2022年【100所名?！?018-2019學年北京八中第一學期高三期中考試數(shù)學試題

1、20222022 學年北京八中第一學期5在 ABC 中, M 是 BC 的中點 , AM = 3, 點 P 在 AM 上, 且滿意 . . = 2. . , 就 . . . 的值為留意事項：高三期中考試數(shù)學（理科）試題A 4 B2 C- 2 D- 4 數(shù)學6如圖,點 .為坐標原點,點.1,1,如函數(shù) .= .（. 0,且 . 1）及 .= log.（.0,且 . 1）的圖象與線段. 分別交于點 .,.,且 .,.恰好是線段 .的兩個三等分點,就.,.滿意1答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上,并將準考證號條形碼粘封號 位 座貼在答題卡上的指定位置；2挑選題的作答：每道題選出答

2、案后,用2B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效；3非挑選題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內；寫在試題卷、草稿紙密號 場 考和答題卡上的非答題區(qū)域均無效；A . . 1B. . . 1D. . 14考試終止后,請將本試題卷和答題卡一并上交；7已知 .= 1 .- 1, . 1,如函數(shù) .= .- .+ .只有一個零點,就.的取值范疇是不一、單項題ln.,0 . 0”是“ .+ sin. 0” 的 .的單調遞增區(qū)間是.+.6,.+2.3 .；A 充分不必要條件B必要不充分條件存在經過點 .,.的直線與函數(shù) .的圖象不相交只C充分必

3、要條件D既不充分也不必要條件A BCD4函數(shù) . = .-1 . cos.（-. .且. 0）的圖象可能為二、填空題卷名 姓A B名校精編卷第 1 頁（共 4 頁）9在極坐標系中,圓.= 2的圓心到直線 .cos.+ .sin.= 2上的動點的距離的最小值為_. 10如雙曲線 .2+.2 .= 1的一條漸近線的傾斜角為60 ,就 . = _此CD11已知直線 . 1: .+ .+ 2.+ 1 = 0,. 2:.+ .+ 2 = 0如 . 1. 2,就實數(shù) .的值是12如直線 .= 2.上存在點 .,.滿意約束條件 .+ .- 3 0,就實數(shù) .的取值范.- 2.- 3 0級 班. .圍. 好訓

4、練云平臺好訓練云平臺名校精編卷第 2 頁（共 4 頁）13如圖,線段 .= 2,點 .,.分別在 .軸和 .軸的非負半軸上運動,以.為一邊,在第一象（2）如直線 l 與拋物線交于不同的兩點A 、B,求 |FA|+|FB| 的取值范疇4,以橢圓 .的短軸為18已知函數(shù)f x = x e- x x R 限內作矩形 .,.= 1設 .為原點,就 . . . . 的取值范疇是 _（）求函數(shù)f x的單調區(qū)間和極值; （）如 x 0, 1, 求證 : f 2 - x f x; （）如 x1 0, 1, x2 1, + , 且 f x1 = f x2, 求證 : x1 + x2 2. .2 19已知橢圓 .

5、: .2 +.2 .2 = 1. . 0 上的點到它的兩個焦的距離之和為直徑的圓 .經過這兩個焦點,點., .分別是橢圓 .的左、右頂點（1）求圓 .和橢圓 .的方程14對于函數(shù) .= .,如在其定義域內存在.0,使得 .0. 0 = 1成立,就稱函數(shù).具有性（2）已知 .,.分別是橢圓 .和圓 .上的動點（ .,.位于 .軸兩側）,且直線.與.軸平行,直質.線.,.分別與 .軸交于點 .,.求證： . 為定值（ 1）以下函數(shù)中具有性質.的有 _20將全部平面對量組成的集合記作. 2, .是從 . 2到.2的映射 , 記作 .= . 或.1,.2 = .= -2. + 22.= sin.0,2

6、 . 1,.2, 其中 .1,.2, .1,.2都是實數(shù) . 定義映射 .的模為 : 在|. | = 1的條件下 |. | 的最大值 , 記做 . .- .+1 .,.0, + .= ln.+ 1如存在非零向量.2, 及實數(shù) .使得 . = . , 就稱 .為 .的一個特點值 . （ 2）如函數(shù) .= .ln. 具有性質 .,就實數(shù) .的取值范疇是 _三、解答題（）如 . 1, .2 = 1 2.1,.2 , 求 . （）假如 . 1, .2 = .1 + .2,.1 - .2, 運算 .的特點值 , 并求相應的 .; （）試找出一個映射., 滿意以下兩個條件: 有唯獨的特點值., .= |.

7、|. 不需證明 15某中學高一年級共8 個班,現(xiàn)從高一年級選10 名同學組成社區(qū)服務小組,其中高一（1）班選取 3 名同學,其它各班各選取1 名同學現(xiàn)從這10 名同學中隨機選取3 名同學,到社區(qū)老年中心參與 “尊老愛老 ”活動（每位同學被選到的可能性相同）（ 1）求選出的3 名同學來自不同班級的概率；X 的分布列和數(shù)學期望（ 2）設 X 為選出同學中高一（1）班同學的人數(shù),求隨機變量16函數(shù) fx cos x 0 .2 的部分圖象如下列圖1 求 及圖中 x0 的值；2 設 gxfx f.+1 3 ,求函數(shù) gx在區(qū)間 -1 2,1 3上的最大值和最小值好訓練云平臺名校精編卷第 4 頁（共 4

8、頁）17已知拋物線C：y2=4x ,其焦點為 F,直線過點P（ 2,0）（ 1）如直線 l 與拋物線 C 有且僅有一個公共點,求l 的方程；好訓練云平臺名校精編卷第 3 頁（共 4 頁）20222022 學年北京八中第一學期4A 13.代入【解析】高三期中考試數(shù)學（理科）試題由.-. = -. +1 .cos-.= -. -1 .cos.= -.,數(shù)學答 案所以函數(shù) .是奇函數(shù),所以函數(shù).的圖象關于原點對稱,故排除.,.；當 .= .時, .= .-1 .cos.=1 .- . 0,排除 B,應選 A. 參考答案1B 5D 【解析】【解析】【分析】【分析】依據(jù) AB=0 ,得出 log7m=0

9、,求出 m 的值,從而得出n 的值,再求出m+n 的值由平行四邊形法就,可得2. + . =2.又 . = 2.,可得 . 3.,. =【詳解】. . + . 即可得出依據(jù) A=2 ,log 7m ,B=m ,n ,且 A B=0 ,【詳解】得 log 7m=0,解得 m=1；由平行四邊形法就,可得. + . =2. = .,n=0,m+n=1+0=1 2 . 3.,. =13.應選： B AM=3 , . . + . =223. . 3.【點睛】此題考查了集合交集的定義與應用問題,是基礎題目=-49. 2=4 932= 42B 【解析】應選： D試題分析：解：F（2,0）K （-2,0）,過

10、 A 作 AM 準線,就 |AM|=|AF| , |AK|= 2|AM| ,【點睛】1 AFK 的高等于 |AM| ,設 A（m2,22m）（ m0）就 AFK 的面積 =4 22m. 2=42m 又由此題考查了數(shù)量積運算性質、向量的平行四邊形法就、向量共線定理,考查了推理才能與運算 才能,屬于中檔題|AK|= 2|AF|,過 A 作準線的垂線,垂足為P,三角形 APK 為等腰直角三角形,所以m=26A 1 AFK 的面積 =422m. 2=8 故答案為 B 【解析】由圖象可以知道,函數(shù)均為減函數(shù),考點：拋物線的簡潔性質點評：此題主要考查了拋物線的簡潔性質考查了同學對拋物線基礎學問的嫻熟把握所

11、以 0 . 1,0 . 0,且 . 0）的圖象經過點.,.單調遞增,且 .0 = 0,依據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質可知：. 0” 是”.+ sin. 0”的必要條件應選C . . . 2 + .2,平方得 .2 .2+ .2沖突,故假設不成立,所以經過點.,.的全部直線均與函數(shù).= .的圖象相交,故不正確考點：三角函數(shù)的圖象變換、兩角和與差的正弦函數(shù)好訓練云平臺名校精編卷答案第 3 頁（共 12 頁）好訓練云平臺名校精編卷答案第 4 頁（共 12 頁）解：如圖令 OAB = .,由于 AB = 2 故 0A = 2cos.,OB = 2sin.,試題分析：（ 1）求得全部基本領件的種數(shù)以及符合題意

12、的基本領件種數(shù),利用古典概型從而 求解；（ 2）求得 .= 0,1, 3時的概率,得到分布列后即可求解期望如圖DAX = . 2 - .,BC = 1,故xD = 2cos.+ cos（. 2 -.yD = sin（2 -.） = cos.） = 2cos.+ sin.,試題解析：（ 1）設 “選出的 3 名同學來自不同班級”為大事 .,就 .=.31.72+.30.73 3 .10=49 60,選故OB . = （2cos.+ sin.,cos.）同理可求得 C（sin.,cos.+ 2sin.）,即 OC . = （sin.,cos.+ 2sin.）,OB . OC . = （cos.+

13、2sin.,cos.） . （sin.,2cos.+ sin.） = 2 + sin2.,OB . OC . = （cos.+ 2sin.,cos.） . （sin.,2cos.+ sin.） = 2 + sin2.,. OC . 的最大值是 3,最小值是 1,故答案是： 1,314（ 1）（ 2）. 0 或. -.【解析】出的 3 名同學來自班級的概率為49 60；（ 2）隨機變量 .的全部可能值為0,1,2,3,就.= 0 =.30.73 .10 3=7 24；.= 1 =.31.72 .10 3=21 40；.= 2 =.32.71 .10 3=7 40；.= 3 =.3 3 .7.10

14、 3=1 120,隨機變量 .的分布列是.0123.721712440401201 試題分析：（ 1）在 x 0時, f（x） = .有解,即函數(shù)具有性質P,隨機變量 .的數(shù)學期望令-2x+2 2 =.,即 -2. 2 + 22.- 1 = 0.= 0 7 24+ 1 21 49+ 2 7 40+ 3 1 120=9 10 =8-8=0 ,故方程有一個非0 實根,故 f（x）=-2x+2 2具有性質 P；考點： 1隨機變量的概率分布及其期望；2古典概型f（x）=sinx（ x0, 2 ）的圖象與y=1 .有交點,16（ 1）.=.6,.0 =5 3；（ 2）見解析故 sinx=1 .有解,故

15、f（ x）=sinx （x0,2 ）具有性質P；【解析】令 x+1 .=1 .,此方程無解,試題分析：（ 1）將點 0,3 2 代入,由已給條件可求得.= 6；由 cos .0 + 6 =3 2并結合圖象故 f（ x）=x+1 .,（ x（ 0, +）不具有性質P；可求得 .0 =5 3. 綜上所述,具有性質P 的函數(shù)有：,（ 2）由（ 1）可得到 .+ .+1 3 = 3cos .+ 3 ,由 .-1 2,1 3 ,得 - 6.+ 32 3,（2） f（x）=alnx 具有性質 P,明顯 a 0,方程xlnx=1 .有根,可得在 .+ 3= 0和.+ 3=2 3時,函數(shù) .分別取得最大值和最

16、小值；g（ x）=xlnx 的值域 -1 .,+）試題解析：（）圖象過點0,3 2 , cos.=3 2,1 .-1又 0 . 2, .= 6,.解之可得： a0 或 a-e考點：此題考查方程和函數(shù)的綜合 點評：解決此題的關鍵是審清題意,把方程的解轉化為兩個圖象有交點,此題考查的是方程的3 1由 cos .0 + 6 = 2,得 .0 = 2.或.0 = -3+ 2.,.,5又 .的周期為 2,結合圖象知 0 .0 2, .0 = 3根,新定義,函數(shù)的值域,是方程和函數(shù)的綜合應用,難度比較大（）由題意可得.+1 3 = cos .+1 3 + 6 = cos .+ 2 = -sin .,15（

17、 1）49 60；（ 2）詳見解析 .+ .+1 3 = cos .+ 6 - sin.= cos.cos 6- sin .sin 6-sin .【解析】=3 2 cos.-1 2 sin .- sin .=3 2 cos.-3 2 sin.好訓練云平臺名校精編卷答案第 5 頁（共 12 頁）好訓練云平臺名校精編卷答案第 6 頁（共 12 頁）= 3cos .+ 3 ,設 A（x1,y1）, B（x 2,y 2） .-1 2,1 3,當 k 0時,由= 32k2+160,得2k 2 22 - 6 .+ 32 3,2 2k0 或 0k2 2當 .+ 3= 0,即 .= -1 3時, .取得最大值

18、 3,.1 + .2 =4-4.2 .2 當 .+ 3=2 3,即 .=1 3時, .取得最小值 -3 2|FA|= .1 +.2= .1 + 1,|FB|=.2 +.2= .2 + 1,點睛 :三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看 ”原就就|FA|+|FB|= .1 + .2 + 2 =4-4.2+ 2 = -2 +4 .2,.2（ 1）一看 “角” ,這是最重要的一環(huán),通過看角之間的區(qū)分和聯(lián)系,把角進行合理的拆分,從 而正確使用公式；0.21 2,1 .2 2,就2+4 .26|FA|+|FB| 的取值范疇是（6, +）（ 2）而看 “函數(shù)名稱 ”看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用公式,常見的有“

19、切化弦 ”；（ 3）三看 “結構特點 ”,分析結構特點,可以幫忙我們找到變形的方向,如“遇到分式通分 ” 等. 17（ 1）y = 0 或 x2y + 2 = 0 （2）6, +【解析】【分析】（ 1）當直線 l 的斜率為 0 時,直線 l 的方程為 y=0 ；當直線 l 的斜率不為0 時,設直線方程為【點睛】此題考查拋物線的簡潔性質,考查直線與拋物線位置關系的應用,是中檔題y=k（x+2 ）,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,化為關于x 的一元二次方程,利用判別式為0 求得 k值,就直線方程可求. （ 2）聯(lián)立聯(lián)立 .= .+ 2 .2= 4.,得 k2x2+（4k2 4）x+4k2=0,利用判別式

20、大于0 求得 k 的范18（ 1）在 - , 1內是增函數(shù) , 在1, + 內是減函數(shù) .在.= 1處取得極大值 .1且.1=1 .圍,再由拋物線的焦半徑公式及根與系數(shù)的關系可得.1 + .2 =4-4.2（2）見解析 3見解析【解析】【分析】.2就 |FA|+|FB| 的取值范疇可求【詳解】（ 1）如圖,當直線l 的斜率為 0 時,直線 l 的方程為 y=0；（）直接利用函數(shù)的導數(shù),求出極值點,判定導函數(shù)的符號,即可求函數(shù)f （x）的單調區(qū)間當直線 l 的斜率不為0 時,設直線方程為y=k （x+2）,及極值；聯(lián)立 .= .+ 2 .2= 4.,得 k2x2+（4k2 4）x+4k2=0（）

21、令 g（x）=f（x）f（2 x）求出 g（x）=（x 1）（ e2x 2 1）e x,通過 x1,判定由 =（ 4k2 4）2 16k4= 32k2+16=0 ,解得 k=2 2g（x）在 1,+）上是增函數(shù),即可證明當x1 時, f（ x） f（2 x）；（）由于x 1,x 2 分別在（ 0,1）和（ 1, +）利用函數(shù)的關系式,證明x 1+x 22直線方程為y=2 2.+ 2 【詳解】綜上,如直線l 與拋物線 C 有且僅有一個公共點,解： . =（1 x）e x直線 l 的方程為： y=0 或 y=2 2.+ 2 ；令. = 0,就 x=1 （ 2）聯(lián)立聯(lián)立 .= .+ 2 .2= 4.

22、,得 k2x2+（4k2 4）x+4k2=0當 x 變化時, .,f（x）的變化情形如下表：好訓練云平臺名校精編卷答案第 7 頁（共 12 頁）好訓練云平臺名校精編卷答案第 8 頁（共 12 頁）x （ ,1）1 （ 1,+）（ 2）設出 . 0,.0,. 1,.0 ,分別代入橢圓方程和圓的方程得到兩個關系式,寫出直線AP. .+ 0 的方程,求出M 點坐標,同理寫出BP 方程,求出N 點坐標,再求得向量. . , . . ,并運算數(shù)量積. . . . ,結果為0,可得 . = 90 f（x）極大值試題解析：f（x）在（,1）上是增函數(shù),在（1,+）上是減函數(shù)1f（x）在 x=1 處取得極大值

23、 .；（）證明：令 g（x）=f（ x） f（2 x）2.= 4（ 1）依題意 .= .,得 .= 2,.= .= 2,.2= .2+ .2.2 .2圓方程 .2+ .2= 2,橢圓 .方程 4+ 2= 1就 g（x）=xe x （ 2 x）ex 2（ 2）設 . 0,.0,. 1, .0 ,.0 24+.0 2= 1,.1 2 2 + .0 2 = 2,.0 0,g（x） =（x 1）（ e2x 2 1）e x當 0 . 1時, 2.-2 0,從而 .2.-2- 1 0 . 方程 .=.0 .0+2.+ 2 ,令 .= 0時, .0,2.0 .0+2 ,所以 . 0,從而函數(shù) .在0,1 是

24、增函數(shù) . e x0, g（x） 0, g（ x）在 1,+）上是增函數(shù) 又 g（1）=00 x1 時,g（x）g（1）=0 .方程為 .=.0 .0 -2.- 2 ,令 .= 0得.0,-2. 0 .0-2 , . . = -. 1,2.0 .0 +2-.0 ,. . = -. 1,2.0 .0-2- .0 ,即當 0 x1 時, f（x）f（2 x） 證明 :0 .1 1 由得:. 1 .2-.1 1 = . 2 2 -.1（ 2）聯(lián)立直線與橢圓的方程組成方程組,消元得一元二次方程；（ 3）利用韋達定理得.1 + .2,.1.2,.1 + .2, .1.2,然后再求弦長以及面積,或求其他量

25、（如即.1 + .2 2【點睛】此題向量的數(shù)量積）此題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用,函數(shù)的單調性的判定極值的求法,考查分析問題解決問題的20（ 1）1（2）.= 2 ,.= .2 + 1,1 , .= - 2, .= .1 - 2, 1 3見解析 . 才能【解析】【分析】19（ 1）. 2 + .2 = 2；.2 4+.2 2= 1；（ 2）見解析（ 1）由新定義可得.12 + .22=1 4.1 2 + .22,利用 .1 2 + .22=1,可得 .12 + .2 21,從而可得結【解析】試題分析：論；（1）依據(jù)橢圓定義知2.= 4,又 .= .,因此易求得 .,.,得橢圓方程,從而也得到圓的方（ 2）由特點值的定義可得：.1 + .2 = .,由此可得.1 - .2 = .f 的特點值,及相應的.；程；（ 3）解方程組 .1 .1 + .2.2 = . .1.1 + .2.2 = .,可得 x1（a1 ,b1）+x 2（a2, b1 ）=0,從而可得好訓練云平臺名校精編卷答案第 9 頁（共 12 頁）a1,a2,b1,b2 應滿意的條件