xí)1 80第一章章末練習(xí)2 83第一章章末檢測試卷872.1.1 傾斜角與斜率91

2、2.1.2 兩條直線平行和垂直的判定 962.2.1 直線的點斜式方程1012.2.2 直線的兩點式方程 1052.2.3 直線的一般式方程 1092.3.1 兩條直線的交點坐標1142.3.2 兩點間的距離公式1182.3.3 點到直線的距離公式，兩條平行直線間的距離1212.4.1 圓的標準方程1252.4.2 圓的一般方程1292.5.1 直線與圓的位置關(guān)系1332.5.2 直線與圓的方程的應(yīng)用 1372.5.3 圓與圓的位置關(guān)系1412.6 微專題與圓有關(guān)的最值問題146第二章：章末復(fù)習(xí)147第二章章末練習(xí)1 150第二章章末練習(xí)2 152第二章章末檢測試卷1543.1.1 橢圓及其標

3、準方程1573.1.2 橢圓的幾何性質(zhì)1623.1.3 橢圓的標準方程及性質(zhì)的應(yīng)用1673.2.1 雙曲線及其標準方程1733.2.2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1783.2.3 雙曲線的標準方程及性質(zhì)的應(yīng)用 1833.3.1 拋物線及其標準方程187第1頁 共2頁3.3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì) 1923.3.3 拋物線的方程及性質(zhì)的應(yīng)用 1973.4 微專題：圓錐曲線的離心率202第三章章末復(fù)習(xí)203第三章章末練習(xí)1 206第三章章末練習(xí)2 208選擇性必修一模塊綜合試卷211第2頁 共2頁1.1.1 空間向量及其線性運算知識點一 空間向量的概念1定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量2長

4、度或模：向量的大小3表示方法：幾何表示法：空間向量用有向線段表示；字母表示法：用字母a，b，c， 表示；若向量a 的起點是A，終點是B，也可記作AB， 其模記為|a| 或|AB|.4幾類特殊的空間向量名稱 定義及表示零向量 長度為0 的向量叫做零向量，記為0單位向量 模為1 的向量稱為單位向量相反向量 與向量a 長度相等而方向相反的向量，稱為a 的相反向量，記為-a共線向量 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫( 平行向量) 做共線向量或平行向量規(guī)定：對于任意向量a，都有0 a相等向量 方向相同且模相等的向量稱為相等向量1. 思考： 空間中的兩個向量是不是共面

5、向量？知識點二 空間向量的線性運算加法 a + b = OA + AB= OB空間向量 減法 a - b = OA- OC = CA的線性運算數(shù)乘 當 0 時 ，a = OA 當 |CD|，則AB CDD. 相等向量其方向必相同【跟蹤訓(xùn)練1.1】. ( 多選) 下列說法中正確的是 ( )A. 若|a| = |b|，則a，b 的長度相同，方向相同或相反B. 若向量a 是向量b 的相反向量，則|a| = |b|C. 空間向量的加法滿足結(jié)合律D. 任一向量與它的相反向量不相等【跟蹤訓(xùn)練1.2】. 下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的命題的序號是 長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量；平行且模相等的兩個

6、向量是相等向量；若a b，則|a| |b|；兩個向量相等，則它們的起點與終點相同二、空間向量的線性運算【例2】. 在空間四邊形ABCD 中，G 為BCD 的重心，E，F(xiàn)，H 分別為邊CD，AD 和BC 的中點，化簡下列各表達式 (1)AG+ 1 + 1 ； (2) 1BE CA3 2 2 (AB + AC - AD)第2頁 共 217 頁隨堂演練1. “兩個非零空間向量的模相等”是“兩個空間向量相等”的 ( )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件2. 向量a，b 互為相反向量，已知|b| = 3，則下列結(jié)論正確的是 ( )A. a = b B.

7、a + b 為實數(shù)0C. a 與b 方向相同 D. |a| = 33. 設(shè)A，B，C 是空間任意三點，下列結(jié)論錯誤的是 ( ) A. AB B. AB+ BC = AC C. AB D. AB- AC = CB + BC + CA = 0= -BA 4. 設(shè)有四邊形ABCD，O 為空間任意一點，且AO ，+ OB = DO + OC則四邊形ABCD 是 ( )A. 平行四邊形 B. 空間四邊形 C. 等腰梯形 D. 矩形5. 化簡：5(3a - 2b) + 4(2b - 3a) = _.1. ( 多選) 下列說法中，正確的是 ( )A模為0 是一個向量方向不確定的充要條件 B若向量AB，CD

8、與CD 同向，則AB滿足|AB| = |CD|，AB CD C若兩個非零向量AB，CD 滿足AB ，CD 互為相反向量+ CD = 0，則AB D.AB 的充要條件是A 與C 重合，B 與D 重合= CD 2. 化簡PM A. PM- PN + MN所得的結(jié)果是 ( )B. NPC. 0 D. MN 3. 在空間四邊形OABC 中 ，OA 等于 ( )+ AB - CB A. OA B. AB C. OC D. AC4. 在正方體ABCD -A1B1C1D1 中，下列選項中化簡后為零向量的是 ( ) A. AB 1D1 1A1 B. AB+ A + C - AC + BB1 C. AB D.

9、AC+ AD + AA + CB1 1第3頁 共 217 頁 5. 如果向量AB，AC，BC滿足|AB| = |AC|+|BC|，則 ( ) A. AB B. AB= AC + BC = -AC - BC C. AC 與BC 同向 D. AC 與CB 同向 6. 設(shè)A，B，C，D 為空間任意四點，則AC- BC + BD = _.7. 在正方體ABCD -A 1B1C1D1 中，化簡AB1B1C1D1 中，化簡AB - CD + BC - DA 的結(jié)果是_8. 已知向量a，b，c 互相平行，其中a，c 同向，a，b 反向，|a| = 3，|b| = 2，|c| = 1，則|a + b + c|

10、 = _.9. 如圖所示的是平行六面體ABCD -A1B1C1D1，化簡下列各式：(1)AB + AD + AA ； (2)DD1 1 - AB + BC.10. 如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G 分別是BC，CD，DB 的中點， 請化簡：AB ，AB ，并標出化簡結(jié)果的向量+ BC + CD + GD + EC第4頁 共 217 頁11. 已知空間中任意四個點A，B，C，D，則DA A. DB B. AB + CD - CB等于 ( ) C. ACD. BA 12. 在三棱錐A - BCD 中，E 是棱CD 的中點，且BF= 2BE，則 AF 等于 ( )3 1

11、+ 3 - 3 + 3 - 3A. AB AC AD B. AB AC AD2 4 4 4 4 1 + 1 + 1 C. - 5AB + 3AC + 3ADD. AB AC AD3 3 3 13. 在直三棱柱ABC - A = a，CB = b，CC 1B1C1 中，若CA13. 在直三棱柱ABC - A = a，CB = b，CC1 = c，則A = _. 1B= c，則A = _.14. 如圖，在長方體ABCD - A1B1C1D1 中 ，O 為AC 的中點 (1) 化簡A = _.1O AB AD- 1 - 12 2 (2) 用AB = _.，AD，AA1 表示OC1，則OC1 15.

12、在平行六面體ABCD - ABCD 中，若AC = xAB +則x + y + z = _.y2BC+ z3CC， 16. 如圖所示，在平行六面體ABCD - A 1B1C1D1 中，設(shè)AA11B1C1D1 中，設(shè)AA1 = a，AB = b，AD = c，M ，N ，P 分別是AA1，BC，C1D1 的中點，試用a，b，c 表示以下各向量： (1)AP； (2)A ； (3)MP1N .第5頁 共 217 頁1.1.2 空間向量的數(shù)量積運算知識點一 空間向量的夾角 1定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作OA= a，OB = b，則AOB 叫做向量a，b 的夾角，記作a，b2范圍

13、：0 a，b . 特別地，當a，b= 2時 ，a b.1. 思考: 當a，b= 0 和a，b= 時，向量a 與b 有什么關(guān)系？知識點二 空間向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a，b，則|a|b|cosa，b叫做a，b 的數(shù)量積，記作ab. 即ab = |a|b|cosa，b 定義規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)a b ab = 0aa = a2 = |a|2(a)b = (ab)， R.ab = ba( 交換律) 運算律a(b + c) = ab + ac( 分配律).2. 思考1 : 向量的數(shù)量積運算是否滿足結(jié)合律？3. 思考2 : 對于向量 a，b，若ab = k，能否寫成a = kb

14、 或b = k ？ a第6頁 共 217 頁知識點三 向量a 的投影1如圖(1)，在空間，向量a 向向量b 投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面 內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b 共線的向量c，c = |a|cosa，bb|b|，向量c 稱為向量a 在向量b 上的投影向量類似地，可以將向量a 向直線l 投影( 如圖(2)2如圖(3)，向量a 向平面 投影，就是分別由向量a 的起點A 和終點B 作平面 的垂線， 垂足分別為A，B，得到AB，向量AB稱為向量a 在平面 上的投影向量 這時，向量a，AB的夾角就是向量a 所在直線與平面 所成的角判斷正誤： 4. 向量A

15、B 與CD 的夾角等于向量AB 與DC 的夾角 ( )5. 若ab = 0，則a = 0 或b = 0. ( )6. 對于非零向量b，由ab = bc，可得a = c. ( )7. 若非零向量a，b 為共線且同向的向量，則ab = |a|b|. ( )題型探究一、數(shù)量積的計算【例1】. 如圖所示，在棱長為1 的正四面體A - BCD 中，E，F(xiàn) 分別是AB，AD 的中點，求： (1)EFBA； (2)EFBD； (3)EFDC； (4)ABCD.第7頁 共 217 頁【跟蹤訓(xùn)練1.1】. 已知a = 3p - 2q，b = p + q，p 和q 是相互垂直的單位向量，則ab 等于 ( )A.

16、1 B. 2 C. 3 D. 4 【跟蹤訓(xùn)練1.2】. 已知正方形ABCD 的邊長為2，E 為CD 的中點，則AEBD = _.二、利用數(shù)量積證明垂直問題【例2】. 如圖所示，在正方體ABCD - A1B1C1D1 中 ，O 為AC 與BD 的交點，G 為CC1 的中點，求證：A1O 平面GBD.【跟蹤訓(xùn)練2.1】. 如圖所示，在四棱錐P - ABCD 中，底面ABCD 為平行四邊形，DAB = 60，AB = 2AD，PD 底面ABCD. 求證：PA BD.三、用數(shù)量積求解夾角和模【例3】. 如圖，在直三棱柱ABC - A1B1C1 中 ，CA = CB = 1，BCA = 90，棱AA1

17、= 2，點N 為AA1 的中點 (1) 求BN的模； (2) 求cosBA，CB1的值 1第8頁 共 217 頁 【跟蹤訓(xùn)練3.1】. 已知正方體ABCD - ABCD 的棱長為1，設(shè)AB = a，AD 則AB，BD等于 ( ) = b，AA= c，A. 30 B. 60 C. 90 D. 120【跟蹤訓(xùn)練3.2】. 已知在平行六面體ABCD - A1B1C1D1 中，AA1 = AB = AD = 1，且這三條棱彼此之間的夾角都是60，則AC1 的長為 ( )A. 6 B. 6 C. 3 D. 3隨堂演練1. 如圖所示，在正方體ABCD - A1B1C1D1 中，下列各組向量的夾角為45 的

18、是 ( ) A. AB 與A1C1 B. AB 與C1A1C. AB與A1D1 D. AB與B1A12. 設(shè)ABCD - A 1B1C1D1 是棱長為a 的正方體，則有 ( )1B1C1D1 是棱長為a 的正方體，則有 ( ) C = a A A = a CA. AB 1A 2 B. AB 1C1C. BC 1C 2 D. AB 1A1= 2a2= a23. 已知空間四邊形OABC 中 ，OB = OC，AOB = AOC = 3為 ( ) ，則cosOA，BC的值A(chǔ). 12B.22C. - 12D. 04. 若a，b，c 為空間兩兩夾角都是60 的三個單位向量，則|a - b + 2c| =

19、 .5. 如圖，在長方體ABCD - A1B1C1D1 中，設(shè)AD = AA1 = 1，AB = 2，P 是C1D1 的中點， 則B1C 與A1P 所成角的大小為 ，B1C 1P A = .第9頁 共 217 頁1. 已知向量a 和b 的夾角為120，且|a| = 2，|b| = 5，則(2a - b)a 等于 ( )A. 12 B. 8 + 13 C. 4 D. 132. 已知兩異面直線的方向向量分別為a，b，且|a| = |b| = 1，ab = - 12為 ( )，則兩直線的夾角A. 30 B. 60 C. 120 D. 1503. 已知e1，e2 為單位向量，且e1 e2，若a = 2

20、e1 + 3e2，b = ke1 - 4e2，a b，則實數(shù)k 的值為 ( )A. - 6 B. 6 C. 3 D. - 34. 已知空間四邊形ABCD 的每條邊和對角線的長都等于a，點E，F(xiàn) 分別是BC，AD 的中點， 則AE 的值為 ( )AFA. a2 B. 12a2 C. 14a2 D. 34a25. 已知四邊形ABCD 為矩形，PA 平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數(shù)量積不為零的是 ( ) A. PC 與BDB. DA與PBC. PD與AB D. PA 與CD6. 已知|a| = 13，|b| = 19，|a + b| = 24，則|a - b| =

21、 _.7. 已知a + 3b 與7a - 5b 垂直，且a - 4b 與7a - 2b 垂直，則a，b= _.8. 如圖所示，在正方體ABCD - A1B1C1D1 中，求異面直線A1B 與AC 所成的角第10頁 共 217 頁9. 如圖，正四棱錐P - ABCD 的各棱長都為a.(1) 用向量法證明BD PC； (2) 求|AC + PC| 的值10. 設(shè)平面上有四個互異的點A，B，C，D，已知(DB + DC - 2DA)(AB - AC) = 0，則ABC 是 ( )A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形 D. 等邊三角形11. 已知a，b 是異面直線，A，B a，C，D

22、 b，AC b，BD b，且AB = 2，CD = 1，則a 與b 所成的角是 ( )A. 30 B. 45 C. 60 D. 9012. 已知空間向量a，b，c 滿足a + b + c = 0，|a| = 3，|b| = 1，|c| = 4，則ab + bc + ca 的值為 ( )A. - 13 B. - 5 C. 5 D. 1313. 已知棱長為1 的正方體ABCD - A1B1C1D1 的上底面A1B1C1D1 的中心為O1， 則AO1 AC 的值為_ 14. 等邊ABC 中 ，P 在線段AB 上，且AP = AB AB = PAPB，若CP ，則實數(shù) 的值為_15. 如圖所示，已知線

23、段AB 在平面 內(nèi)，線段AC ，線段BD AB，且AB = 7，AC = BD = 24，線段BD 與 所成的角為30，求CD 的長第11頁 共 217 頁1.1.3 共線向量與共面向量知識點一 共線向量1空間兩個向量共線的充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b 0)，a b 的充要條件是存在實數(shù)，使a = b.2直線的方向向量在直線l 上取非零向量a，我們把與向量a 平行的非零向量稱為直線 l 的方向向量1. 思考1 對于空間向量a，b，c，若a b 且b c，是否可以得到a c?2. 思考2 怎樣利用向量共線證明A，B，C 三點共線？知識點二 共面向量1共面向量 如圖，如果表示向量a 的有

24、向線段OA 所在的直線OA 與直線l 平行或重合，那么稱向量a 平行于直線l. 如果直線OA 平行于平面 或在平面 內(nèi)，那么稱向量a 平行于平面. 平行于同一個平面的向量，叫做共面向量2向量共面的充要條件如果兩個向量a，b 不共線，那么向量p 與向量a，b 共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p = xa + yb.3. 思考：已知空間任意一點O 和不共線的三點A，B，C，存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，滿足關(guān)系 OP ，則點P 與點A，B，C 是否共面？= OA + xAB + yAC第12頁 共 217 頁判斷正誤： 4. 向量AB 與向量CD 是共線向量，則點A，B，C，D 必在

25、同一條直線上 ( )5. 若向量a，b，c 共面，則表示這三個向量的有向線段所在的直線共面 ( )6. 空間中任意三個向量一定是共面向量 ( ) 7. 若P，M ，A，B 共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使MP = xMA + yMB. ( )題型探究一、向量共線的判定及應(yīng)用【例1】. 如圖所示，已知四邊形ABCD 是空間四邊形，E，H 分別是邊AB，AD 的中點，F(xiàn)，G 分別是邊 CB，CD 上的點，且CF CB，CG CD. 求證：四邊形EFGH 是梯形= 2 = 23 3 【跟蹤訓(xùn)練1.1】. 已知A，B，C 三點共線，O 為直線外空間任意一點，若OC ，= mOA + nOB則

26、m + n = .【跟蹤訓(xùn)練1.2】. 如圖所示，在正方體ABCD - A = 2ED ,F 在對角線A1B1C1D1 中，E 在A1D1 上，且A1E 1C 上，1 且A1F FC. 求證：E，F(xiàn)，B 三點共線= 23第13頁 共 217 頁二、向量共面的判定 【例2】. 已知A，B，C 三點不共線，平面ABC 外一點M 滿足OM (1) 判斷MA，MB，MC 三個向量是否共面；= 13 OA+ 13OB+ 13OC.(2) 判斷M 是否在平面ABC 內(nèi)【跟蹤訓(xùn)練2.1】. (1) 如圖所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，點M ，N 分別在 對角線BD，AE 上，且B

27、M = 1 BD，AN = 1AE. 求證：向量MN ，CD，DE 共面3 3【跟蹤訓(xùn)練2.2】. 已知E，F(xiàn)，G，H 分別是空間四邊形ABCD 的邊AB，BC，CD，DA 的中點，求證：E，F(xiàn)，G，H 四點共面BD 平面EFGH.空間共線向量定理的應(yīng)用【例3】. 如圖所示，已知四邊形ABCD，ABEF 都是平行四邊形，且它們所在的平面不共面，M ，N 分別是AC，BF 的中點，求證：CE MN.第14頁 共 217 頁1. 滿足下列條件，能說明空間不重合的A，B，C 三點共線的是 ( ) A. AB B. AB C. AB+ BC = AC - BC = AC = BC D. |AB| =

28、|BC|2. 若空間中任意四點O，A，B，P 滿足OP = mOA + nOB，其中m + n = 1，則 ( )A. P 直線ABB. P 直線ABC. 點P 可能在直線AB 上，也可能不在直線AB 上D. 以上都不對3. 下列條件中，使M 與A，B，C 一定共面的是 ( ) A. OM B. OM= 2OA - OB - OC C. MA+ MB + MC = 0 D. OM = 1 + 1 + 1OA OB OC5 3 2 + OA + OB + OC = 0 4. 已知點M 在平面ABC 內(nèi)，并且對空間任意一點O，有OM則x 的值為 ( )= xOA+ 13OB+ 13OC，A. 1

29、B. 0 C. 3 D. 135. 已知非零向量e1，e2 不共線，則使ke1 + e2 與e1 + ke2 共線的k 的值是 1. 已知向量a，b，且AB= a + 2b，BC= -5a + 6b，CD = 7a - 2b，則一定共線的三點是 ( )A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D2. 對于空間的任意三個向量a，b，2a - b，它們一定是 ( )A. 共面向量 B. 共線向量C. 不共面向量 D. 既不共線也不共面的向量 3. 在平行六面體ABCD - A1B1C1D1 中，向量D1A，D1C，A1C1 是 ( )A. 有相同起點的向量 B. 等長向量

30、C. 共面向量 D. 不共面向量第15頁 共 217 頁4. 已知P 為空間中任意一點，A，B，C，D 四點滿足任意三點均不共線，但四點共面， 且PA PB DB，則實數(shù)x 的值為 ( )= 4 + 1- xPC3 6A. 13B. - 13C. 12D. - 125. ( 多選) 下列命題中錯誤的是 ( ) A. 若A，B，C，D 是空間任意四點，則有AB+ BC + CD + DA = 0B. |a|-|b| = |a + b| 是a，b 共線的充要條件 C. 若AB，CD共線，則AB CD D. 對空間任意一點O 與不共線的三點A，B，C，若OP= xOA + yOB + zOC( 其中

31、x，y，z R)，則P，A，B，C 四點共面 6. 在ABC 中，已知D 是AB 邊上一點，若AD = 2DB + CB，則 = .，CD CA= 13 7. 設(shè)e1，e2 是空間兩個不共線的向量，已知AB 2，BC 2，DC 2，= e1 + ke = 5e1 + 4e = -e1 - 2e且A，B，D 三點共線，則實數(shù)k = .8. 已知O 為空間任一點，A，B，C，D 四點滿足任意三點不共線，但四點共面， 且OA= 2xBO + 3yCO + 4zDO，則2x + 3y + 4z = .9. 如圖，在平行六面體ABCD - A1B1C1D1 中 ，M ，N 分別是C1D1，AB 的中點，

32、E 在AA1 上 且AE = 2EA1，F(xiàn) 在CC1 上且CF = 1FC1，判斷ME 與NF 是否共線2 10. 若P，A，B，C 為空間四點，且有PA= PB + PC，則 + = 1 是A，B，C 三點共線的 ( )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件第16頁 共 217 頁11. 平面 內(nèi)有五點A，B，C，D，E，其中無三點共線，O 為空間一點， 滿足OA OB ，OB OD= 1 + 1+ xOC + yOD = 2xOC + yOE，則x + 3y 等于 ( )2 3A.56B.76C.53D.7312. 已知正方體ABCD - A1

33、B1C1D1 中 ，P，M 為空間任意兩點，如果有 PM 1D1= PB + 7BA + 6AA - 4A , 那么M 必 ( )1 1A. 在平面BAD1 內(nèi) B. 在平面BA1D 內(nèi)C. 在平面BA1D1 內(nèi) D. 在平面AB1C1 內(nèi)13. 有下列命題： 若AB ，則A，B，C，D 四點共線； CD 若AB ，則A，B，C 三點共線； AC若e1，e2 為不共線的非零向量，a = 4e 1 - 21 - 25e2，b = -e 1 + 11 + 110e2，則a b；若向量e1，e2，e3 是三個不共面的向量，且滿足等式k1e1 + k2e2 + k3e3 = 0，則k1 = k2 =

34、k3 = 0.其中是真命題的序號是 ( 把所有真命題的序號都填上)14. 已知A，B，C 三點不共線，O 是平面ABC 外任意一點，若由OP= 15一點P 與A，B，C 三點共面，則 = .OA+ 23OB+ OC確定的15. 如圖，已知M ，N 分別為四面體A - BCD 的面BCD 與面ACD 的重心，G 為AM 上一點，且GM GA = 1 3.第17頁 共 217 頁1.2.1 空間向量基本定理知識點一 空間向量基本定理如果三個向量a，b，c 不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p = xa + yb + zc. 我們把a，b，c 叫做空間的一個基

35、底，a，b，c 都叫做基向量1. 思考零向量能否作為基向量？知識點二 空間向量的正交分解1單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用i，j，k 表示2向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk使得a = xi + yj + zk. 像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解2. 只有兩兩垂直的三個向量才能作為空間的一個基底 ( )3. 若a，b，c 為空間的一個基底，則a，b，c 全不是零向量 ( )4. 如果向量a，b 與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底

36、，則一定有a 與b 共線 ( )5. 對于三個不共面向量a1，a2，a3，不存在實數(shù)組(x，y，z)，使0= xa1 + ya2 + za 3. ( )3. ( )第18頁 共 217 頁一、空間的基底 【例1】. 已知e1，e2，e3 是空間的一個基底，且OA = e1 + 2e2 - e = -3e1 + e2 + 2e3，OB 3， OC ，OB，OC= e1 + e2 - e3，試判斷OA 能否作為空間的一個基底?【跟蹤訓(xùn)練1.1】.設(shè)x = a + b，y = b + c，z = c + a，且a，b，c 是空間的一個基底，給出下列向量組：a，b，x，b，c，z，x，y，a + b

37、+ c，其中可以作為空間一個基底的向量組有 ( )A. 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 0 個【跟蹤訓(xùn)練1.2】. 已知空間的一個基底a，b，c，m = a - b + c，n = xa + yb + c，若m 與n 共線，則x + y = .二、空間向量基本定理 【例2】. 如圖，在三棱柱ABC -ABC 中，已知AA BC 的中點，試用基底a，b，c 表示向量AM，AN.= a，AB = b，AC= c，點M ，N 分別是BC，【跟蹤訓(xùn)練2.1】. 如圖，四棱錐P - OABC 的底面為一矩形，PO 平面OABC，設(shè)OA = a，OC E，F(xiàn) 分別是PC 和PB 的中點，試用a，

38、b，c 表示BF，BE，AE，EF.= b，OP = c，第19頁 共 217 頁1. 下列結(jié)論錯誤的是 ( )A. 三個非零向量能構(gòu)成空間的一個基底，則它們不共面B. 兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線C. 若a，b 是兩個不共線的向量，且c = a + b(， R 且 0)，則a，b，c 構(gòu)成空間的一個基底 D. 若OA，OB，OC 不能構(gòu)成空間的一個基底，則O，A，B，C 四點共面2. 已知a，b，c 是不共面的三個向量，則能構(gòu)成空間的一個基底的一組向量是 ( )A. 3a，a - b，a + 2b B. 2b，b - 2a，b + 2aC. a，2b，

39、b - c D. c，a + c，a - c3. 在長方體ABCD - A1B1C1D1 中，可以作為空間一個基底的是 ( ) A. AB ，AD ，AA1，AB1，AC B. AB C. D1A1 1C1，D1D D. AC1，A1C，CC1,D4. 正方體ABCD - ABCD 中 ，O1，O2，O3 分別是AC，AB，AD 的中點， 以AO 為基底，AC = xAO + yAO + zAO，AO2，AO3 ，則 ( ) 1 1 2 3A. x = y = z = 12B. x = y = z = 1C. x = y = z = 22D. x = y = z = 2 5. 在四面體O -

40、ABC 中，OA = a，OB = b，OC = c，D 為BC 的中點，E 為AD 的中點，則OE= _.( 用a，b，c 表示)第20頁 共 217 頁1. 設(shè)p：a，b，c 是三個非零向量；q：a，b，c 為空間的一個基底，則p 是q 的 ( )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件 2. 已知M ，A，B，C 四點互不重合且任意三點不共線，則下列式子中能使向量MA，MB，MC成為空間的一個基底的是 ( ) A. OM OA OB= 1 + 1 + 13 3 3 C. OM= OA + OB + OC OC B. MAD. MA = MB +

41、 MC = 2MB - MC3. 如圖，梯形ABCD 中，AB CD，AB = 2CD，點O 為空間內(nèi)任意一點，設(shè)OA OC 可用a，b，c 表示為 ( )= c，則向量OD= a，OB = b，A. a - b + 2c B. a - b - 2cC. - 12a + 12b + c D. 12a - 12b + c4. 已知a，b，c 是空間的一個基底，若p = a + b，q = a - b，則 ( )A. a，p，q 是空間的一組基底B. b，p，q 是空間的一組基底C. c，p，q 是空間的一組基底D. p，q 與a，b，c 中的任何一個都不能構(gòu)成空間的一組基底第21頁 共 217

42、頁5. 如圖，在三棱柱ABC - A 1B1C1 中 ，M 為A1C1 的中點，若AB1B1C1 中 ，M 為A1C1 的中點，若AB則下列向量與BM 相等的是 ( ) = a，AA = c，BC = b，1A. - 12C. - 12a + 12a - 12b + c B. 12b + c D. 12a + 12a - 12b + cb + c6. 在空間四邊形ABCD 中 ，AC 和BD 為對角線，G 為ABC 的重心，E 是BD 上一點， BE = 3ED，以AB 為基底，則GE = _.，AC，AD 7. 如圖，在正方體ABCD - A1B1C1D1 中，用AC，AB1，AD1作為基向

43、量，則AC1=8. 如圖所示，已知PA 平面ABCD，M ，N 分別是AB ，PC 的中點，且PA = AD = 1，四邊形 ABCD 為正方形，以AB 為基底，則MN = _.，AD，AP第22頁 共 217 頁 9. 已知平行六面體OABC - OABC，且OA = a，OC = b，OO = c.(1) 用a，b，c 表示向量AC；(2) 設(shè)G，H 分別是側(cè)面BBCC 和OABC 的中心，用a，b，c 表示GH. 10. 如圖，在平行六面體ABCD - A = a，AD = b，AA 1B1C1D1 中 ，AB10. 如圖，在平行六面體ABCD - A = a，AD = b，AA1= c

44、，E 為A 1D1 的中點，1D1 的中點，F(xiàn) 為BC1 與B1C 的交點 (1) 用基底a，b，c 表示向量DB，BE，AF； 1 (2) 化簡DD + DB + CD，并在圖中標出化簡結(jié)果 111. 點P 是矩形ABCD 所在平面外一點，且PA 平面ABCD，M ，N 分別是PC ，PD 上的點，且 PM PC，PN ，則滿足MN 的實數(shù)x，y，z 的值分別為 ( )= 2= ND = xAB + yAD + zAP3A. - 23，16，16B.23，- 16，16C. - 23，16，- 16D. - 23，- 16，16 12. 如圖，點M 為OA 的中點，OA 為空間的一個基底，O

45、C，OD DM= xOA + yOC + zOD，則有序?qū)崝?shù)組(x，y，z) = _. 13. 已知四面體ABCD 中 ，AB= a - 2c，CD = 5a + 6b - 8c，AC，BD 的中點分別為E，F(xiàn)， 則EF= _.( 用a，b，c 表示)第23頁 共 217 頁14. 如圖，已知空間四邊形OABC，M ，N 分別是邊OA，BC 的中點，點G 在MN 上， 且MG = 2GN ，設(shè)OA = a，OB = b，OC = c，則向量OG = .( 用a，b，c 表示)15. 設(shè)O - ABC 是四面體，G1 是ABC 的重心，G 是OG1 上的一點，且OG = 3GG1， 若OG= x

46、OA + yOB + zOC，則(x，y，z) 為 ( )A.1， 1 ， 1 B.4 4 43 ， 3， 3 C.4 4 41 ， 1 ， 1 D.3 3 32， 2 ， 2 3 3 316. 如圖所示，在空間四邊形OABC 中 ，G，H 分別是ABC，OBC 的重心， 設(shè)OA .= a，OB = b，OC = c，用向量a，b，c 表示向量GH第24頁 共 217 頁1.2.2 空間向量基本定理的初步應(yīng)用知識點一 證明平行、共線、共面問題(1) 對于空間任意兩個向量a，b(b 0)，a b 的充要條件是存在實數(shù)，使a = b.(2) 如果兩個向量a，b 不共線，那么向量p 與向量a，b 共

47、面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p = xa + yb.1. 思考：怎樣利用向量共線、向量共面解決幾何中的證明平行、共線、共面問題？知識點二 求夾角、證明垂直問題(1) 為a，b 的夾角，則cos = ab |a|b|.(2) 若a，b 是非零向量，則a b ab = 0.2. 思考：怎樣利用向量的數(shù)量積解決幾何中的求夾角、證明垂直問題？知識點三 求距離( 長度) 問題 = aa AB = ABABa 3. 思考：怎樣利用向量的數(shù)量積解決幾何中的求距離( 長度) 問題？ 4. 四點A，B，C，D 構(gòu)成平行四邊形ABCD 的充要條件是AB . ( )= DC 5. 若AB ，則A

48、，B，C，D 四點共線 ( )= CD 6. 已知兩個向量 NM ，MP的夾角為 60，則 NMP = 60. ( ) 7. 如果OP ，則四點O，P，M ，N 一定共面 ( )= OM + ON第25頁 共 217 頁一、證明平行、共面問題【例1】. 如圖，已知正方體ABCD - ABCD，E，F(xiàn) 分別為AA 和CC 的中點求證：BF ED.【跟蹤訓(xùn)練1.1】. 如圖所示，在平行六面體ABCD - A 1B1C1D1 中，E，F(xiàn) 分別在B1B 和D1D 上，且BE = 13BB1，DF = 23DD1. 求證：A，E，C1，F(xiàn) 四點共面二、求夾角、證明垂直問題【例2】. 如圖所示，在三棱錐

49、A - BCD 中 ，DA，DB，DC 兩兩垂直，且DB = DC = DA = 2，E 為BC 的中點(1) 證明：AE BC ；(2) 求直線AE 與DC 的夾角的余弦值第26頁 共 217 頁【跟蹤訓(xùn)練2.1】. 在長方體ABCD - A1B1C1D1 中 ，AB = 2，BC = B1B = 1，M ，N 分別是AD，DC 的中點求異面直線MN 與BC1 所成角的余弦值三、求距離( 長度) 問題【例3】. 已知平面 平面，且 = l ，在l 上有兩點A，B，線段AC ，線段BD ，并且AC l ，BD l，AB = 6，BD = 24，AC = 8，則 CD = .【跟蹤訓(xùn)練3.1】.

50、 正方體ABCD - A 1B1C1D1 的棱長為a，AM1B1C1D1 的棱長為a，AM則|MN| 等于 ( )= 12MC1，點N 為B1B 的中點，A. 216a B.66a C. 156a D. 153a第27頁 共 217 頁1. ( 多選) 已知A，B，C 三點不共線，O 為平面ABC 外的任一點，則“點M 與點A，B，C 共面”的充分條件是 ( ) A. OM= 2OA - OB - OC C. OM OB OC= OA+ 1 + 12 3 B. OM D. OM = OA + OB - OC = 1 + 1 + 1OA OB2 3 6OC 2. 設(shè)A，B，C，D 是空間不共面的

51、四點，且滿足ABAC = 0，ACAD = 0，ABAD= 0，則BCD 是( )A. 鈍角三角形 B. 銳角三角形 C. 直角三角形 D. 不確定3. 如圖，三棱錐S - ABC 中 ，SA 底面 ABC，AB BC，AB = BC = 2，SA = 2 2，則SC 與AB 所成角的大小為 ( )A. 90 B. 60 C. 45 D. 304. 如圖，已知ABCD 中 ，AD = 4，CD = 3，D = 60，PA 平面ABCD，且PA = 6，則PC 的長為_5. 已知a，b 是空間兩個向量，若|a| = 2，|b| = 2，|a - b| = 7，則cosa，b=第28頁 共 217

52、 頁 1. 已知O，A，B 是平面上的三個點，直線AB 上有一點C，滿足2AC+ CB = 0， 則OC 等于 ( ) A. 2OA- OB B. - OA + 2OBC.23OA- 13OBD. - 13OA+ 23OB2. 如圖，已知空間四邊形ABCD 中 ，AC = BD，順次連接各邊中點P，Q，R，S，所得圖形是 ( )A. 長方形 B. 正方形 C. 梯形 D. 菱形3. 如圖，長方體ABCD - A1B1C1D1 中 ，AA1 = AB = 2，AD = 1，E，F(xiàn)，G 分別是DC，AB，CC1 的中點，則異面直線A1E 與GF 所成角的余弦值是 ( )A. 0 B.33C.55D

53、. 1554. 在正三棱柱ABC - A1B1C1 中，若AB = 2BB1，則 CA1 與 C1B 所成的角的大小是 ( )A. 60 B. 75 C. 90 D. 105第29頁 共 217 頁5. 如圖，二面角 - l - 等于 23，A，B 是棱l 上兩點，BD, AC 分別在平面， 內(nèi)，AC l ，BD l ，且 2AB = AC = BD = 2，則CD 的長等于 ( )A. 2 3 B. 13 C. 4 D. 56. 已知向量a，b 滿足條件|a| = 3 2，|b| = 4，若m = a + b，n = a + b，a，b= 135，m n，則實數(shù) = .7. 如圖，在空間四邊

54、形ABCD 中 ，ABD = CBD = 2，ABC = 4，BC = BD = 1，AB = 2，則異面直線 AB 與 CD 所成角的大小是 8. 如圖，平行六面體ABCD - A1B1C1D1 中 ，|AB| = |AD| = |AA1| = 1，BAD = BAA1 = 120，DAA1 = 60，則線段AC1 的長度是 9. 在平行六面體ABCD - A = a，AD = b，AA 1B1C1D1 中，設(shè)AB9. 在平行六面體ABCD - A = a，AD = b，AA1= c，E，F(xiàn) 分別是AD1，BD 的中點 (1) 用向量a，b，c 表示D1B，EF； (2) 若D = xa +

55、 yb + zc，求實數(shù)x，y，z 的值1F第30頁 共 217 頁10. 如圖，在正方體ABCD - A1B1C1D1 中，E，F(xiàn) 分別是C1D1，D1D 的中點，正方體的棱長為1. (1) 求CE 的余弦值； (2) 求證：BD EF，AF .1 11. 在四面體O - ABC 中，G 是底面ABC 的重心，且OG = xOA + yOB + zOC，則log3|xyz| 等于 ( )A. - 3 B. - 1 C. 1 D. 312. 在三棱柱ABC - A1B1C1 中，AA1 底面ABC, AB = BC = AA1, ABC = 90，點E，F(xiàn) 分別是棱AB，BB1 的中點，則直線

56、EF 和BC1 所成的角是 ( )A. 30 B. 45 C. 90 D. 6013. 如圖，已知正三棱柱ABC - A1B1C1 的各條棱長都相等，M 是側(cè)棱CC1 的中點，則異面直線AB1 和BM 所成的角的大小是_第31頁 共 217 頁14. 如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體 ABCD - A1B1C1D1 ，其中，以頂點A 為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60，下列說法中正確的是_( 填序號) (AA + AB + AD)2 = 2(AC)2 ；1 AC1(AB - AD) = 0 ； 向量B1C 與AA1的夾角是60；BD1 與AC 所成角的余弦值為 63.15. (

57、 多選) 在四面體P - ABC 中，以上說法正確的有 ( ) A. 若AD AC AB，則可知 BC= 1 + 2= 3BD3 3 B. 若Q 為ABC 的重心，則PQ= 1 + 1 + 1PA PB PC3 3 3 C. 若PABC = 0，PCAB = 0，則 PBAC = 0 D. 若四面體P - ABC 各棱長都為2，M ，N 分別為PA，BC 的中點，則|MN| = 116. 如圖，正方體ABCD - A1B1C1D1 中 ，P 是DD1 的中點，O 是底面ABCD 的中心求證：B1O 平面PAC.第32頁 共 217 頁1.3.1 空間直角坐標系知識點一 空間直角坐標系1空間直角

58、坐標系及相關(guān)概念(1) 空間直角坐標系：在空間選定一點O 和一個單位正交基底i ，j ，k ，以O(shè) 為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x 軸 、y 軸、z 軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz.(2) 相關(guān)概念：O 叫做原點，i，j，k 都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它們把空間分成八個部分2右手直角坐標系在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x 軸的正方向，食指指向y 軸的正方向，如果中指指向z 軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系知識點二 空間一點的坐

59、標 在空間直角坐標系Oxyz 中 ，i，j，k 為坐標向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量OA，且點A 的位 置由向量OA唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使OA = xi + yj + zk. 在單位正交基底 i，j，k 下與向量 OA 對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z) 叫做點A 在此空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x 叫做點A 的橫坐標，y 叫做點A 的縱坐標，z 叫做點A 的豎坐標1. 思考空間直角坐標系中，坐標軸上的點的坐標有何特征？知識點三 空間向量的坐標在空間直角坐標系Oxyz 中，給定向量a，作OA= a. 由空間向量基本定理，存在

60、唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a = xi + yj + zk. 有序?qū)崝?shù)組(x，y，z) 叫做a 在空間直角坐標系Oxyz 中的坐標，上式可簡記作a = (x，y，z)第33頁 共 217 頁2. 空間直角坐標系中，在x 軸上的點的坐標一定是(0，b，c) 的形式 ( )3. 空間直角坐標系中，在xOz 平面內(nèi)的點的坐標一定是(a，0，c) 的形式 ( )4. 關(guān)于坐標平面yOz 對稱的點其縱坐標、豎坐標保持不變，橫坐標相反 ( )一、求空間點的坐標【例1】. 畫一個正方體ABCD - A 1B1C1D1，若以A 為坐標原點，以棱AB，AD，AA1 所在的直線分別為x 軸、y 軸、z 軸