結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動

1、結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動在地震分析中的應(yīng)用土建學(xué)院碩士 1410班李小鵬學(xué)號：14125800摘要：地震是一種隨機(jī)性振動，它有著難以把握的復(fù)雜性和不確定性，人類還不 能準(zhǔn)確預(yù)測，也不能完全把握和測算建筑物在遭遇地震的特性和參數(shù)。本文主要 介紹了隨機(jī)振動的研究發(fā)展現(xiàn)狀，并介紹了隨機(jī)振動在地震分析中的應(yīng)用及地震 反應(yīng)的隨機(jī)振動研究方法，最后用一個計算實例，證明了隨機(jī)振動方法在分析地 震反應(yīng)時是可行的。關(guān)鍵詞：隨機(jī)振動、地震0引言地震是一種能對人類的生產(chǎn)和生活帶來極大破壞的自然災(zāi)害，對工程結(jié)構(gòu) 的破壞更是非常嚴(yán)重。人類一直對其進(jìn)行研究，以提高工程結(jié)構(gòu)的抗震能力。自 1947年HousnerE 1首次用隨機(jī)過程描

2、述地震動以來的半個多世紀(jì)，隨機(jī)振動理論 在工程抗震中得到應(yīng)用并迅速發(fā)展，日益成為一種較為先進(jìn)合理的抗震分析工具。 本文主要介紹隨機(jī)振動在結(jié)構(gòu)抗震中應(yīng)用與發(fā)展前景。1隨機(jī)振動研究發(fā)展現(xiàn)狀將地震作用作為隨機(jī)過程，并用隨機(jī)振動理論來研究結(jié)構(gòu)在隨機(jī)地震激勵下 的響應(yīng)及其概率特性，是結(jié)構(gòu)抗震理論的重大發(fā)展。自1947年Housner首次用 隨機(jī)過程描述地震動以來的半個多世紀(jì)，隨機(jī)振動理論在工程抗震中得到應(yīng)用并 迅速發(fā)展，日益成為一種較為先進(jìn)合理的抗震分析工具。國內(nèi)有關(guān)研究工作始于 60年代初期，并在進(jìn)入80年代后逐漸活躍，但運(yùn)用隨機(jī)抗震理論進(jìn)行工程結(jié)構(gòu) 地震響應(yīng)研究和分析的工作在國內(nèi)外開展得遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，與

3、這種理論的先進(jìn)性很不 相稱。雖然人類對隨機(jī)振動理論在橋梁工程、地下工程、井架結(jié)構(gòu)、大跨度結(jié)構(gòu) 等工程抗震領(lǐng)域展開了多方面的細(xì)致深入的研究，并取得了一定的研究成果，但 由于隨機(jī)振動理論的復(fù)雜性，該理論在實際工程抗震設(shè)計中應(yīng)用還很少。中國學(xué)者李宏男在隨機(jī)振動的振型加速度法基礎(chǔ)上，提出適用于計算高層建 筑在地震平動和扭轉(zhuǎn)共同作用下的結(jié)構(gòu)的多維隨機(jī)振動的振型加速度法，多高層 建筑在地震平動和扭轉(zhuǎn)共同作用下的結(jié)構(gòu)的隨機(jī)反應(yīng)分析中一般都應(yīng)用這種方 法，但是該方法的公式推導(dǎo)較復(fù)雜、參數(shù)較多、計算量也較大。在隨機(jī)振動反應(yīng) 分析的領(lǐng)域內(nèi)的隨機(jī)振動的功率譜法，它由給定的激勵功率譜而求出各種響應(yīng)功 率譜，在工程應(yīng)用

4、中占有很重要的地位，其原理簡單，概念易于理解，許多著名 的國內(nèi)外學(xué)者在此方面也做出了很多貢獻(xiàn)。目前目前結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動的研究主要集中在以下方面：非線性隨機(jī)振動。60年代初，擴(kuò)散過程和隨機(jī)微分方程被引入到隨機(jī)振動中，非線性隨機(jī)振 動受到極大的關(guān)注。求解非線性隨機(jī)振動的FPK方法被Fokker、Plank、 Kolmogorov等提出了，隨后建立了 FPK方法的嚴(yán)密數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。但是對于非線性 系統(tǒng)FPK方法只能求得在白噪聲激勵下單自由度系統(tǒng)的精確平穩(wěn)解。因此近似 方法（隨機(jī)平均法、矩法、統(tǒng)計線性化法等）的提出來解決非線性隨機(jī)振動問題的 求解困難，朱位秋1985年、1994年年綜述了非線性隨機(jī)振動的研究進(jìn)

5、展，在專 著中3提出了高斯白噪聲激勵下耗散哈密爾頓系統(tǒng)等效非線性系統(tǒng)法、擬哈密爾 頓系統(tǒng)隨機(jī)平均法，構(gòu)成了一個非線性隨機(jī)動力學(xué)與控制的哈密爾頓理論體系框 架。非平穩(wěn)隨機(jī)振動、隨機(jī)振動的解法。對于顯然不符合平穩(wěn)性假設(shè)的隨機(jī)荷載如風(fēng)載、海浪力等，結(jié)構(gòu)在此類荷載 作用下的振動均為非平穩(wěn)隨機(jī)振動。PriestleyM. B提出一類特殊的非平穩(wěn)過程 一調(diào)制隨機(jī)過程，Hammond JK給出了此類非平穩(wěn)激勵下演變響應(yīng)譜的頻域方法。 一般情況下采用系統(tǒng)的狀態(tài)空間動力方程及復(fù)模態(tài)分析法在非平穩(wěn)響應(yīng)中更為 有效。復(fù)雜激勵形勢下大型結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動問題。各點激勵之間具有一定的時間、 空間相關(guān)性的多點激勵一般出現(xiàn)在多

6、自由度體系中。多點激勵隨機(jī)振動研究被世 界上很多學(xué)者所關(guān)注，劉云天等在研究地震激勵的時空相關(guān)特性時，采用兩步相 關(guān)譜展開，結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)運(yùn)用結(jié)構(gòu)振型分解法直接求得；多點激勵作用下線性系 統(tǒng)隨機(jī)地震反映分析的均值反應(yīng)譜方法由中國學(xué)者李杰、李建華M等提出。2地震與隨機(jī)振動地震發(fā)生的時間、空間和強(qiáng)度特征不僅隨時間變化，而且具有明顯的隨機(jī)性。 主要表現(xiàn)在：同樣的基本條件下得到的地震動時程曲線不相同。地震荷載不同于 靜載也不同于其他的動力荷載。是一種隨機(jī)荷載。每次的動力作用的頻率樣本不 一。荷載的頻率大小、峰谷值高低、幅值變化、持續(xù)時間長短以及不同幅值各個 脈沖的排列順序都標(biāo)志著荷載的變化，它們反映出不同

7、的峰值效應(yīng)、速率效應(yīng)、 往復(fù)效應(yīng)、波序效應(yīng)和持時效應(yīng)，從而使受荷載作用的土體動力性質(zhì)在參數(shù)相同 的條件下也會表現(xiàn)出不同的響應(yīng)狀態(tài)，引起不同的動孔壓和動強(qiáng)度。2.1平穩(wěn)隨機(jī)激勵在大量工程實際問題中，工程結(jié)構(gòu)所受的地震隨機(jī)激勵在許多場合下可以合 理地當(dāng)作平穩(wěn)隨機(jī)激勵。在經(jīng)典的隨機(jī)振動分析中，一般用功率譜密度函數(shù)(PSD) 來描述地震動隨機(jī)過程，其中較典型的是Kanai-Tajimi功率譜模型及其各種修 正模型。在本質(zhì)上，功率譜密度函數(shù)是平穩(wěn)隨機(jī)過程的二階數(shù)值特征，是與均值 反應(yīng)譜相對應(yīng)的，根據(jù)平穩(wěn)輸入的最大反應(yīng)分布來進(jìn)行轉(zhuǎn)換。其能給出結(jié)構(gòu)響應(yīng) 的數(shù)值特征解答，但很難全面反映原始隨機(jī)過程的豐富概率信

8、息。從而導(dǎo)致在非 線性隨機(jī)地震響應(yīng)分析與動力可靠度研究方面存在相當(dāng)大的局限性。2.2非平穩(wěn)隨機(jī)過程對于突風(fēng)、臣浪、地震、海嘯、爆炸沖擊等必須當(dāng)作非平穩(wěn)隨機(jī)激勵來處理， 尤其是場地上地震時的地面運(yùn)動。受到了震源機(jī)制、傳播途徑和場地條件的影響， 包含了許多不確定因素，具有明顯的非平穩(wěn)特性，應(yīng)該被看作是一個非平穩(wěn)隨機(jī) 過程，非一致隨機(jī)特性對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響顯著。2.3地震地面運(yùn)動的模擬4地震地面運(yùn)動具有強(qiáng)烈的隨機(jī)性和不確定性。地震作用下地面建筑物的動力 響應(yīng)同樣具有強(qiáng)烈的隨機(jī)性。結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析必須以地震場地運(yùn)動特性(幅 值、頻譜特性和持續(xù)時間)為依據(jù)。地震動的模擬方法分為兩大類：地震學(xué)方法 和地震

9、工程學(xué)方法。前者方法的基礎(chǔ)是彈性位錯理論和格林函數(shù)，注重于震源機(jī) 制和物理過程的模擬；后者方法的基礎(chǔ)是隨機(jī)過程理論和地震動參數(shù)的經(jīng)驗統(tǒng)計 關(guān)系，但忽略了地震波產(chǎn)生和傳播的物理過程，完傘相信經(jīng)驗統(tǒng)計的結(jié)果。只要 能保證實際記錄的豐富程度和可靠性，對于像加速度這種主要由中、高頻分量所 組成的復(fù)雜地面運(yùn)動，后者是有明顯優(yōu)點的。地震動的空問變化特點有:存在一個與場地條件和兩點間距離相關(guān)的頻率， 地震波低于該頻率的部分可以用波動理論很好表述，而高于該頻率的部分則適于 用隨機(jī)理論方法描述；地震動場兩點間地震動的相關(guān)性與兩點間距離和地震動 頻率成分密切相關(guān)；地震動場任意兩點的空間變化程度依賴于地震的震源特征

10、。3地震反應(yīng)分析方法3.1常規(guī)分析方法3.1.1振型分解反應(yīng)譜法1959年，Housner基于反應(yīng)譜理論給出第一條設(shè)計譜，此后，采用振型疊 加反應(yīng)譜方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)地震作用效應(yīng)分析成為結(jié)構(gòu)抗震分析的主導(dǎo)方法.應(yīng)用振 型分解反應(yīng)譜法的兩個關(guān)鍵問題是最大反應(yīng)的組合方式和參與組合的振型選擇 方法。常用的反應(yīng)組合方式有考慮振型相關(guān)性的CQC方法和不考慮相關(guān)性的 SRSS方法。由于結(jié)構(gòu)分析中不可能取盡所有振型進(jìn)行組合，結(jié)構(gòu)固有頻率和振 型求解很少用直接解析方法，而是采用Rayleigh-Ritz法、Lanczos坐標(biāo)法、子 空間迭代法等數(shù)值方法，獲取從最低階振型開始的前若干階振型。由于激發(fā)結(jié)構(gòu) 高階振型的高

11、頻地振動能量在傳播過程中迅速衰減，因此，在結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)計算 中，一般取一定階數(shù)的低階振型進(jìn)行組合。對于多高層建筑，一般運(yùn)用質(zhì)量參與 系數(shù)累積量判斷所考慮的振型數(shù)量是否達(dá)到要求，頻率密集的大跨度空間結(jié)構(gòu)質(zhì) 量參與系數(shù)準(zhǔn)則并不完全適用。如何選擇結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)主振型，以有效縮減振型 數(shù)量，成為空間結(jié)構(gòu)應(yīng)用振型分解法時需要恰當(dāng)處理的重要環(huán)節(jié)。同時，利用振 型分解反應(yīng)譜方法分析大跨度空間結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)時，還需考慮諸如多點輸入效應(yīng)、 設(shè)計反應(yīng)譜適用性等較為復(fù)雜的問題。3.1.2動力時程分析方法由于振型分解方法在計算中運(yùn)用了疊加原理，只適用于計算結(jié)構(gòu)線性階段的 地震作用響應(yīng)，當(dāng)結(jié)構(gòu)跨度增大，幾何非線性效應(yīng)顯現(xiàn)，

12、或地震動強(qiáng)度水平較高， 結(jié)構(gòu)進(jìn)入彈塑性階段時，用這一方法求解結(jié)構(gòu)地震作用效應(yīng)，理論上就不再有效。 上世紀(jì)五十年代發(fā)展起來的時程分析方法，是一種直接基于結(jié)構(gòu)動力方程的數(shù)值 方法。該方法采用直接積分技術(shù)求解動力方程，按是否需要求解耦聯(lián)方程組，分 為顯式方法（如Newmar-p法、Wilson-0法）和隱式方法（如中心差分法）兩 類。運(yùn)用動力時程分析方法計算大跨度空間結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)，應(yīng)用已十分廣泛，而 且其分析結(jié)果被認(rèn)為是準(zhǔn)確的。但是，時程分析方法計算量大，對計算結(jié)果的正 確分析判斷依賴于工程人較高的結(jié)構(gòu)分析素質(zhì)。最關(guān)鍵的是，時程分析方法的計 算結(jié)果依賴于所選擇的地震動輸入，同一場地的不同地震動記錄可

13、能導(dǎo)致差異巨 大的結(jié)果。為減小分析結(jié)果的不確定性，并可靠把握結(jié)構(gòu)在地震下災(zāi)變失效的全 過程，工程設(shè)計人員采用一系列強(qiáng)度逐步增大的地震動輸入，逐一進(jìn)行結(jié)構(gòu)動力 時程分析。3.2隨機(jī)振動分析方法囹3.2.1虛擬激勵法由林家浩提出的虛擬激勵法較為完整地解決了線性結(jié)構(gòu)體系的高效隨機(jī)振 動分析問題。林家浩等對具有隨機(jī)參數(shù)的結(jié)構(gòu)受到非平穩(wěn)隨機(jī)激勵的問題，給出 了結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)變異系數(shù)的虛擬激勵攝動算法，將攝動法和虛擬激勵法相結(jié)合實 現(xiàn)了線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)受演變型非平穩(wěn)隨機(jī)激勵響應(yīng)方差的變異性分析。李杰等利用 虛擬激勵法對隨機(jī)結(jié)構(gòu)正交展開理論進(jìn)行擴(kuò)展，并在Ritz向量子空間中對擴(kuò)階 系統(tǒng)方程進(jìn)行動力縮聚，提出了一類

14、可以快速高效地進(jìn)行線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)復(fù)合隨機(jī) 振動分析的計算方法。但對于彈塑性分析，虛擬激勵法在處理非線性問題時不能 應(yīng)用迭加原理。3.2.2概率密度演化理論在罕遇地震作用下，結(jié)構(gòu)將會進(jìn)入強(qiáng)非線性的受力狀態(tài)，盡管對非線性因素 進(jìn)行等效性處理后反應(yīng)譜方法也能應(yīng)用，并仍允許將振型疊加法應(yīng)用于多自由度 體系，但是基于振型疊加的反應(yīng)譜方法在本質(zhì)上是一種線性方法，將其應(yīng)用到強(qiáng) 非線性問題可能會導(dǎo)致較大誤差。李杰和陳建兵提出了隨機(jī)動力系統(tǒng)分析的概率 密度演化理論，在關(guān)于結(jié)構(gòu)非線性隨機(jī)振動分析和結(jié)構(gòu)動力可靠度分析的統(tǒng)一理 論方面邁出了重要的一步，通過構(gòu)造虛擬隨機(jī)過程?？梢郧蟮秒S機(jī)結(jié)構(gòu)動力反應(yīng) 的極值分布和隨機(jī)結(jié)構(gòu)

15、系統(tǒng)的動力可靠度，并具有較好的精度和效率，在結(jié)構(gòu)非 線性抗震分析中獲得重大進(jìn)展。4隨機(jī)振動應(yīng)用案例在地震分析中把高層框架結(jié)構(gòu)計算簡圖簡化為剪切層模型，這樣的模型是整 個結(jié)構(gòu)的豎向承重構(gòu)件合并成一根總的豎向桿，把質(zhì)量集中于各樓層，從而形成 一個懸臂梁的串聯(lián)質(zhì)量系的模型。高層框架結(jié)構(gòu)剪切層模型的計算簡圖如下圖1所示。結(jié)構(gòu)運(yùn)動微分方程組在地面加速度時程X。激勵下用矩陣的形式表示為Mx+ Cx+ Kx = -MEx (t) g 式中：Mn*n階質(zhì)量矩陣Kn*n階剛度矩陣Cn*n階阻尼矩陣Xn*1階單位向量圖1高層框架結(jié)構(gòu)的剪切層模型計算簡圖某案例采用現(xiàn)澆鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)共12層，層高均為3.3m，柱

16、的混凝土 等級采用C30，梁的混凝土等級采用C20。(E = 3.0 x104N/mm2)。橫梁的跨度 為4.5m，截面尺寸為250mmx650mm，柱的截面尺寸550mmx550mm。平面圖 形如圖2所示：將用SAP建模計算得到的結(jié)構(gòu)自振頻率與用虛擬激勵法的計算值進(jìn)行比較， 結(jié)果如下：表1結(jié)構(gòu)自振頻率值比較階數(shù)SAP虛擬激勵絕對相對（x方向）分析值法計算值誤差誤差11.16141.05020.11129.57%22.21122.19090.02030.92%32.28642.2092.2093.39%42.89132.8032.8033.05%52.9679-63.5458-73.719-8

17、4.267-94.5209-圖2高層框架平面圖比較結(jié)果表明，用虛擬激勵法計算結(jié)構(gòu)自振頻率是可行的。5存在的問題及展望5.1存在的問題近10幾年來，國內(nèi)外抗震界一些極具影響力的人士皆在對這一挑戰(zhàn)性問題 尋求更合理的解決途徑。他們一致認(rèn)識到應(yīng)按隨機(jī)振動理論和方法來處理大跨度 結(jié)構(gòu)的抗震分析的前景，并作了大量的研究工作。但是可以說，直到現(xiàn)在隨機(jī)振 動方法還是難以在工程設(shè)計中被有效地應(yīng)用，最根本的障礙應(yīng)該說是在于計算復(fù) 雜性太高，因此難以被工程人員所接受。隨機(jī)振動作為一門近代新興學(xué)科，自從50年代建立以來，由于其廣泛的工 程背景，吸引了大批科學(xué)家和工程人員的深入研究，其基本的理論框架應(yīng)該說早 已經(jīng)建立

18、起來了。可是在工程中的應(yīng)用迄今還局限于比較簡單的模型，難以應(yīng)付 復(fù)雜的結(jié)構(gòu)計算。究其原因，主要是計算方法始終未有大的突破。5.2展望我國在該領(lǐng)域已經(jīng)具有的優(yōu)勢一基于最先進(jìn)的理論，進(jìn)行極其高效而且精確 的分析。下一步，更為重要的問題是如何保持并擴(kuò)大優(yōu)勢，發(fā)展已取得的理論成 果，并將其轉(zhuǎn)化為工程的優(yōu)勢。為此必須從修訂規(guī)范著手，在多點平穩(wěn)或非平穩(wěn) 隨機(jī)地震激勵下的動態(tài)分析提供指導(dǎo)性的設(shè)計原則和方法。也希望我國相關(guān)學(xué)者 可以在該領(lǐng)域做處更加杰出的成果。參考文獻(xiàn):1Housner G W. chamcteristic of Strong-Motion EarthquakesJ. Bulletin of the seismological society of American,1947,37(