蘇教版高中數(shù)學選擇性必修一第5章習題課《函數(shù)的存在性問題與恒成立問題》教案

1、本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來習題課函數(shù)的存在性問題與恒成立問題學習目標1.了解利用導數(shù)研究函數(shù)的存在性問題和恒成立問題的方法.2.初步運用導數(shù)解決有關(guān)的存在性問題和恒成立問題一、函數(shù)的恒成立問題例1設(shè)函數(shù)f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm對t(0,2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，當xt時，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2

2、)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(舍去)當t變化時，g(t)，g(t)的變化情況如表所示：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)1m對t(0,2)，當t1時，g(t)max1m，h(t)2tm對t(0,2)恒成立，等價于g(t)0對t(0,2)恒成立，只需g(t)max1m1.故實數(shù)m的取值范圍是(1，)反思感悟(1)“恒成立”問題向最值問題轉(zhuǎn)化是一種常見的題型，一般地，可采用分離參數(shù)法進行轉(zhuǎn)化f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.對于不能分離參數(shù)的恒成立問題，直接求含參函數(shù)的最值即可(2)此類問題特別要小心“最值能否取得

3、到”和“不等式中是否含等號”的情況，以此來確定參數(shù)的范圍能否取得“”跟蹤訓練1設(shè)函數(shù)f(x)2x39x212x8c.(1)若對任意的x0,3，都有f(x)c2成立，求c的取值范圍；(2)若對任意的x(0,3)，都有f(x)c2成立，求c的取值范圍解(1)f(x)6x218x126(x1)(x2)，當x(0,1)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當x(1,2)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當x(2,3)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當x1時，f(x)取極大值f(1)58c.又f(3)98cf(1)，當x0,3時，f(x)的最大值為f(3)98c.對任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，9

4、8cc2，即c1或c9，c的取值范圍為(，1)(9，)(2)由(1)知f(x)f(3)98c，98cc2，即c1或c9，c的取值范圍為(，19，)二、函數(shù)的存在性問題例2已知函數(shù)f(x)eq f(ln x,x).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(x)f(x)x，求證：g(x)1；(3)設(shè)h(x)f(x)x22ax4a21，若存在x0使得h(x0)0，求a的最大值(1)解因為f(x)eq f(ln x,x)，所以f(x)eq f(1ln x,x2).令f(x)0，即1ln x0，解得0 xe；令f(x)0，即1ln xe，所以f(x)的增區(qū)間為(0，e)，減區(qū)間為(e，)(2)證明因為

5、f(x)eq f(ln x,x)，所以g(x)eq f(ln x,x)x，所以g(x)eq f(1ln x,x2)1eq f(1ln xx2,x2)，令t(x)1ln xx2，則t(x)eq f(1,x)2x0，g(x)0；當x(1，)時，t(x)0，g(x)eq f(1,2)時，由(2)可知，eq f(ln x,x)x1，即eq f(ln x,x)x1.所以h(x)xx22ax4a2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(2a1,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2a1,2)24a23a2aeq f(1,4)eq f(2a16a1,4)0，h(x)0，即不存在x0使

6、得h(x0)0.綜上所述，a的最大值為eq f(1,2).反思感悟存在性問題向最值問題轉(zhuǎn)化是一種常見的題型，一般地，可采用分離參數(shù)法進行轉(zhuǎn)化，若存在x，使得f(x)成立f(x)min；若存在x，使得f(x)成立f(x)max.跟蹤訓練2已知函數(shù)f(x)xln xaxb(a，bR)在點(1，f(1)處的切線為3xy20.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若存在實數(shù)m，使得m2m10，故h(x)在eq f(1,x)1,4上是增函數(shù)，h(x)h(1)1.要存在實數(shù)m，使得m2m1eq f(fx,x)在xeq blcrc(avs4alco1(f(1,4)，1)時成立，只要m2m1eq blcrc(a

7、vs4alco1(f(fx,x)max1即可，解得1m0在1,2上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()Aa1 Ba1Ca4答案D解析由題意知，不等式x32xax32x，令g(x)x32x，則g(x)3x220在1,2上恒成立，因此g(x)maxg(2)4，故a4.3已知函數(shù)f(x)x22ln x，若關(guān)于x的不等式f(x)m0在1，e上有實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是()A(，e22) B(，e22C(，1 D(，1)答案B解析由題意可知，存在x1，e，使得mf(x)，則mf(x)max.f(x)x22ln x，f(x)2xeq f(2,x)eq f(2x22,x)eq f(2x1x1,x)，當x1，

8、e時，f(x)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間1，e上是增函數(shù)，則f(x)maxf(e)e22，me22，因此實數(shù)m的取值范圍是(，e224(多選)定義在(0，)上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x)，且(x1)f(x)f(x)5B若f(1)2，x1，則f(x)x2eq f(1,2)xeq f(1,2)Cf(3)2f(1)7D若f(1)2,0 xx2eq f(1,2)xeq f(1,2)答案CD解析設(shè)函數(shù)g(x)eq f(fxx2,x1)，則g(x)eq f(fx2xx1fxx2,x12)eq f(x1fxfxx22x,x12)，因為(x1)f(x)f(x)x22x，所以g(x)g(2)g(3)，整理得2f

9、(2)3f(1)5，f(3)2f(1)7，故A錯誤，C正確；當0 xg(1)eq f(1,2)，即eq f(fxx2,x1)eq f(1,2)，即f(x)x2eq f(1,2)xeq f(1,2)，故D正確，B不正確二、填空題5若不等式exkx對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)k的最大值為_答案e解析不等式exkx對任意實數(shù)x恒成立，即f(x)exkx0恒成立，即f(x)min0.f(x)exk，當k0時，可得f(x)0恒成立，f(x)單調(diào)遞增，無最小值當k0時，xln k時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；xln k時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減即當xln k時，f(x)取得最小值，最小值為kkln

10、 k，由kkln k0，解得01在區(qū)間(1，)內(nèi)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_答案1，)解析由f(x)1，得axln x1，x1，原不等式轉(zhuǎn)化為aeq f(1ln x,x)，設(shè)g(x)eq f(ln x1,x)，得g(x)eq f(ln x,x2)，當x(1，)時，g(x)0，則g(x)在(1，)上是減函數(shù)，則g(x)eq f(1ln x,x)在(1，)上恒成立，a1.三、解答題7已知函數(shù)f(x)xeq f(a,ex)，其中aR，e是自然對數(shù)的底數(shù)(1)當a1時，求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上的零點個數(shù)；(2)若f(x)2對任意的實數(shù)x恒成立，求a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)xeq f(

11、1,ex)，則f(x)1eq f(1,ex)0，f(x)在0，)上是增函數(shù)，又f(0)10，故x0(0,1)，使得f(x0)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上有1個零點(2)若f(x)2對任意的實數(shù)x恒成立，即aex(2x)恒成立，令g(x)ex(2x)，則g(x)ex(1x)，令g(x)0，得x1；令g(x)1，g(x)在(，1)上是增函數(shù)，在(1，)上是減函數(shù)，g(x)maxg(1)e，a的取值范圍為(e，)8已知函數(shù)f(x)ex2ax(aR)(1)若aeq f(1,2)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當x2,3時，f(x)0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)當aeq f(1,2)時，f(x)exx，f(x)ex1，令f(x)0，得x0；令f(x)0，得x0；令f(x)0，得x0恒成立g(x)在2,3上是增函數(shù)，g(x)ming(2)eq f(e2,2)，2aeq f(e2,2)，即aeq f(e2,4)，故實數(shù)a的取值范圍為eq blc(rc(avs4alco1(，f(e2,4).9已知函數(shù)f(x)(xa)ex，其中a為常數(shù)(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)e3xex在x0,1時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)由f(x)(xa)ex，得f(x)(xa1)ex，函數(shù)f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，f(x)(xa1)ex