2014年一階課程數(shù)學(xué)概率概率論基礎(chǔ)預(yù)科講義

1、數(shù)學(xué)-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)講主講：李 良?xì)g數(shù)學(xué)-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)講主講：李 良?xì)g迎使目錄量及其分量及其分量的數(shù)字特第一機(jī)事件和概一、預(yù)備知1、兩個(gè)基本原（1）加法原理：kn1n2nk 第一機(jī)事件和概一、預(yù)備知1、兩個(gè)基本原（1）加法原理：kn1n2nk （2）乘法原理：kn1n2nk 2、（1）定義：從nr個(gè)（0rnrPr選排列（0r n n(n1)(nr n全排列 （r n n Un3、（1）定義：從nr個(gè)（0rnnr個(gè)元素的組合，記為CrnCrn(n r)!rCr CnrCr Cr1 Cr（3）【例1.1】2035二、隨機(jī)事1、隨機(jī)試11.2E2 ：一批產(chǎn)品中任取一件，觀察是正品還是次 E4

2、：射擊一個(gè)目標(biāo)為止射擊次E5 ：從一批燈泡中任1.2E2 ：一批產(chǎn)品中任取一件，觀察是正品還是次 E4 ：射擊一個(gè)目標(biāo)為止射擊次E5 ：從一批燈泡中任取一只，測(cè)E6 2樣本空間：隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果組成的集合稱為樣本空間。 定義：樣本空間ABC【例1.3】在投擲一枚分別記“點(diǎn)數(shù)為6， “點(diǎn)數(shù)小于5 “點(diǎn)數(shù)小于5的偶數(shù)”必然事件：樣本空間 包含所有樣本點(diǎn)，它是 自身的子集，在每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生的，稱為必然事件。記為。不可能事件：空集 不包含任何樣本點(diǎn)，它也作為樣本空間的子集，在每次試驗(yàn)中不發(fā)生，稱為不可能事件。記為 4A B ABA BB AA AB n類似地，稱Ak nA1A2Ank2（4

3、）A和B的積事件：記為AB或ABA，B同時(shí)發(fā)件AB 發(fā)n類似地，稱Ak nA1A2Ank（5）A和B的差事件事件ABA（4）A和B的積事件：記為AB或ABA，B同時(shí)發(fā)件AB 發(fā)n類似地，稱Ak nA1A2Ank（5）A和B的差事件事件ABABAB（6）互斥（互不相容）事件：AB A，B不能同時(shí)發(fā)生（7）對(duì)立（互逆）AB AB ABAA 1,（1）AB B AAB B （2）ABC) ABCABC) AB（3）ABC) ABACABC) ABAC)（4）律（對(duì)偶律：AB AB,AB A【例1.4】設(shè)A,B為任意兩個(gè)事件，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的（A）AB，則A,B可能不相（B）AB，則A，B也可能相（C

4、）AB，則A，B也可能相（D）AB，則A，B一定不相1.5ABC ABC 1）A2）AB都發(fā)生，而C3）ABC 4）ABC 5）ABC 6）ABC 7）ABC 三、古典概率和幾何概13（1）e1,e2 等可能Pe1Pe2（2）P(A)（1）e1,e2 等可能Pe1Pe2（2）P(A)aAb個(gè)B球形狀完全相同，A從袋中任取c A d B 球的概率（c ak+1（k1ab）個(gè)球，如果每球被取出后不放回，試求最后取出A 球的概率（c ad 1.6】10060件正品，403件，按照PA), P(BA 3 件均為次品B 兩正品一次品【例1.7】一組中有ab名男生隨機(jī)地站成一列求從前面數(shù)第k（1k abb

5、b是2）例如 將n N（n N ）A=n1B=“恰有n1恰有m（m n）人 4SARS生日在各月份的概率都相同A=“4B=“42C=“4D=“4人生日不都在同一月份” 0，1，2，9 10 A=1B=02（1）E 是從某一線段（或平面、空間中有界區(qū)域）4點(diǎn)位于中任意兩個(gè)長(zhǎng)度（或平面、體積）相等的子區(qū)間（或子區(qū)域）內(nèi)的可能性相同，則所取得點(diǎn)位于 中任意子區(qū)間（或子區(qū)域）A 內(nèi)這一事件（A ）的概率為P(A)【例 1.11午10min 1.12（會(huì)面問(wèn)題11.13】071 在區(qū)間(0,1點(diǎn)位于中任意兩個(gè)長(zhǎng)度（或平面、體積）相等的子區(qū)間（或子區(qū)域）內(nèi)的可能性相同，則所取得點(diǎn)位于 中任意子區(qū)間（或子區(qū)

6、域）A 內(nèi)這一事件（A ）的概率為P(A)【例 1.11午10min 1.12（會(huì)面問(wèn)題11.13】071 在區(qū)間(0,1中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù),則這兩數(shù)之差的絕對(duì)值小于 的概率為2四、隨機(jī)事件的概1（1） AP(iAPA0 規(guī)范性：對(duì)于必然事件P() 可列可加性A1A2,是兩兩互不相容的事件，即對(duì)于i jAi Aj i, j 1 （2）A0 PA規(guī)范性： P(0P() A1A2An 逆事件的概率 APA) 1P減法公式 P(B A) P(B PABA B，則有 PA) P(BP(B A) P(B) P(5ABPAB) PA P(B P注：3P(A BC) P(A) P(B)ABPAB) PA P(

7、B P注：3P(A BC) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(【例1.14】PA0.5，PAB0.2，P(B0.4PAB，PAB，PA+BP(【例1.15】 ABPA) 0.5PAB) 0.8,ABP(B) 【例1.16】已知P(A) 0.8，P(AB) 0.1，則P(AB) 【例1.17】已知A,B兩個(gè)隨機(jī)事件滿足P(AB) P(AB)，且P(A) p，則P(B) 【例1.18】設(shè)隨機(jī)事件A,B CPA PB PC 1 4PAB PBC 0,PAC 1 ,A, B C 三個(gè)事件中至少出現(xiàn)一個(gè)的概率8【例1.19】若AB，AC，且P(A)0.9，P(BC)0

8、.8，求P(ABC)1【例1.20】隨機(jī)事件A,B，滿足P(A) P(B) 和P(AB) 1則2(B) AB AB (C) P(AB)(D) P(A B) 五、條件概1、定P(A)AP(B【例1.21】 在1,9A3 的倍數(shù)B1=偶數(shù)B2 62（1）0 P(B| A) （2）P(| A)1，P(| A)（3）P(A| B) 1 P(A| 2（1）0 P(B| A) （2）P(| A)1，P(| A)（3）P(A| B) 1 P(A| （4）P(A1A2)|B P(A1|B)P(A2 |B)P(A1A2 |3、乘法公式 PA0PAB A)PAP(B)0,P(AB) P(A ABC PAB) 0P

9、(ABC) A)P(1.231.25ABA1（B）A （D）P(AB) （A）A（C）A 4（1）公式（逆概公式A1A2An 是完全事件組，且PAi0i1,則nP(B) P(Ai 公式（逆概公式P(AiB) i1,P(inP(Ai 7 , m-11六、事件的獨(dú)立1AB是兩個(gè)事件，如果滿足等式 PAB) , m-11六、事件的獨(dú)立1AB是兩個(gè)事件，如果滿足等式 PAB) PA)P(BABAB23若0 PA1AB獨(dú)立P(B) P(B | A) P(AB) P(A)P(B) P(B) P(B| A) P(B| A) P(B| 4ABC P(AB) P(P(AC) P(P(BC) ABC P(ABC)

10、 P(【例 1.291.30ABC 是三個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件，且0 P(C1（）A) AB 與(B) AC與(C) AB與(D) AB 與81.31ABC 3（）A) AB B(B) AB AB(C) AC(D) ABC ABAB1.32A1.31ABC 3（）A) AB B(B) AB AB(C) AC(D) ABC ABAB1.32AB互不相容，則）AP(AB)C P(A) 1 B P(AB) P(D P(AB) 1.33ABC ABC （B）AB AC（D）AB AC（A）ABC（C）AB AC【例 1.34】將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次，引進(jìn)事件： A1 =擲第一次出現(xiàn)正面， A2 =擲次出

11、現(xiàn)正面A3 =正各出現(xiàn)一次， A4 =正面出現(xiàn)兩次，則事件）（A）A1, A2A3相互獨(dú)立（B）A2A3 A4相互獨(dú)立（C）A1, A2A3兩兩獨(dú)立（D）A2A3A4兩兩獨(dú)立5、n試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n（2）APA) p(0 p 1A1，Akk pk(1 p)nk(k 0,1,nBn10101039一、量的概請(qǐng)適當(dāng)定義一變量（函數(shù)）使之與下列各隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果e 對(duì)應(yīng)起來(lái)，即每一樣本點(diǎn)e對(duì)應(yīng)一數(shù)值X(e)，從而建立一個(gè)樣本空間到實(shí)數(shù)一、量的概請(qǐng)適當(dāng)定義一變量（函數(shù)）使之與下列各隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果e 對(duì)應(yīng)起來(lái)，即每一樣本點(diǎn)e對(duì)應(yīng)一數(shù)值X(e)，從而建立一個(gè)樣本空間到實(shí)數(shù)（1）為止射擊次2定義在樣本空間

12、e 上的實(shí)值函數(shù) X(e) e X(e) 量常用大寫(xiě)字母X,Y,Z 等表示，即e X X(e)，其取值用小寫(xiě)字x, yz二、量的分布函xF(x) PX 1X F(xX 2X F(x（1）PX a F（2）PX a1PX a1F（3）PXaF(a0) lim F（4）PX a1PX a1 F(a（5）PX a PX aPX a F(a)F(a（6）Pa X b PX bPX a F(b)F（7）Pa X b PX bPX a F(b0)F（8）Pa X b PX bPX a F(b)F(a（9）Pa X b PX bPX a F(b0)F(a（8）Pa X b PX bPX a F(b)F(a（

13、9）Pa X b PX bPX a F(b0)F(a3 F(x) （2）F() lim F(x) 0，F(xiàn)() lim F(x) （3）x1 x2F(x1F(x2F(x F(x （4）2.1x0 xx 202F(x) Asin AX61ab(1xxF(x) abc2.22.3量分布函數(shù)的是131（A）F(x) （B）F(x) 1 x02（D）F(x) arctan（C）x0 x1PX 1F(x ） （B）2量的概率分（C）12（D）1（A）三、離散型1量稱為離散型2.5】1023XX的所有可2X 為離散型隨k,X 取各個(gè)xk 的概率為量，其可能取值為 2,)（2）pk （1）pk 0,(k 2,

14、)k2X 為離散型隨k,X 取各個(gè)xk 的概率為量，其可能取值為 2,)（2）pk （1）pk 0,(k 2,)k ,)X 3F(x PX x PX xi xxkpk(k1,X xn x 0px12F(x)p1 3x F(xF(x2.62.5PX 1.5,P0 X 2,P0 X x 1 x1x3 3 x的分布函數(shù)為F x 【例2.7】 設(shè)量，則X 的分布律 中的最大號(hào)碼，寫(xiě)出量X的分布4量（1）二項(xiàng)分布 B(n, Ap（0 p 1）nAX 所有可能的取值為0,2,nXpPX k Ckpk(1 Ck pk(q1p)，k ,nn服從于參數(shù)為2, p的二項(xiàng)分布量Y 服從于參數(shù)為3量的二項(xiàng)PX k C

15、kpk(1 Ck pk(q1p)，k ,nn服從于參數(shù)為2, p的二項(xiàng)分布量Y 服從于參數(shù)為3量的二項(xiàng)分布，若PX 1 5，則PY 192.10X X 31 （2）01分布 （二項(xiàng)分布的特例若量X 只有兩個(gè)可能的取值0和1，其概率分布PX k p(1 k 0,1(0 p1) X 服從01（3）泊松分布 （二項(xiàng)分布的極限分布k PX k ( 0 ,01 設(shè)量), kX 服從參數(shù)為X 【例 2.111為 ，則這段時(shí)間內(nèi)至少有兩輛車通過(guò)的概率e（4）PX k1 p)k1p,(0 p1k 1,（5）設(shè)量X 的概率分布為MNnnM N NMN和n5設(shè)量序列Xn 服從二項(xiàng)分布B(n, pn) （這里概率p

16、n 與 n 有關(guān)，若pn 滿 0（為常數(shù)則有：lim PX k lim Cn p (1 k lim n ekk0 1,2,Xp1 XP（設(shè)短時(shí)間內(nèi)最多只發(fā)生一次斷頭2四、連續(xù)型1量的概率分如果對(duì)于量X 的分布函數(shù)F(x)，存在非負(fù)可積函xF(x) pX xf( x x則稱X 為連續(xù)型量，函數(shù)（設(shè)短時(shí)間內(nèi)最多只發(fā)生一次斷頭2四、連續(xù)型1量的概率分如果對(duì)于量X 的分布函數(shù)F(x)，存在非負(fù)可積函xF(x) pX xf( x x則稱X 為連續(xù)型量，函數(shù)f (x)稱為X 的概率密度函數(shù)（簡(jiǎn)稱密度函數(shù)2（1）非負(fù)性： ( ) 0（ x（2） f （3）a和b(abbPa X b F(b)F(a)f (x

17、)dx aF(xPX x0，對(duì)xR成量（6）f (xF(x f 【例2.13】已知連續(xù)型量X 的密度函數(shù)xx1aaF(xfP 1 2 ,P 2 ,PX 222.14X 數(shù)xxx0 xx0（1）（2） 112.15f (xf (x f1(xf1（）(A) f1(x)dx1, f1(x)(C) f1(x)dx0, f1(x)(B) f1(x)dx1, f1(x)f(D) f1(x)dx 0, f1(x)f 【例 2.16X1X2 量，它們的分布函數(shù)分別為F1 (x)和F2 (x) f1(x)和f2 (x（ （A）F1(x F2x) 必為某（B）F【例 2.16X1X2 量，它們的分布函數(shù)分別為F1

18、 (x)和F2 (x) f1(x)和f2 (x（ （A）F1(x F2x) 必為某（B）F1(x) F2x必為某（C） f1(x) f2x) 必為某12（D） f (xf (x3 3 3（1）均勻分布 X U(a 1 xX f (x) ， 其X 服從a, bX U(a，babx a a xxxX 的分布函數(shù)為： F(xbaK在05上服從于均勻分布，則方程4x2 4KxK 20【例 2.17的概率為?！纠?.18】設(shè)隨量X 在2,5上服從均勻分布,現(xiàn)在對(duì)X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè),試求至少有兩次觀測(cè)值大于3 的概率.（2）指數(shù)分X E(ex，x f (x) 如果量X ，其密度函數(shù)為，x 其中 0X 服

19、從參數(shù)為X E(1xxF(x) 【例 2.19】 假設(shè)量X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布，且X 落入?yún)^(qū)間(1,2)內(nèi)的概率到最大，則（3）正態(tài)分布 X N(,21D 一般正態(tài)分(xu1續(xù)型量，如果其密度函數(shù)為f (x) e( x2,為常數(shù)， （3）正態(tài)分布 X N(,21D 一般正態(tài)分(xu1續(xù)型量，如果其密度函數(shù)為f (x) e( x2,為常數(shù)， , 0X 服從參數(shù)為 和2 記作X N(,22D 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分 (01) 1用(x) 表示，分布函數(shù)用(x) 表示。其中(x) e 2 ( x)2）(x) (x) y (x) 112(0) P a 2(a)3）上 (01) PX u ，則稱u 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

20、的 分位點(diǎn)。由(u 1 ，因此可以利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查出u 3D 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與一般正態(tài)分布的關(guān)系（標(biāo)準(zhǔn)化X X N(u, Z 2N(0,12.20】X N(,2，且(30.9987PX N(2,2)，且P2 X 40.3，則PX 0量【例2.22】設(shè)量X 服從正態(tài)分布N( , )，Y 服從正態(tài)分布N( , )，22 ）（A）1 （C）1 （B）1 （D）1 ）（A）1 （C）1 （B）1 （D）1X N(0,1，對(duì)給定的(0 1，數(shù)u 滿2.23PX uP（A）2 x x（B）2（D）2五、1量函數(shù)的分PXxk pkk 1,X X gXg(xkPY g(xk) pkk 1g(xk 數(shù)量Y g

21、X該值的概率，就可以得到Y(jié) gX【例2.24】量X 的分布律X則Y X2的分布律為2X fX (x),Y gXfY g(x)先求F y P(Y y P(gX yf y) Ff YXYY（1）g(x) （2）g(x) 【例2.25設(shè)量X在區(qū)（1,2上服從均勻分布試求Y e2X 的概率密度函數(shù)f (Y【例2.26】設(shè)量X 的密度函數(shù)為-1,1 x1,1 xf (x) 0 xY X2，求Y f XY一、二維量及其分布函1量 Y() 是定義在樣本空間上的兩個(gè)X X量X,Y量（或隨機(jī)向量2設(shè)， F(x，y) PX x一、二維量及其分布函1量 Y() 是定義在樣本空間上的兩個(gè)X X量X,Y量（或隨機(jī)向量2

22、設(shè)， F(x，y) PX x，Y , x , y 的分布函數(shù)或量X 與Y 的聯(lián)合分布函數(shù)，它表示隨機(jī)事量 ， 3（1）x, yR 0 F(x, y) 1（2）F(, y) F(x,y)0；F(x,) lim F(x,y)F(,) lim F(x,y) 0,F(,) lim F(x, y) F(x, yxy F(x, yxy F(x, y) F(x0, y),F(x, y) F(x, y0) x, y4、二維量的邊緣分布函設(shè)二維量(X，Y)的分布函數(shù)為F(x, y)，分別pX xpX x,Y F(x，)FX (x)lim F(x,FY (y) F(,y) lim F(x,為X,YX 和關(guān)于Y 【

23、例3.1】設(shè)二維量(X,Y)的分布函數(shù)為xyF(x,y) A(B)(C23【例3.2】設(shè)二維量(X,Y)的分布函數(shù)為(1e2x)(1eyx0,yF(x, y) FX (xFY 5設(shè)二維(1e2x)(1eyx0,yF(x, y) FX (xFY 5設(shè)二維量(X,Y) 的分布函數(shù)為F(x, y) ，關(guān)于X 和關(guān)于Y 的分布函數(shù)分別FX (xFY yxy F(xy FX (x)FY y和Y 二、二維離散型1、二維離散型量定量如果二維量(X,Y)可能取的值為有限對(duì)或無(wú)限可列多對(duì)實(shí)數(shù)，則稱(X,Y)為量(X,Y)所有可能的取值為(xi,yj )(i, j )，且對(duì)應(yīng)的概率為PXxi,Yyjpij,(i,

24、j2,) 0，ij1,量X,Yi1 j概率分布或量X 和Y 的聯(lián)合概率分布3定義：對(duì)于二維離散型量(X,Y)，設(shè)其概率分布PX xi,Y yj pij，i,jX PXxiPXxi,Y jxi,Y yjpij pi(ijY PYyiPX ,Y yixi,Y yjpij pj(ji4量，PX xi,Y yj pij，i，j（1）jPY yj0j 1,)PX xi,Y yjPY yjPX Yyji1,Yyj 條件下隨量pX （2）對(duì)于給定的iPXxi0(PX xi,Y yjPY yjPX Yyji1,Yyj 條件下隨量pX （2）對(duì)于給定的iPXxi0(i1,)PX xi,Y yjpPY X x i

25、j ,i1,為在X x 條件下量Y PX xjiipii5、離散型量X 與Y 的獨(dú)立如果X,YX 和Y PX xi,YyjPX xiPYyj，i，jpii pii，j 3.33X,Y 1,2 X和Y 3.4】 10Y X， 的聯(lián)合分布律，邊緣分布律，并問(wèn) X 與Y 量（）3.51個(gè)紅色球，2 3 X,YZ （）PX 1Z 量X,Y概率分布（） ，i123X1X2 i【例3.7】設(shè)二維量(X,Y)的分布律YX010ab1c11已知PY 1 X 0，PX 1Y 0，求a,b,2三、二維連續(xù)型3量、定義：設(shè)二維量(X,11已知PY 1 X 0，PX 1Y 0，求a,b,2三、二維連續(xù)型3量、定義：設(shè)

26、二維量(X,Y) 的分布函數(shù)為F(x, y) ，如果存在非負(fù)可積的二元函 f (x, yx、yF(x, y) f (uv)dudv ，則稱X,Y f (x, y量X,YX 和的聯(lián)合密度函數(shù)（1）f (x, y) 0 （2） f (x,y)dxdy （3）Dxoy 平面上任一區(qū)域，則點(diǎn)(x, yDP(X,Y)D f (x,D2F(x, 在點(diǎn)(x y f(xy（4）f.f(x,y) kx,0 x y 【例3.8】設(shè)二維量(X,Y)的概率密度（）（）PX Y 【例3.9】已知量X與Y 的聯(lián)合概率密度0 x1,0 yf (x,y) （2）PX Y（3）PX Y（1）常數(shù)（4）F(x, 3定義：設(shè)(X,

27、Y)為連續(xù)型量，它的概率密度函數(shù)為f (x, y)，X fX (x f (xY fY y f(x通常分別稱fX (x) 和fY (y) 為二維量(X，Y)關(guān)于X 和Y 的邊緣密度函數(shù)量X,Yf (x, f (xY fY y f(x通常分別稱fX (x) 和fY (y) 為二維量(X，Y)關(guān)于X 和Y 的邊緣密度函數(shù)量X,Yf (x, f (x, （）y fY y) 0fX Y y) f (YY yf (x, （）x，邊緣概率密度 f (x) 0 x)f(XY f XX x下Y 量(X,Y)的聯(lián)合密度為f (x, y)，邊緣概率密度分別為fX (x) fY (y) ，則量X 和Y 相互獨(dú)立的充要

28、條件是，對(duì)一切x,y均f (x,y) fX (x) fY (0 x yx量(X,Y)的概率密度為f(x,y) ey0 x 【例3.11（92，3） 設(shè)二維量(X,Y)的概率密度為f x,y （1）X fX （2）PX Y 13.12X 和Y 在(0,1區(qū)間上服從均勻分布，Y 2 y fY y ，（1）（2）aa2 2XaY 0a量X,Y3.13f(x,y)1,0 x yfYX (x), fXY (xy)6（1）DSD 量XY1(x, y),密度函數(shù) f (xy量X,Y3.13f(x,y)1,0 x yfYX (x), fXY (xy)6（1）DSD 量XY1(x, y),密度函數(shù) f (xy

29、則稱XYD上的二維均勻分布 (x, y)D(xy) a xbc yd和Y 是獨(dú)立的，并且分別服從區(qū)間ab,cd分布的量(X,Y)，則它的兩個(gè)分量 量( ) 的概率密度為)2(x 2(x )(y (y1f (x, y) 2 ,x,y2(1 222221 1 1 其中12,1 0,2 01 1均為常數(shù)，則稱X，Y) 服從參數(shù)為12,1,2X，Y) N( ; , X，YX N( , Y N( , 22X與Y X與Y X與Y k X k Y N(k k ,k k 2 2 121 2 1 2 X與Y k X k Y N(k k ,k k 2kk 2 2 121 2 1 2 1 1 3.14（98，1）D

30、y 1 y 0 x1xe2x量X,YD上服從均勻分布，則X,YX X 2值量X,Y N(00;1,10P X 0 （） 3.14（98，1）Dy 1 y 0 x1xe2x量X,YD上服從均勻分布，則X,YX X 2值量X,Y N(00;1,10P X 0 （） 1412(C) 31(B)量X,YX 與Y fX (x), fY yX,Y 的概率密度，則在Y yX fX Y y為（ (A) fX (B) fY (fX (C) f (x)(f (Y四、二維1量函數(shù)的分已知X，YPX xi,YyjPX xiPY yj，i，jZ gX,Y量X 、Y 服從同一分布，且X 的分布律量Z maxX,Y的分布律

31、量X1,4 P(Xi 00.6P(Xi 10.4(i234XPZ g(X,Yg(X1,Y1 g(Xi ,Yj pX,Y X P(1Y P(2)3.19Pmax(X,Y) 0 ，Pmin(X,Y) 0 3.203X,Y 1,2 求： =X X,Y X P(1Y P(2)3.19Pmax(X,Y) 0 ，Pmin(X,Y) 0 3.203X,Y 1,2 求： =X Y,=X Y 2（1）的概率密度為f (x, y)則量的函數(shù)Z g(X,Y)的量，布函數(shù)為FZ (z) PZ z PgX,Y z（2）g(x,y)f (x,Z X Y Z fZ (z) f (x,z或 fZ (z f (z yfZ (z

32、) fZ (z) fX (z y)fY (fX (xfY (zx)dxX與Y 2D 最大最小分X1 Xn FX (xn n maxXiX 1M Xn) z PX1 z,X2 zXn F PX1zPX2 zPXn zX nn) n) F 11PX1z,X2zXn z1PX1zPX2 zPXn FX 特別地，當(dāng)X1Xn 獨(dú)立同分布，即Xi F(x（i 1n）時(shí)(z)11FF (z) Fn(z),MNX和Y N(0,1N(1,1則12121212（A） X 0（B） X (z)11FF (z) Fn(z),MNX和Y N(0,1N(1,1則12121212（A） X 0（B） X （C）X與Y 獨(dú)立

33、，且均服從03上的均勻分布，3.22Pmax(X,Y)1, Pmin(X,Y)1【例 3.23】設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立同分布的量X 和Y 的分布函數(shù)為Fx、Fy，Z maxX,Y分布函數(shù)為A F2x ）B FxFy 【例 3.24（93，4）的指數(shù)分布。當(dāng)三個(gè)元件都無(wú)故障工作時(shí)，電路正常工作，否則整個(gè)電路不能正常工作。試求電路正常工作的時(shí)間T 的概率分布。量X,Y3.252x 0 x1,0 yf (x,y) Z X Y fZ (zX,Y 0 x y 0y fX x ，Y ( ) 求量Z 2X Y 的概率密度X 與Y X X 而Y 的概率密度為f (y)，求量U X Y 的概率密度g一、1量的數(shù)學(xué)期xi

34、pi(i)，若級(jí)數(shù)xi iX 稱xi pi 為量X 的數(shù)學(xué)期望，記作一、1量的數(shù)學(xué)期xipi(i)，若級(jí)數(shù)xi iX 稱xi pi 為量X 的數(shù)學(xué)期望，記作EX ，即EX xi pi ；如果級(jí)數(shù)pi iX 量函數(shù)的數(shù)學(xué)期若X 是離散型量，其概率分布為PX xi pi，i ，g(x)為連續(xù)實(shí)數(shù)，Y gXg(xi pi EgXEY EgX g(xi ii若，)是二維離散型PX xi ,Y yj pij,i, j 12， (x , ) Z gX，Y 當(dāng)g(xiyj )pij EgX，YEZ EgX，Y) g(xiyj i1 ji1 j4.152，33X 為抽EX EX EX )2 3 件合格品. 3

35、 X 的數(shù)學(xué)4.3】設(shè)X ,Y 0.3, 0.1, 0.1, 0.1（1）求EX，EY（2）設(shè)Z X Y求EZ3）設(shè)Z X Y)2求2量的數(shù)學(xué)期設(shè)連續(xù)型量X 的概率密度為 f (x) ，若積分 xf (x)dx 絕對(duì)收斂，則稱積 xf(x)dxX 的數(shù)學(xué)期望，記為EX ，即EX xx dx xf x dx X fX (xg(x為連續(xù)實(shí)函數(shù)，Y gXX g(x) f (x)dx 絕對(duì)收斂，則Eg(X)存在，且EY xf(x)dxX 的數(shù)學(xué)期望，記為EX ，即EX xx dx xf x dx X fX (xg(x為連續(xù)實(shí)函數(shù)，Y gXX g(x) f (x)dx 絕對(duì)收斂，則Eg(X)存在，且EY

36、 Eg(X) g(x)fX Xx，Z gX,Y若X ,Y g(x, y) f (x, y)dxdy EgX,Y EZ Eg(X,Y) g(x,y)f (x,【例4.4】設(shè)量X 的密度函數(shù) 2 cos2 x, f (x)=，求2 其X 0 x4.5fX ，求EX 4.6X 的概率密度為 4.712y2,0 y x設(shè)X,Y)的密度函數(shù)為f(xy，求EXEYEXYEX2 Y23（1）設(shè)CE(C) CEX C E(CiX CiEX （2）X （3）設(shè)X與Y 是兩個(gè)量，則有E(k1X k2Y)k1EX k2EY （4）X與Y 相互獨(dú)立，則有 EXY) EXEY Xiji, j 1,nn2 2 Y 的數(shù)學(xué)

37、期望EY #二、1量的方量，如果 EX) 2存在，則 EX) 2X X DX DX EX EX 2，稱 DX 為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差. （1） Y 的數(shù)學(xué)期望EY #二、1量的方量，如果 EX) 2存在，則 EX) 2X X DX DX EX EX 2，稱 DX 為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差. （1）離散情形：若X 是離散型量，其概率分布為PX xi pi，iDX E(X EX ) (x EX)2 2iii ( ) ，DX E(X EX ) (xEX ) f22（2）DX EX2 (EX2量Y若X 若X 0若X 量X 在區(qū)間1,2上服從均勻分布,D(Y.X 0 x，求4.11f3（1）設(shè)C DC 0C D(CX

38、C2DX C D X C DX X X D(aX ba2DX （ab為任意常數(shù)（2DXYDX （4）X,Y 量3X ）X 和Y 42（4、常用量的數(shù)學(xué)期望和方（1）01分如果量X (01)分布，即PX i pi(1 p)1i(i0,1)p(1 （2）二項(xiàng)分布 X4、常用量的數(shù)學(xué)期望和方（1）01分如果量X (01)分布，即PX i pi(1 p)1i(i0,1)p(1 （2）二項(xiàng)分布 X B(n, pPXk C p (1 (k 0,1,k X nEX npDX np(1 （）泊松分布 X P(pX k ，k,若一個(gè)量X 的概率分布其中 0X服從參數(shù)為X P(EX DX （）均勻分布 X U 1

39、 ，axX f (x) b ， 其X 服從a, bX U(a，baEX DX 2（）指數(shù)分布 X E(ex，x f (x) 量 X，如果其密度函數(shù)其中 0X服從參數(shù)為X E(EX 1 1DX （）正態(tài)分布 X N(， 2 ( xu1量X，如果其密度函數(shù)為f(x)( x其中 、 為常數(shù)， ， 0，則稱X服從參數(shù)為 和2 的正態(tài)分布，X N(， 2 EX DX 【例4.13（1）設(shè)量X E()，PX DX ,E(2X eX)（2）設(shè)X P(1)，X N(， 2 EX DX 【例4.13（1）設(shè)量X E()，PX DX ,E(2X eX)（2）設(shè)X P(1)，則PX EX2xx量X 的概率密度為 f

40、(x)則D(2X 1) 【例4.15】設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為 p ，進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng) p 1cos 0 x其f (x) 【例4.17】設(shè)量X 的概率密度2X 4 次，用Y 表示觀察值大于 的次數(shù)，求Y 的數(shù)學(xué)期望3【例4.18】設(shè)兩個(gè)量X,Y 相互獨(dú)立，且都服從均值為0，方差為 的正態(tài)分布，21X 的方差隨量三、量的1、kX X( 12)存在，則稱EXkXk原點(diǎn)矩，記為2、k階中心矩 如果E(X EX(k 2,3) 存在，則稱E(X EX)k 為X 的k 階心矩，記為3k+lEX EXk(Y EY)lkl 1 存在則稱之為X Y k l 四、協(xié)方差和相關(guān)系1 量設(shè)EX 和EY 都存

41、在如果E(X EX)(Y EY)存在則稱其為量X 與Y 的協(xié)方差，記作cov(X,Y)，cov(X,Y) E(X EX)(Y EY（2）對(duì)于任意兩個(gè)量X 和Y 有：cov(X,Y) EXY 【例 4.19】假設(shè)二維量X,Ycov(X,Y) E(X EX)(Y EY（2）對(duì)于任意兩個(gè)量X 和Y 有：cov(X,Y) EXY 【例 4.19】假設(shè)二維量X,Y在矩形Gx,y0 x2,0 y1上服從均X X X X 分布。記 U V ，求U 和V 求cov(U,VX Y 為取出白球的個(gè)數(shù)。求covX ,Y4.21設(shè)，求covX,Y（3） 2Dcov(X,X)DX 3Dcov(aXbYabcovX ,Y

42、) ，其中 ab4DcovXC0 其中C 5Dcov(X X ,Y) cov(X ,Y)cov(X ,Yco（X 1nnn(n 2N(0, X 2X 4.22記.（I）Yi DYii ,n（II）Y1與Yn的協(xié)方差Cov(Y1,Yn2（1）定義，X 和Y cov(X，YX 與Y 的（線性）（2）1的充分必要條件是 X 與Y 以概率 1 線性相關(guān)，即存在常數(shù) a和b，使得PYaX b1a01a0XY 【例4.23X N(0,1Y 1的充分必要條件是 X 與Y 以概率 1 線性相關(guān)，即存在常數(shù) a和b，使得PYaX b1a01a0XY 【例4.23X N(0,1Y X2 ，i123X1X2 i【例4.25設(shè)二維量X，Y 圓G (x,y)