最新2022年大題考前練第一部分：立體幾何部分解答題(解析版)

1、of accountability, redress of orders and prohibitions. Strengthening the honesty and self-discipline of leading cadres honesty in politics and education work, enhance leaders ability to resistof accountability, redress of orders and prohibitions. Strengthening the honesty and self-discipline of lead

2、ing cadres honesty in politics and education work, enhance leaders ability to resistof accountability, redress of orders and prohibitions. Strengthening the honesty and self-discipline of leading cadres honesty in politics and education work, enhance leaders ability to resist 第一部分：立體幾何解答題一、平行問題1.(20

3、15北京，18)如圖，在三棱錐VABC中，平面VAB平面ABC，VAB為等邊三角形，ACBC，且ACBCeq r(2)，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn).(1)求證：VB平面MOC；(2)求證：平面MOC平面VAB；(3)求三棱錐VABC的體積.解(1)因?yàn)镺，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，所以O(shè)MVB，又因?yàn)閂B平面MOC，所以VB平面MOC.(2)因?yàn)锳CBC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)CAB.又因?yàn)槠矫鎂AB平面ABC，且OC平面ABC，所以O(shè)C平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBCeq r(2)，所以AB2，OC1，所以等邊三角形VAB的面積SVABeq r

4、(3).又因?yàn)镺C平面VAB.所以三棱錐CVAB的體積等于eq f(1,3)OCSVABeq f(r(3),3)，又因?yàn)槿忮FVABC的體積與三棱錐CVAB的體積相等，所以三棱錐VABC的體積為eq f(r(3),3).2.(2015廣東，18)如圖，三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.(1)證明：BC平面PDA；(2)證明：BCPD；(3)求點(diǎn)C到平面PDA的距離.解(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長(zhǎng)方形，所以BCAD，因?yàn)锽C平面PDA，AD平面PDA，所以BC平面PDA.(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長(zhǎng)方形，所以BCCD，因?yàn)槠矫鍼DC平面ABCD，平

5、面PDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面PDC，因?yàn)镻D平面PDC，所以BCPD.(3)取CD的中點(diǎn)E，連接AE和PE.因?yàn)镻DPC，所以PECD，在RtPED中，PEeq r(PD2DE2)eq r(4232)eq r(7).因?yàn)槠矫鍼DC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，PE平面PDC，所以PE平面ABCD，由(2)知：BC平面PDC，由(1)知：BCAD，所以AD平面PDC，因?yàn)镻D平面PDC，所以ADPD.設(shè)點(diǎn)C到平面PDA的距離為h，因?yàn)閂三棱錐CPDAV三棱錐PACD，所以eq f(1,3)SPDAheq f(1,3)SACDPE，即heq f(SACDPE

6、,SPDA)eq f(f(1,2)36r(7),f(1,2)34)eq f(3r(7),2)，所以點(diǎn)C到平面PDA的距離是eq f(3r(7),2).3.(2015江蘇，16)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1CBC1E.求證：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.證明(1)由題意知，E為B1C的中點(diǎn)，又D為AB1的中點(diǎn)，因此DEAC.又因?yàn)镈E平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因?yàn)槔庵鵄BCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因?yàn)锳C平面ABC，所以ACCC1.又因?yàn)锳CBC，CC

7、1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因?yàn)锽C1平面BCC1B1，所以BC1AC.因?yàn)锽CCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因?yàn)锳C，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因?yàn)锳B1平面B1AC，所以BC1AB1.4.(2014安徽，19)如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2eq r(17).點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)證明：GHEF；(2)若EB2，求四邊形GEFH的面積.(1)證明因?yàn)锽C平面

8、GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可證EFBC，因此GHEF.(2)解連接AC，BD交于點(diǎn)O，BD交EF于點(diǎn)K，連接OP，GK.因?yàn)镻APC，O是AC的中點(diǎn)，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面內(nèi)，所以PO底面ABCD.又因?yàn)槠矫鍳EFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因?yàn)槠矫鍼BD平面GEFHGK，所以POGK，且GK底面ABCD，從而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB8，EB2得EBABKBDB14，從而KBeq f(1,4)DBeq f(1,2)OB，即K為OB的中點(diǎn).再由POGK得G

9、Keq f(1,2)PO，即G是PB的中點(diǎn)，且GHeq f(1,2)BC4.由已知可得OB4eq r(2)，POeq r(PB2OB2)eq r(6832)6，所以GK3.故四邊形GEFH的面積Seq f(GHEF,2)GKeq f(48,2)318.5.(2013新課標(biāo)全國(guó)，18)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn).(1)證明：BC1平面A1CD；(2)設(shè)AA1ACCB2，AB2eq r(2)，求三棱錐CA1DE的體積.(1)證明連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn).又D是AB中點(diǎn)，連接DF，則BC1DF.因?yàn)镈F平面A1CD，BC1平面A1CD，所以B

10、C1平面A1CD.(2)解因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知ACCB，D為AB的中點(diǎn)，所以CDAB.又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，AB2eq r(2)得ACB90，CDeq r(2)，A1Deq r(6)，DEeq r(3)，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以VCA1DEeq f(1,3)eq f(1,2)eq r(6)eq r(3)eq r(2)1.二、垂直部分5.(2015新課標(biāo)全國(guó)，18)如圖，四邊形ABCD為菱形，G是AC與BD的交點(diǎn)，BE平面ABCD.(1)證明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AE

11、EC，三棱錐EACD的體積為eq f(r(6),3)，求該三棱錐的側(cè)面積.解(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以ACBD.因?yàn)锽E平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)設(shè)ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCeq f(r(3),2)x，GBGDeq f(x,2).因?yàn)锳EEC，所以在Rt AEC中，可得EGeq f(r(3),2)x.由BE平面ABCD，知EBG為直角三角形，可得BEeq f(r(2),2)x.由已知得，三棱錐EACD的體積VEACDeq f(1,3)eq f(1,2)ACGDBEeq f(r(6),24

12、)x3eq f(r(6),3).故x2.從而可得AEECEDeq r(6).所以EAC的面積為3，EAD的面積與ECD的面積均為eq r(5).故三棱錐EACD的側(cè)面積為32eq r(5).6.(2015安徽，19)如圖，三棱錐PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱錐PABC的體積；(2)證明：在線段PC上存在點(diǎn)M，使得ACBM，并求eq f(PM,MC)的值.(1)解由題設(shè)AB1，AC2，BAC60，可得SABCeq f(1,2)ABACsin 60eq f(r(3),2).由PA平面ABC，可知PA是三棱錐PABC的高，又PA1.所以三棱錐PABC的體

13、積Veq f(1,3)SABCPAeq f(r(3),6).(2)證明在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)B作BNAC，垂足為N，在平面PAC內(nèi)，過點(diǎn)N作MNPA交PC于點(diǎn)M，連接BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面MBN，又BM平面MBN，所以ACBM.在RtBAN中，ANABcosBACeq f(1,2)，從而NCACANeq f(3,2)，由MNPA，得eq f(PM,MC)eq f(AN,NC)eq f(1,3).7.(2014新課標(biāo)全國(guó)，19)如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點(diǎn)為O，且AO平面BB1C1C.(1)證明：B1CA

14、B；(2)若ACAB1，CBB160，BC1，求三棱柱ABCA1B1C1的高.(1)證明連接BC1，則O為B1C與BC1的交點(diǎn).因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為菱形，所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C，所以B1CAO，又因?yàn)锽C1AOO，所以B1C平面ABO.由于AB平面ABO，故B1CAB.(2)解作ODBC，垂足為D，連接AD.作OHAD，垂足為H.由于BCAO，BCOD，AOODO，故BC平面AOD，所以O(shè)HBC.又OHAD，所以O(shè)H平面ABC.因?yàn)镃BB160，所以CBB1為等邊三角形，又BC1，可得ODeq f(r(3),4).由于ACAB1，所以O(shè)Aeq f(1,2)B1Ceq f(1

15、,2).由OHADODOA，且ADeq r(OD2OA2)eq f(r(7),4)，得OHeq f(r(21),14).又O為B1C的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B1到平面ABC的距離為eq f(r(21),7).故三棱柱ABCA1B1C1的高為eq f(r(21),7).8.(2013北京，17)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD平面ABCD，PAAD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn).求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.證明(1)因?yàn)槠矫鍼AD底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA底面ABCD.(2)因?yàn)锳BCD

16、，CD2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以ABDE，且ABDE.所以ABED為平行四邊形，所以BEAD.又因?yàn)锽E平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因?yàn)锳BAD，而且ABED為平行四邊形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.且PAADA，所以CD平面PAD.所以CDPD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PDEF.所以CDEF.又CDBE，EFBEE，所以CD平面BEF.且CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.9.(2015四川，18)一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(1)請(qǐng)將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不

17、需說明理由)；(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系.并證明你的結(jié)論.(3)證明：直線DF平面BEG.(1)解點(diǎn)F，G，H的位置如圖所示.(2)證明平面BEG平面ACH，證明如下：因?yàn)锳BCDEFGH為正方體，所以BCFG，BCFG，又FGEH，F(xiàn)GEH，所以BCEH，BCEH，于是BCHE為平行四邊形，所以BECH，又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH，同理BG平面ACH，又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.(3)證明連接FH，因?yàn)锳BCDEFGH為正方體，所以DH平面EFGH，因?yàn)镋G平面EFGH，所以DHEG，又EGFH，EGFHO，所以EG平面BFHD，又DF平

18、面BFHD，所以DFEG，同理DFBG，又EGBGG，所以DF平面BEG.10. (2012天津，17)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC1，PC2eq r(3)，PDCD2.(1)求異面直線PA與BC所成角的正切值；(2)證明平面PDC平面ABCD；(3)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.(1)解如圖，在四棱錐PABCD中，因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以ADBC且ADBC.又因?yàn)锳DPD，故PAD為異面直線PA與BC所成的角.又因?yàn)锳DPD，在RtPDA中，tanPADeq f(PD,AD)2.所以，異面直線PA與BC所成角的正切值為2.(2)證明由于底面ABCD是矩形，故ADCD，又由于ADPD，CDPDD，因此AD平面PDC，而AD平面ABCD，所以平面PDC平面ABCD.(3)解在平面PDC內(nèi)