數(shù)學(xué)高中人教A版選修2-1課后習(xí)題：2.2.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

1、2.2.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固L若橢圓捻+白1（心向的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,則它的焦距為（）A.4B.3C.2D.1解析橢圓% + 3=14）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,則%/=6,即“=3,由于則。2=2_/2=4,即c=2,則它的焦距為2c=4,故選A.答案A.已知橢圓的方程為 加+3），2=&0）,貝1橢圓的離心率為（）AB C D-入3322解析因?yàn)閆ryJ，”（心0）,所以+卷=1. T T所以所片一m=:故解得t 5 O55答案B.焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)、短半軸之和為10,焦距為4遍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）AX=1B.5+ &=1CT+T=,DT+T=1解析由題意得c=2而,a+=10,所以

2、 Z?2=（ 10-t/）2=rr-c2=tr-20t解得a2=36./=16,故橢圓方程為9+ 77=1- TOC o 1-5 h z 5010答案A.已知橢圓當(dāng)+/=131）的離心率或竺p為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若定點(diǎn)8（.i.o）,則ip的最大值為（） 35A 弓B.2弓 D.32解析由題意可得:/=警=（等），據(jù)此可得=5,橢圓方程為I+/=1,設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為尸(xo,yo),則* =5(1 -%), 0故 lPBl=Go + 1)2 + % = J(x0 + 1)2 + 5(1-4)=J-4 % + 240 + 6.當(dāng)時(shí)JP8lnm=|.答案C.已知橢圓 諄+，=l(b0)的右頂點(diǎn)、

3、上頂點(diǎn)分別為A、B,坐標(biāo)原點(diǎn)到直線A3的距離為殍.且 4=2尻，則橢圓C的方程為()B芯為4 + B 口。算解析橢圓右頂點(diǎn)坐標(biāo)為A3.0),上頂點(diǎn)坐標(biāo)為8(0,故直線A8的方程為尸*+4即6+qv“必=0,依題意原點(diǎn)到直線的距離為L(zhǎng)=苧.且a 、而2=2尻由此解得/=16萬(wàn)=8.故橢圓的方程為哈+笛=1 .故選D.答案D.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)將長(zhǎng)軸長(zhǎng)分成3 ；2兩部分，則這個(gè)橢圓的離心率為解析依題意有(a+c) ；3-c)=3 ；2,所以”=5c,故離心率為e=- = a b答案耳.以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為2,則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值 為.解析由題意知，當(dāng)橢圓上的點(diǎn)為短軸端點(diǎn)

4、時(shí),三角形面積有最大值,即bc=2.Aa2=b2+c22bc=4. ：“22,當(dāng)且僅當(dāng)=c=V5時(shí)等號(hào)成立.:為24,即橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為4.故答案為4.答案4.橢圓卷+，=13歷。)的四個(gè)頂點(diǎn)順次連接構(gòu)成一個(gè)菱形，該菱形的而積為2bd又橢圓的離心率 為咨.則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解析由題意，得 2t/?=2/10.?P ah=y/10 T).又/J =尊=If =粉2辰5從.解得“2=5,乒=2,所以所求橢圓方程為? +1.答案+ *=1.若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是10,離心率是2求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解設(shè)橢圓的方程為捻+ 臺(tái)130)或捺+ 臺(tái)130).r 4由已知得2ci=0,e=-=三,所以c=4. a

5、 b所以=屏七2=2516=9.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為|1十。1或X，.己知橢圓?+ *=1,在該橢圓上是否存在點(diǎn)M使得點(diǎn)M到橢圓的右焦點(diǎn)廠和到直線x=4的距離相等.若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解由已知得/=43=1,所以c=l,故F(L0).假設(shè)在橢圓上存在點(diǎn)M.使得點(diǎn)M到橢圓的右焦點(diǎn)尸和到直線x=4的距離相等，設(shè) M(x,y)(-2WxW2),則 J(x-l)2 + y2=lx-4l,兩邊平方得y2=-6.v+15.又由3 +卞=1，得爐=3(1-弓)代入)2=-6x+15,得爐&+16=0,解得 x=4.因?yàn)?;vW2,所以符合條件的點(diǎn)M不存在.能力提升1.若方程f+&產(chǎn)=

6、2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(OJ)B.(0,2)C.(0,+co)D.(l ,+oo)解析橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程哈+= 1,:焦點(diǎn)在y軸上,：，2,解得k0,：0k0)的兩個(gè)焦點(diǎn)d和B是以。為圓心，以IOBI為半徑的圓與該左 半橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，且FHB是等邊三角形，則橢圓的離心率為()A.yB|C.y D.x/3-1解析連接AR(圖略)，由圓的性質(zhì)知,NFAB=9(T .因?yàn)樵翧B是等邊三角形，所以NAF2F=30 .故 AF =cAF2=f3c,因此 e= = = 2. = 73-1. a 2a c+v3c答案D.若橢圓兩焦點(diǎn)分別為F(4,0),B(4,0),點(diǎn)尸在橢圓

7、上，且NFE的最大而積是12,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 是()A總+親1B.寡+91C各1D殺門(mén)解析由題意得c=4因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，且的最大面積為12,所以gx2cxb=12,即兒=12,于是=3必=5,故橢圓方程為媒+ $ L答案C.某宇宙飛船的運(yùn)行軌道是以地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓,近地點(diǎn)A距地面m km,遠(yuǎn)地點(diǎn)8距離地面 km,地球半徑為k km.則飛船運(yùn)行軌道的短軸長(zhǎng)為()A.2y/(m + /c)(n + k)B J(m + k)(n + k)C.mnD.2？解析由題意可得a-c=m+k,a+c=n+k,it(a-c)(a+c)=(m+k)(n+k)9a2-C2=b2=(ni+k)(n+k)9

8、所以 h=yj(m + k)(n + k).所以橢圓的短軸長(zhǎng)為2j（m + k）（n + k）.答案A5.己知點(diǎn)P（2,l）在橢圓3+，=13歷0）上,點(diǎn)用（）為平面上一點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn),則當(dāng)10必取最小值時(shí)，橢圓的離心率為（）AB-C D TOC o 1-5 h z 入 3222 解析點(diǎn)P（2,l）在橢圓-1 + 2=1（”歷。）上，可得1+2=1（。力）為平面上一點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn),則 IOM= J（N + 泊）+ 小=，+繆+h3 + 241當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立,此時(shí)由滔十二 解得/=6力2=3.a2 = 2b2,所以e=J=:故選C.N a2 722答案c.已知橢圓的短半軸長(zhǎng)為1,離心率

9、0 ,即屏y .又a2-l 0,所以a2 1,故 1“W2,長(zhǎng)軸長(zhǎng) 20）,半焦距為G則 =里所以按=2七2=36-27=9,故橢圓G的方程為成+胃=1.O O 答案扣算.已知a(-c,0),F2(c,0)為橢圓 +，=130)的兩個(gè)焦點(diǎn).P為橢圓上一點(diǎn)，且無(wú)萬(wàn)君=”,求橢圓離心率的取值范圍.解設(shè) P(x。jo),則PF】 =(-c-xo,yo)中尸2 =(。-*),-川)， 所以Pg PF2 =(-c-xo)(c-xo)+(-yo)2=%o-c2+yo - 因?yàn)镻(xojo)在橢圓上，所以g+軍1.。 b所以M42(1-孫所以兩 PF =4-/+/-蹙）=c2解得北=在學(xué)”因?yàn)?a歷0)的左

10、、右焦點(diǎn)分別為QA,焦距為2,過(guò)點(diǎn)(1.0)作直線與橢圓相交于A.B兩點(diǎn)，連接AQJ?,且A3B的周長(zhǎng)為4夜.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；若IABI=4IFMI,求直線A3的方程.解(1) 丁焦距為2,aABFi的周長(zhǎng)為4匹Z c= 1 Aa=4y/29a2=b2+c2.解得c= 1 =b,a=圾.:橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為W+vL2(2)設(shè)直線A8的方程為x=l.v+1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,yi),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(xi.yi).聯(lián)立2 +彳：二 2 得。2+2)+力、-1=62m1戶+只=-滔調(diào)加工=一中.:TWI =41尸川,：山F2l=3IH, :以=-3），1.2m%+為=-中聯(lián)立%2 =.水森， yz = -3%.解得加=土L:直線A8的方程為x-y-l=O或x+y-1 =0.10.(選做題)已知橢圓 諄+，=1(0)的離心率為Q 是。上一點(diǎn)，見(jiàn)B是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，且IPFil+IPB4.(1)求橢圓。的方程；(2)設(shè)直線y=VIr+交橢圓C于A.B兩點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求QA8面積的最大值.解(1)：|PF】I+IP3I=4,:=4,即。=2.Zc=V2, ：。2=2-/=2,即橢圓方程為t +勺=1.(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x】,yi),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(X2,):2),將代入橢圓C的方程，整理得5x2+4V2/?a+2zi2-4=0, =32