Z-變換定義、性質(zhì)和作用

1、Z-變換定義、性質(zhì)和作用The Z-Transform本章主要內(nèi)容1. 雙邊Z變換及其收斂域ROC。2. ROC的特征，各類信號(hào)的ROC，零極點(diǎn)圖。3. Z反變換，利用部分分式展開進(jìn)行反變換。5. 常用信號(hào)的Z變換，Z變換的性質(zhì)。6. 用Z變換表征LTI系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)，LTI系統(tǒng) 的Z變換分析法，系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)與并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 4. 由零極點(diǎn)圖分析系統(tǒng)的特性。7. 單邊Z變換，增量線性系統(tǒng)的分析。 Z 變換與拉氏變換相對應(yīng)，是離散時(shí)間傅立葉變換的推廣。 Z 變換的基本思想、許多性質(zhì)及其分析方法都與拉氏變換有相似之處。當(dāng)然，Z 變換與拉氏變換也存在著一些重要的差異。10.0 引言 (Introduct

2、ion)10.1 雙邊 Z 變換 當(dāng) 時(shí)， 即為離散時(shí)間傅立葉變換。這表明：DTFT就是在單位圓上進(jìn)行的Z變換。其中 是一個(gè)復(fù)數(shù)。一.雙邊Z變換的定義:The z-Transform可見：對 做 Z 變換就等于對 做DTFT。 因此，Z 變換是對DTFT的推廣。二. Z變換的收斂域（ROC）：Z變換與DTFT一樣存在著收斂的問題。1. 并非任何信號(hào)的Z變換都存在。2. 并非Z平面上的任何復(fù)數(shù)都能使 收斂。 Z平面上那些能使 收斂的點(diǎn)的集合，就構(gòu)成了 的收斂域（ROC）。例1.時(shí)收斂當(dāng) 時(shí)， ROC包括了單位圓。單位圓1Z平面a此時(shí)， 的DTFT存在。顯然有例2. 此時(shí)，ROC不包括單位圓，所以

3、不能簡單地從 通過將 得到 。Z平面1（例2的ROC）例3.a1Z平面單位圓ROC:例4. 一般情況下， 的ROC是 Z 平面上一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓環(huán)。21/2Z平面單位圓結(jié) 論：1）Z變換存在著收斂問題，不是任何信號(hào)都存在Z變換，也不是任何復(fù)數(shù)Z都能使 收斂。2）僅僅由 的表達(dá)式不能唯一地確定一個(gè)信號(hào)，只有 連同相應(yīng)的ROC一道，才能與信號(hào) 建立一一對應(yīng)的關(guān)系。3）Z變換的ROC，一般是Z平面上以原點(diǎn)為中心的環(huán)形區(qū)域。4）如果 ，則其ROC是各個(gè) 的ROC的公共部分。若沒有公共區(qū)域則表明 的Z變換不存在。5）當(dāng) 是有理函數(shù)時(shí)，其ROC的邊界總是由 的極點(diǎn)所在的圓周界定的。6）若 的ROC包括

4、單位圓，則有三. 的幾何表示零極點(diǎn)圖： 如果 是有理函數(shù)，將其分子多項(xiàng)式與分母多項(xiàng)式分別因式分解可以得到： 由其全部的零、極點(diǎn)即可確定出 ，最多相差一個(gè)常數(shù)因子 。 如果在零極點(diǎn)圖上同時(shí)標(biāo)出ROC，則由該零極點(diǎn)圖可以唯一地確定一個(gè)信號(hào)。 因此，若在 Z 平面上表示出 的全部零、極點(diǎn)，即構(gòu)成 的幾何表示零極點(diǎn)圖。 零極點(diǎn)圖對描述LTI系統(tǒng)和分析LTI系統(tǒng)的特性，具有重要的用途。1. 的ROC是Z平面上以原點(diǎn)為中心的環(huán)形區(qū)域。10.2 Z 變換的ROCThe Region of Convergence for the z-TransformROC的特征：3. 有限長序列的ROC是整個(gè)有限Z平面（可

5、能不包括 ，或 ）。2. 在ROC內(nèi)， 無極點(diǎn)。4. 右邊序列的ROC是某個(gè)圓的外部，但可能不包括 。由 ， ，有若 ，則有則如果 ，設(shè) 是右邊序列，定義于 ， 當(dāng) 時(shí),由于 的展開式中有若干個(gè)Z 的正冪項(xiàng)，此時(shí) 不能為 。5. 左邊序列的ROC是某個(gè)圓的內(nèi)部，但可能不包括 。若 ， ，則有 當(dāng) 時(shí)，由于 的展開式中包括有Z的負(fù)冪項(xiàng)，所以 Z 不能為零。若 是有理函數(shù)，則ROC必是最內(nèi)部極點(diǎn)的內(nèi)部。6. 雙邊序列的Z變換如果存在，則ROC必是一個(gè)環(huán)形區(qū)域。例1.其他極點(diǎn)：（一階）（N1階）零點(diǎn)：0 在 處，零極點(diǎn)抵消，使有限 Z平面內(nèi)無極點(diǎn)。例1.其他例2. 在 時(shí)，兩部分的收斂域無公共部分，

6、表明此時(shí) 不存在。b1/bZ平面時(shí)，ROC為例3.0在有限Z平面上極點(diǎn)總數(shù)與零點(diǎn)總數(shù)相同零點(diǎn)：（二階）極點(diǎn)：若其ROC為：1則 為右邊序列，且是因果的，但其傅立葉變換不存在。時(shí) 是左邊序列，且是反因果的，其傅立葉變換不存在。2 時(shí) 是雙邊序列，其傅立葉變換存在。3ROC是否包括 ，是 是否反因果的標(biāo)志。ROC是否包括 ，是 是否因果的標(biāo)志。10.3 Z-反變換令 ，則一.Z-反變換：The Inverse Z-Transform 當(dāng) 從 時(shí)，Z沿著ROC內(nèi)半徑為 r 的圓變化一周。1. 部分分式展開法：其中 C 是 ROC 中圍繞原點(diǎn)，逆時(shí)針方向的圓周。二. 反變換的求?。寒?dāng) 是有理函數(shù)時(shí)，可

7、將其展開為部分分式步驟 ：1. 求出 的所有極點(diǎn) ； 2. 將 展開為部分分式；3. 根據(jù)總的ROC，確定每一項(xiàng)的ROC；4. 利用常用變換對和Z變換性質(zhì)求出每一項(xiàng)的反變換。 例：將 展開為部分分式有：2. 冪級(jí)數(shù)展開法:（長除法）由 的定義，將其展開為冪級(jí)數(shù)，有 展開式中 項(xiàng)的系數(shù)即為 。當(dāng) 是有理函數(shù)時(shí)，可以通過長除的方法將其展開為冪級(jí)數(shù)。 由于右邊序列的展開式中應(yīng)包含無數(shù)多個(gè)Z的負(fù)冪項(xiàng)，所以要按降冪長除。 由于左邊序列的展開式中應(yīng)包含無數(shù)多個(gè)Z的正冪項(xiàng)，所以要按升冪長除。 對雙邊序列，先要將其分成對應(yīng)信號(hào)的右邊和左邊的兩部分，再分別按上述原則長除。例1 已知求x(n)。解：因?yàn)槭諗坑蚴荶

8、平面的圓外區(qū)域，所以x(n)是右邊序列。級(jí)數(shù)是Z的負(fù)冪級(jí)數(shù)。將X(z)的分子、分母按Z的降冪排列所以原函數(shù)為例 2 已知求x(n)。解：由收斂域可知原函數(shù)為左邊序列要展成Z的正冪級(jí)數(shù)，即將X(z)的分子、分母升冪排列用長除法得：所以，原函數(shù)為；將X(z)的分子、分母升冪排列例3： 冪級(jí)數(shù)展開法的缺點(diǎn)是當(dāng) 較復(fù)雜（含多個(gè)極點(diǎn)時(shí)）難以得出 的閉式。所以前一項(xiàng)按降冪長除，后一項(xiàng)按升冪長除。 冪級(jí)數(shù)展開法適合用來求解非有理函數(shù)形式 的反變換。3. 留數(shù)法：是C內(nèi)的極點(diǎn)。是C外的極點(diǎn)。時(shí)，是C內(nèi)的極點(diǎn)。時(shí)，對有理函數(shù)的 由留數(shù)定理有：1、當(dāng)z=zi 是一階極點(diǎn)時(shí)2、當(dāng)z=zi 是r階極點(diǎn)時(shí)求X(Z)的反

9、變換x(n)RezjImz0解：當(dāng)n=0時(shí)， X(z)zn-1 在c內(nèi)有極點(diǎn)z1=a解：當(dāng)n=0時(shí)， X(z)zn-1 在c內(nèi)有極點(diǎn)z1=a, z2=0(n重),c外極點(diǎn)z=bRezjImz0 當(dāng)ROC包括 時(shí)，Z 變換在單位圓上的情況就是 ，因此也可以利用零極點(diǎn)圖對其進(jìn)行幾何求值。10.4. 由零極點(diǎn)圖對離散時(shí)間傅立葉變換幾何求值Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot 其方法與拉氏變換時(shí)完全類似： 考查動(dòng)點(diǎn)在單位圓上移動(dòng)一周時(shí)，各極點(diǎn)矢量和零點(diǎn)矢量的長度與幅角變化的情況，即可反映系統(tǒng)的頻率特性

10、。例1. 一階系統(tǒng)當(dāng) 時(shí)，ROC包括單位圓。顯然， 取決于 的變化。當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)， 有最小值。隨 呈單調(diào)變化。在 處， 有最大值。a1幅頻特性相頻特性一階系統(tǒng)的頻率特性：當(dāng) 時(shí)，a10幅頻特性相頻特性 越小，極點(diǎn)靠原點(diǎn)越近，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)越平緩，系統(tǒng)的帶寬越寬；此時(shí) 衰減越快， 上升越快。 越大，極點(diǎn)靠單位圓越近，系統(tǒng)頻響越尖銳，頻響的極大值越大，系統(tǒng)帶寬越窄，相位的非線性程度越厲害?？梢钥闯觯豪?. 二階系統(tǒng)：（系統(tǒng)欠阻尼）極點(diǎn)：零點(diǎn)：（二階） 考查動(dòng)點(diǎn)在單位圓上移動(dòng)一周時(shí)，各極點(diǎn)矢量和零點(diǎn)矢量的長度與幅角的變化情況，即可得到二階系統(tǒng)的頻率特性。1 當(dāng) 從 時(shí)，在靠近 處頻率響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)極大

11、值。 若r越接近于1， 的峰值越尖銳。由于極點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)， 和 的變化速率越慢。 隨著r減小，極點(diǎn)逐步靠近原點(diǎn)，頻率響應(yīng)趨于平坦，而 和 的變化速率會(huì)加快。幅頻特性相頻特性二階系統(tǒng)的頻率特性： 當(dāng)極點(diǎn)很靠近單位圓時(shí)，也可以從零極點(diǎn)圖粗略確定系統(tǒng)的帶寬。 更一般的情況，二階系統(tǒng)也可能 有兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。其特性相當(dāng)于兩個(gè)一階系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的結(jié)果。（二階系統(tǒng)具有重階實(shí)數(shù)極點(diǎn)的情況） Z變換的許多性質(zhì)與DTFT的性質(zhì)相似，其推 論方法也相同。這里主要討論其ROC的變化。則：包括10.5 Z變換的性質(zhì)1. 線性：Properties of the Z-transform 如果在線性組合過程

12、中出現(xiàn)零極點(diǎn)相抵消，則ROC可能會(huì)擴(kuò)大。2. 時(shí)移：但在 和 可能會(huì)有增刪。 由于信號(hào)時(shí)移可能會(huì)改變其因果性，故會(huì)使ROC 在 ， 有可能改變。若則3. Z域尺度變換：若則時(shí) 收斂，故 時(shí)， 收斂。 當(dāng) 時(shí)，即為移頻特性。 若 是一般復(fù)數(shù) ，則 的零極點(diǎn)不僅要將 的零極點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 ，而且在徑向有 倍的尺度變化。1/24. 時(shí)域反轉(zhuǎn)：若(收斂域邊界倒置)則 信號(hào)在時(shí)域反轉(zhuǎn)，會(huì)引起 的零、極點(diǎn)分布按倒量對稱發(fā)生改變。即： 與 的零極點(diǎn)呈共軛倒量對稱。 如果 是 的零/極點(diǎn),則 就是 的零/極點(diǎn)。由于 也是 的零/極點(diǎn)，因此也是 的零/極點(diǎn)。則 的ROC為0例：的ROC為若5. 時(shí)域內(nèi)插:

13、 若為 的整數(shù)倍其它則證明：6. 共軛對稱性：當(dāng) 是實(shí)信號(hào)時(shí)， ，于是有表明如果 有復(fù)數(shù)零極點(diǎn)，必共軛成對出現(xiàn)。若則包括 如果在相乘時(shí)出現(xiàn)零極點(diǎn)抵消的情況則ROC可能會(huì)擴(kuò)大。該性質(zhì)是LTI系統(tǒng)Z變換分析法的理論基礎(chǔ)。則7. 卷積性質(zhì)：若8. Z域微分：例1. 利用該性質(zhì)可以方便地求出某些非有理函數(shù) 的反變換，或具有高階極點(diǎn)的 的反變換。若則例2：例1. 9. 初值定理：則若 是因果信號(hào)，且 時(shí)有顯然當(dāng)證明：將 按定義式展開有：10. 終值定理 ： 若 是因果信號(hào)，且 ， 除了在 可以有一階極點(diǎn)外，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則 證明：在單位圓上無極點(diǎn) 除了在 可以有 單階極點(diǎn)外，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)

14、， 這其實(shí)表明：如果 有終值存在，則其終值等于 在 處的留數(shù)。Z平面上極點(diǎn)位置與信號(hào)模式的關(guān)系示意圖10.6 常用信號(hào)的Z變換對10.7 利用Z變換分析與表征LTI系統(tǒng) 一.系統(tǒng)特性與 的關(guān)系:（自學(xué)）Some Common Z-Transform PairsAnalysis and Characterization of LTI Systems Using Z-Transforms LTI系統(tǒng)的特性可以由 或 描述，因而也可以由 連同ROC來表征。1. 因果性：如果LTI系統(tǒng)是因果的，則 時(shí) 有 所以 , 的ROC是最外部極點(diǎn)的外部， 并且包括 。 稱為系統(tǒng)函數(shù)。系統(tǒng)的特性應(yīng)該在系統(tǒng)函數(shù)中有

15、所表現(xiàn)。2. 穩(wěn)定性：若LTI系統(tǒng)穩(wěn)定，則 ， 即 的DTFT存在，表明單位圓在 的ROC內(nèi)。即 的ROC必包括單位圓。二. LTI系統(tǒng)的Z變換分析法： 因此，因果穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)其 的全部極點(diǎn)必須位于單位圓內(nèi)，反之亦然。當(dāng) 是關(guān)于 Z 的有理函數(shù)時(shí)，因果性要求 的分子階數(shù)不能高于分母階數(shù)。1） 由 求得 及其 。 2） 由系統(tǒng)的描述求得 及其 。分析步驟：三. 由LCCDE描述的LTI系統(tǒng)的 :對方程兩邊做Z變換可得：3） 由 得出 并確定它 的ROC包括 。4） 對 做反變換得到 。由差分方程描述的LTI系統(tǒng)，其方程為是一個(gè)有理函數(shù)。的ROC需要通過其它條件確定，如：1.系統(tǒng)的因果性或穩(wěn)定

16、性。 2.系統(tǒng)是否具有零初始條件等。例：由下列差分方程做出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并求其系統(tǒng)函數(shù) H(z) 和單位脈沖響應(yīng) h(n)。解：由方程可得FIR解：由方程可得利用Z變換的性質(zhì)可得IIR 一. 系統(tǒng)互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù):ROC包括10.8 系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示System Function Algebra and Block Diagram Representations1. 級(jí)聯(lián)：ROC包括3. 反饋聯(lián)接：2. 并聯(lián)： 由系統(tǒng)框圖可列出如下方程：ROC：包括 由LCCDE描述的LTI系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為有理函數(shù)，可將其因式分解或展開為部分分式。二. LTI系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)與并聯(lián)結(jié)構(gòu)：1 .級(jí)聯(lián)型： 其

17、中 是二階（或一階）系統(tǒng)函數(shù)。由此即可得系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)：將 因式分解，在無重階零極點(diǎn)時(shí)可得N為偶數(shù)時(shí)DDDDLTI系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)2. 并聯(lián)型： 將 展開為部分分式，在無重階極點(diǎn)時(shí)有N為偶數(shù)時(shí)DDDDLTI系統(tǒng)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)10.9 單邊Z變換：一. 單邊Z變換： 單邊Z變換是雙邊Z變換的特例，也就是因果信號(hào)的雙邊Z變換。因此單邊Z變換 的ROC一定是最外部極點(diǎn)的外部，并且包括 。 The Unilateral Z-Transform所以在討論單邊Z變換時(shí),不再強(qiáng)調(diào)其ROC。它的反變換也一定與雙邊Z變換的反變換一致。 如果信號(hào) 不是因果序列，則其雙邊Z變換 與單邊Z變換 不同。例1: 對其做雙邊Z變換有：顯然對其做單邊Z變換有：例2. 對其做雙邊Z變換有：對其做單邊Z變換有： 這是因?yàn)?在 的部分對雙邊Z變換起作用，而對單邊Z變換不起作用所致。 只要所涉及的信號(hào)是因果信號(hào)，單邊Z變換除了時(shí)移特性與雙邊Z變換略顯不同外，其它性質(zhì)與雙邊Z變換的情況是一致的。顯然二. 單邊Z變換的性質(zhì)：時(shí)移特性：Proof:若則同理可得：Proof：同理可得： 單邊Z變換