初中九年級數(shù)學競賽培優(yōu)講義全套專題18圓的對稱性精品

1、專題18圓的對稱性閱讀與思考圓是一一個對稱圖形.首先，圓是一個軸對稱圖形， 任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，圓的對稱軸有無數(shù)條；同時,圓又是一個中心對稱圖形，圓心就是對稱中心，圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能夠與本身重合，這是圓特 有的旋轉(zhuǎn)不變性.由圓的對稱性引出了許多重要的定理：垂徑定理及推論；在同圓或等圓中，圓心角、圓周角、弦、弦 心距、弧之間的關(guān)系定理及推論.這些性質(zhì)在計算和證明線段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有廣 泛的應有.一般方法是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形相結(jié)合使用.熟悉以下基本圖形和以上基本結(jié)論.我國戰(zhàn)國時期科學家墨翟在墨經(jīng)中寫道：“圓，一中間

2、長也.”古代的美索不達米亞人最先開始制造圓輪.日、月、果實、圓木、車輪，人類認識圓、利用圓，圓的圖形在人類文明的發(fā)展史上打下了深深的烙印.例題與求解【例1】在半彳至為1的。O中，弦AB AC的長分另I為 J3和J2,則/ BACK數(shù)為.（黑龍江省中考試題）解題思路：作出輔助線，解直角三角形，注A* AC有不同位置關(guān)系.由于對稱性是圓的基本特性，因此，在解決圓的問題時，若把對稱性充分體現(xiàn)出，有利于圓的問題的 解決.【例2】如圖，在三個等圓上各自有一條劣弧Ab , Cd , ?f .如果Ab +Cd = ?f ,那么arcd與EF的大小關(guān)系是（）（天津市競賽試題）（天津市競賽試題）A. AE+C=

3、EF.AE+CEFC. AE+CKEF.AE+CD與EF的大小關(guān)系不能確定（江蘇省競賽試題）解題思路：將弧與弦的關(guān)系及三角形的性質(zhì)結(jié)合起思考.【例3】如圖1,已知多邊形 ABDEC!由邊長為2的等邊三角形ABC正方形BDECI成,。過A, D, E三點，求。O的半徑. 如圖2,若多邊形 ABDE已由等腰4 ABC矩形BDECI成，AB=AC=Bt=2, O O過A, D, E三點,問。O的半徑是否改變?（時代學習報數(shù)學文化節(jié)試題）解法類似.本例表明這三個完美的圖形能合成一個從解題思路：對于，給出不同解法；對于，。的半徑不改變,等邊三角形、正方形、圓是平面幾何圖形中最完美的圖形, 形式到結(jié)果依然

4、完美的圖形.三個完美圖形的不同組合可生成新的問題，同學們可參照刻意練習.【例4】如圖，已知圓內(nèi)接 ABO43, ABAC D為？AC的中點，DEL AB于E,求證：BD-AD=ABgAC（黑龍江省中考試題）解題思路：從化簡待證式入手，將非常規(guī)幾何問題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)幾何題的證明.圓是最簡單的封閉曲線，但解決圓的問題還要用到直線形的有關(guān)知識和方法.同樣，圓也為解決直線形問題提供了新的途徑和方法，善于促成同圓或等圓中的弦、弦心距、弧、圓周角、圓心角之間相等或不 等關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化，是解圓相關(guān)問題的重要技巧.【例5】在ABC43, M是AB上一點，且AM+BM+CM=2AM2BM2CW 3.若P是線段

5、 AC上的一個動點, 。是過P, M C三點的圓，過 P作PD AB交。O于點D.求證：M是AB的中點；求PD的長.（江蘇省競賽試題）解題思路：對于，運用配方法求出 AM BM CM的長，由線段長確定直線位置關(guān)系；對于，促成 圓周角與弧、弦之間的轉(zhuǎn)化.例6已知AD。的直徑，AB, AC是弦，且 AB=AC圖1圖2圖3如圖1,求證：直徑 AD平分/ BAC 如圖2,若弦BC經(jīng)過半徑OA勺中點E, F是CD的中點，G是Fb的中點，O O的半徑為1,求弦 FG的長； 如圖3,在中若弦 BC經(jīng)過半徑OA的中點E, P為劣弧上一動點，連結(jié) PA PB PD PF,求證：PA PF的定值.PB PD（武漢

6、市調(diào)考試題）解題思路：對于，先證明/ BPA/DPS300, / BPa600,這是解題的基礎，由此可導出下列解題突破口的不同思路：由/ BPA=/DPE300,構(gòu)建直角三角形；構(gòu)造 PA+PF, PaPD相關(guān)線段；取Bd的中點M連結(jié)PM聯(lián)想常規(guī)命題;本例實質(zhì)是借用了下列問題:值.如圖 1, PA+PB= 3 PH;能力訓練.圓的半徑為如圖PA+PB=PH若 / APB:PH 平分/ APB,貝 U PA+PB=2PH(os 為定25cm,其內(nèi)接梯形的兩底分別為6cm和8cm,則梯形的面積為cm2.如圖，殘破的輪片上，弓形的弦AB長是40cm,高CD是5cm,原輪片的直徑是cm.C第2題圖第3

7、題圖BA.如圖，已知 CD為半圓的直徑，ABL CD于B.設/ AOB a ,則 gtan=.如圖，在 RtAABC, / C=900, AG J2 , BG=1,若BG=1,若以C為圓心，CB的長為半徑的圓交 AB于P,則AP=.（江蘇省宿遷市中考試題）.如圖，AB是半圓O的直徑，點P從點O出發(fā)，沿OA- Ab BO的路徑運動一周.設O也為s,運 動時間為t ,則下列圖形能大致地刻畫s與t之間的關(guān)系是（）（太原市中考試題）6.如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C,D兩點，AB=10cm, CI=6cm,那么AC的長為（）A. 0.5 cmC . 1.5 cmB.1cmD.

8、2cm.如圖，AB為。的直徑，CD是弦.若AB=10cm, CD=8cm,那么A, B兩點到直線 CD的距離之和為A. 12cmB . 10cmC. 8cm值.8.如圖,半徑為 2的。O中，弦 AB與弦CD垂直相交于點 P,連結(jié) OP若 OP=1,求 A百+CD的（黑龍江省競賽試題）.如圖，AM是。的直徑，過。O上一點B作BNL AM于N,其延長線交。O于點C,弦CD交AM于點E.圖1圖2圖1圖2如果CDL AR求證：EN=NM如果弦。吩AB于點F,且CaAB求證：CE=EF?ED 如果弦CD AB的延長線交于點 F,且CDAB,那么的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.（重

9、慶市中考試題）（第9題圖）.如圖，。的內(nèi)接四邊形 ABMW, ABAC, M是BC的中點，MHLAB于點H.求證：BH=- （ABA。.2（河南省競賽試題）.如圖1,圓內(nèi)接 ABO43, AB=BCCA OD OE為。的半徑，ODL BC于點F, OEL AC于點G 求 證：陰影部分四邊形 OFCGJ面積是 ABC面積的-.3如圖2,若/ DOE呆持120角度不變，求證：當/ DO吸著O點旋轉(zhuǎn)時，由兩條半徑和 ABC勺兩1條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是ABC勺面積的1 .312.如圖，正方形 ABCD勺頂點A, D和正方形JLM的頂點,L在一個以5為半徑的。O上，點J, M在線段BC

10、上.若正方形 ABCD勺邊長為6,求正方形JLM的邊長.（上海市競賽試題）.如圖，AB是。的直徑，。星弦，過A,B兩點作CD的垂線，垂足分別為E,F.若AB=10,AE=3,BF=5,貝U EGA.如圖，把正三角形 ABC的外接圓對折，使點 A落在BC的中點A，上，若BG5,則折痕在 ABC 內(nèi)的部分DE長為.（寧波市中考試題）.如圖，已知。O的半徑為R, C, D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點， AC的度數(shù)為96, ?D的度數(shù) 為36.動點P在AB上，則CP+PD的最小值為 .（陜西省競賽試題）A 后 B . g C . 1_5,17D .16M是AC的中點，MNL AB于N,則有(.如圖，用3

11、個邊長為1的正方形組成一個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑是（.如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓圓周上一點,A . MN=1 AC2B m4acC.3 一MNi-AC5D. MI=2I AC第5題圖（武漢市選拔賽試題）第4題圖6.已知，AB為。O的直徑，D為Ac的中點,Da AB于點E,且DE=3.求AC的長度.如圖，已知四邊形 ABCDJ接于直徑為3的。Q對角線AC是直徑，對角線 AC和BD的交點為P,AB=BQ且PC=0.6 ,求四邊形 ABCD勺周長.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）.如圖，已知點 A B, C, D順次在。O上，Ab Bd , BMLAC于M求證：AM=DC+CM（江蘇省競賽試題）.如圖，在直角坐體系中，點B, C在軸的負半軸上，點 A在y軸的負半軸上，以 AC為直徑的圓與AB的延長線交于點 D, Cd Ao,如果AB=10, AOBQ且AQ BO是的二次方程x2 kx 48 0的兩個 根.求點D的坐標； 一 ，一 ，一 1 若點P在直徑 AC上，且 AP=1AC判斷點（一2, 10）是否在過 D, P兩點的直線上，并說明理4由.（河南省中考試題）.如圖1,已知PAPB為。O的弦，C是劣弧Ab的中點，直線CDL PA于點E,求證：AE=PE+PB.如圖2,已知PA PB為。O的弦，C是優(yōu)弧Ab的中點，直線 CDL