2017年清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題解析

1、高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室=11,012017年清華大學(xué)自主招暨領(lǐng)軍計劃試題解析U知一根繩子放在數(shù)軸的0M區(qū)間上，線密度卩（尢）二x/i解答味/4x-x2dx二2兀.多少邛已知3二cos+nism二亍+x+乙貝I/()/(心0解答1L首先有2tlCOS52TfcosisinW52tc2兀2兀廠cos-smsinbbbb4tt4ttcos石+ism.cos字+isinj+ifcos警sin警+&再由歸納法，可得宀COS轡+1SH1學(xué).5J高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室=11,高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室=11,注意到=1,則cti4=oj；cd3cn2?cn+td12COS，w2f(oOf(/)

2、f(/)f34)-f(a)J()J(亦)J(占-2-J(3)/(T)/(o?)/(3一)二(/+3+2)(/?+aL+2)(十a(chǎn)?+2)(辺t二(1+2a?十辺t+1+2+2cu2+2_1+405若2111A.a的值唯一U尬的值不存在解答選入因為/（x）=2+acos（尢一1）二0有唯一解歩則（）.B.a的值不唯一D.以上都不對能為L將x二1代人，得到a題意+十處少（尤1）關(guān)于兀二1對稱,所以若fC=_1,此時/（x）二2心-I廣177C-64種類，如（ia,2,3）=3,JV（b2?2a）=2,求所有的256個】AZi.Z2*34）的平均值7j（）Aibt解答選DN（右，如皿3山4）為i的個

3、數(shù)為4；N（g心心心）為2的個數(shù)為CKC2+2Q）=84；N（g心gaQ為3的個數(shù)為C1C1AU4；N（i,2，3，4）為4的個數(shù)為A1二24+05從而均1+84X2+144X3+24X4）在/!/?（：中用inZdZinZ從inZC的最大值為（）+H1+島r3+2極民24在ZB=ZC，ZA=Z+f時取等號，四人做道選項為A,B.C,D的選擇題，四個同學(xué)的對話如趙:我選A.錢:我選B?C,D當(dāng)中的個孫:我選C.李:我選D.四個人每人只選了一個選項，而冃各不相同其中只有個人說說解答孫或李.用列表法其中O代表選該選項，X代表沒有選該選項*如趙說謊，則無人選A（見表1）,矛盾.表1ABC趙X錢X孫0

4、如錢說謊裒則趙、錢均選A（見表2）,矛盾.表2ABC趙O錢O孫李高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室從而冇;最大值亦川以取到在四面體PABC中,ABC為等邊二角形，邊長為3.PA=面體PABC的體積為（）B234,則|23V（c有最小值2ABC趙O錢X孫Q李O已知z,w&C,A.有最大值解答選B1注意到從而c.7H高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室32u./M二/iT.対于函數(shù)f（x）=e（x-l）2（x-2）,以下選項正確的足（A,冇2個極大值B.冇2個極小值C+1是極大值點解答B(yǎng)C+求導(dǎo)數(shù)：/

5、（x）二（?*（兀一1）（無2）2（_x1）（乂一2）+=cv（.X4-/3）（X-V3）（x.1）.則fd）有2個極小值,1是極大值點如圖1所林已知曲線八計十護-1以及宜線h：y高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室寺八by二曲線E與h交于人冷兩點，與仏交于C.D兩點，在E上任找一點P（不與ABC.D重合），直線AIBP分別與仏交于M,N兩點，則（X在橢圓上存在2個不同的點Q，mOQ.2OM0N在橢圓上存在4個不同的點QM-OQ2=OM|0/V|在橢圓上存在2個不同的點使得NgsAQMOD在橢圓上存在4個不同的點使得N

6、QOsAQMO解答選BC由對稱件，不妨設(shè)D的坐標(biāo)分別為（挖,鄉(xiāng)），（-（忌-普）,設(shè)P的坐標(biāo)為（x0,y0），則普1=1.此吋PA的方程為5/AOMON=OMONxxN二-Qf4M站即OM|ON|=|OAI?,可知丨OQ|2=|0M|ON，可選取四點，若厶NQJsB兩點.:打滿足x+2y+3z=lOQ的非負整數(shù)解的組數(shù)為（）A.883B.884C.885解答選B列表5找規(guī)律.表5zy種婁00505110佃4920-4748304546*3301解的組數(shù)為51+49+4呂+46+45+4+3+1+0二已知V=(,x.y.z)x2y+3zl,x,z0)，求V的-解答暑B橢圓D線段的中點E的軌跡為（

7、）.A.圓U雙曲線的一支解答選比由E為中點，得PE2+OE2二BE2+OE2二BO2工疋、15已知橢圓方程為鄉(xiāng)+護二1,尸為其右準線上一點，過P向橢圓的蟲焦點為八則（）AB|的最小值為1AB|的最小值:故動點到兩定點距離的平方和為定值，因此動點E的軌跡為圓”BDAFAB的面積廣A.C.AFAB的周長為定值解答選AC.首先注意到結(jié)論:在橢圓準線上任取一點,過該點作橢圓的兩線必過該準線對應(yīng)的焦點（證明略）.應(yīng)用結(jié)論，可知FA/?的周長為定值，H知AB垂直于橫=1+ABXi%t61?2,3?4?5?6心,?！柏?，%4，At-5a2+10%.-10 x4+5於-懸二0的解的組數(shù)為多少？解答6.首先X

8、是5的倍數(shù)：故X=1?=6或工1二6：龍二1+考慮方程5x2+10 x3lOx.i+5兀5-5-5x2+10兀310 x4+5x5二5,-Xz+2x32x4+=1注慮到兀十f（X）+xf（X）二（兀+1）（/（尢）+1）-1，故（兀+1）（故若x為偶數(shù)，則/&）為奇數(shù).即/（0）=3或5,f（l）和/（-理可得，答案為2X52=5O.)已知事件HUB,&0P(B)l,則(P(AB)AP(B)B.P(jBA)l-1p(7b)=0D解答選C注意到公式P（AB）=P（）3故AB錯誤+19另方面MU乩從而An丟二0，故P（麗）二0最后，如X=0,則P（AB）0f已知實數(shù)滿足護+僥=3酹+2如且a,b(h貝11(A.biaB.aZbC+aL2b解答選ACD*若aW貝ija2+ab2+b2(b2+b)(2b)2+2fe3b2最后歩若b2a，貝la2十規(guī)二3,+尸+4仇/+a,故得選項為ACD.高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室B.最多有2個花/D,maxx.i-xz,最多有1個無小于1maxXi廠-a：2017解答選ABD.=1*1+2017高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室高校自主招生數(shù)學(xué)賈廣素工作室高校自主