可逆矩陣在通信中的應(yīng)用

1、-. z.可逆矩陣及其在通信中的應(yīng)用摘要 本文在可逆矩陣的定義、性質(zhì)及求法的根底上，討論了判斷可逆矩陣的方法、分塊可逆矩陣的求法以及可逆矩陣的一類求法，并通過實(shí)例給出了具體應(yīng)用.介紹了通信及可逆矩陣在其中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 矩陣?yán)碚?；可逆矩陣；通信；伴隨矩陣；性質(zhì)引言隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，矩陣?yán)碚撘殉蔀楸姸喔呖萍监徲虿豢苫蛉钡慕M成局部.而逆矩陣是其非常重要并且是較難理解的一局部容，但在許多線性代數(shù)教科書中逆矩陣相關(guān)知識(shí)點(diǎn)卻零零散散，而且忽略了其重要實(shí)際應(yīng)用，以至于讓很多人錯(cuò)誤地認(rèn)為逆矩陣沒有多大用處.為了能具體地、形象地認(rèn)識(shí)逆矩陣，將抽象的知識(shí)具體的表現(xiàn)出來，掌握其本質(zhì)，更能簡(jiǎn)單的運(yùn)用到實(shí)際當(dāng)中

2、.在我們學(xué)過的高等代數(shù)教材中對(duì)可逆矩陣給出了明確的定義，但未對(duì)可逆矩陣的求解方法詳細(xì)的介紹，本文主要討論可逆矩陣的求解方法及其在通信中的應(yīng)用.1可逆矩陣定義1在線性代數(shù)中，對(duì)于任意一個(gè)階方陣，如果有階方陣，使得，其中為階單位矩陣，則稱是可逆的，且是的逆矩陣，記作.假設(shè)方陣的逆矩陣存在，則稱為非奇異方陣或可逆矩陣.1.2 可逆矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1假設(shè)是可逆的，則也可逆，且.性質(zhì)2假設(shè)、是兩個(gè)同階可逆矩陣，則也可逆，且.性質(zhì)3假設(shè)可逆矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣為，則.性質(zhì)4假設(shè)是可逆矩陣，則有.1.3 可逆矩陣的判定定理1 初等變換不改變矩陣的可逆性.證明 設(shè)經(jīng)過一次初等行變換得到，則存在一個(gè)初等矩陣，使得.由于

3、初等矩陣可逆，當(dāng)可逆時(shí)，也可逆，即可逆。另一方面，當(dāng)可逆時(shí)，可逆，即可逆.對(duì)列變換的情形可類似的證明.1.4 幾個(gè)充要條件定理2可逆.定理3可逆，是初等矩陣.證明 設(shè)可逆，則的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為，即存在初等矩陣使得，于是故可表示成一些初等矩陣的乘積.定理4可逆只經(jīng)過行初等變化為.證明因?yàn)锳可逆存在初等矩陣使得經(jīng)過次初等變換化成.定理5 設(shè),是兩個(gè)階矩陣，則.推論1 設(shè)都是階矩陣，則.定理6可逆.證明 必要性 設(shè)可逆，則存在使得由定理5得所以.充分性 假設(shè)，由定理2，存在使得于是故可逆.1.5逆矩陣的求法1.5.1初等變換法原理設(shè)則.例1 設(shè)，判定是否可逆，假設(shè)可逆，求.解 因?yàn)樗钥赡婀?1.5.2

4、伴隨矩陣法定義2設(shè)是矩陣中元素的代數(shù)余子式，矩陣稱為的伴隨矩陣.1.5.3求逆矩陣的公式牢記.例2設(shè)判定是否可逆，假設(shè)可逆，求.解 因?yàn)?，所以可逆。? 所以所以.1.6可逆分塊矩陣的逆矩陣1.6.1缺角陣的逆矩陣設(shè)分別是階可逆矩陣，則有定理知階分塊矩陣是可逆矩陣，得到進(jìn)展一樣的分塊，令由于根據(jù)分塊矩陣的乘法計(jì)算出左端，并比擬等式兩邊，得有1、2式得代入4式得代入3式得,所以所以.1.6.2利用分塊矩陣的知識(shí)可得以下公式設(shè)A，B可逆.公式1.公式2 .公式3.公式4.1.6.2 準(zhǔn)對(duì)角矩陣的逆矩陣.1.6.3 反對(duì)角矩陣的逆矩陣其中可逆，.1.7 一類矩陣方陣的簡(jiǎn)便解法解可逆的簡(jiǎn)便方法.解的簡(jiǎn)

5、便方法.例3求.解 所以.2 通信2.1 密碼起源當(dāng)人們剛剛開場(chǎng)通信的時(shí)候，為了保證秘密信息不被輕易竊取，人們意識(shí)到必須尋找一種方法去保護(hù)他們的通信容. 古代羅馬的軍隊(duì)運(yùn)用一種所謂的愷撒密碼進(jìn)展通信，其原理是利用26個(gè)字母的輪換.它用表示,用表示等等，也就是說密文字母相對(duì)明文字母平移3位.收信人只需要按通常的字母順序?qū)⒚芪淖帜赶蛳喾捶较蚱揭?位即可以得到明文.當(dāng)然，諸如此類的密碼都是很容易破譯的.當(dāng)代信息技術(shù)的開展，人們意識(shí)到加密技術(shù)的重要性.密碼被政府、軍隊(duì)、公司、金融機(jī)構(gòu)等諸多領(lǐng)域廣泛使用.隨著電子商務(wù)、電子政務(wù)等領(lǐng)域的迅猛開展使得海量秘密信息需要在狀態(tài)下進(jìn)展交流，而加密技術(shù)使通過諸如計(jì)算

6、機(jī)網(wǎng)絡(luò)等公共通信平臺(tái)傳遞大量信息而不被竊取成為可能.自此，通信領(lǐng)域漸漸走進(jìn)公眾的日常生活.比方平安的網(wǎng)絡(luò)和公共根底設(shè)施、平安的應(yīng)用軟件和數(shù)據(jù)庫、平安測(cè)試、信息系統(tǒng)評(píng)估、企業(yè)平安規(guī)劃以及數(shù)字取證技術(shù)等等.在因特網(wǎng)上快速增長(zhǎng)的電子數(shù)據(jù)處理和電子商務(wù)應(yīng)用，以及不斷出現(xiàn)的國(guó)際恐懼主義事件，增加了對(duì)更好地保護(hù)計(jì)算機(jī)及其存儲(chǔ)、加工和傳輸?shù)男畔⒌男枨?計(jì)算機(jī)平安、信息平安、以及信息保障等學(xué)科，是和許多專業(yè)的組織一起出現(xiàn)的.他們都持有共同的目標(biāo)，即確保信息系統(tǒng)的平安和可靠.2.2密碼系統(tǒng)一般的，一個(gè)密碼系統(tǒng)由明文空間、密碼空間、密鑰空間、加密算法和解密算法組成.待加密的信息稱為明文，明文的全體構(gòu)成的集合稱為明

7、文空間.用表示明文空間，用表示明文.用表示密文空間，表示密文.用表示密鑰空間，表示密鑰.密碼設(shè)計(jì)中，密鑰一般是隨機(jī)序列.所謂密碼方案是指對(duì)加密變換的具體規(guī)則確實(shí)切描述，這種描述包括對(duì)明文進(jìn)展加密時(shí)所使用的加密算法，以及對(duì)密碼進(jìn)展復(fù)原時(shí)所使用解密算法.傳統(tǒng)的通信的模式可表示為 定義3 一個(gè)用于加密、解密的密碼體制系統(tǒng)是一個(gè)五組，其中 1稱為明文空間，是所有可能的明文構(gòu)成的集合； 2稱為密文空間，是所有可能的密文構(gòu)成的集合；3稱為密鑰空間，是所有可能的密鑰構(gòu)成的集合；4分別表示加密算法集和解密算法集.它們滿足，對(duì)于每一個(gè)都存在一個(gè)加密算法和一個(gè)解密算法,使得對(duì)于任意的，都有成立.3 可逆矩陣在通信

8、中的應(yīng)用3.1 加密算法設(shè)有矩陣方程,其中為明文矩陣,為加密矩陣,用加密矩陣與明文矩陣的乘積來對(duì)所發(fā)送消息實(shí)施了加密,得到密文矩陣.如果為可逆矩陣,則方程有唯一解,其中為的逆矩陣.例4發(fā)送的明文是 send money.解首先可將明文用9個(gè)整數(shù)構(gòu)成的矩陣來表示:假設(shè)進(jìn)展加密的矩陣為:則密文矩陣C為:所以發(fā)送的信息為：31,80,54,37,83,67,29,69,50.3.2 解密算法解密時(shí),采用下面矩陣乘法.例5針對(duì)上面的加密矩陣解 因可逆,可得:故明文矩陣為:.3.2 加密矩陣的生成初等矩陣都是可逆的,而且初等矩陣的乘積仍然是可逆的.因此,通信中可以考慮利用假設(shè)干個(gè)初等矩陣的乘積作為加密編

9、碼矩陣.它的生成方法如下:從單位矩陣出發(fā),反復(fù)運(yùn)用第一類和第三類初等變換矩陣去乘它,而其中的乘數(shù)必須取整數(shù).這樣得到矩陣將滿足而也將具有整數(shù)元素.3.3 應(yīng)用實(shí)例例6小王的朋友給小王發(fā)來一封密信,它是一個(gè)三階方陣他們約定:消息的每一個(gè)英文字母用一個(gè)整數(shù)來表示:約定好的加密矩陣，既密鑰矩陣是試求小王的朋友發(fā)送的密信容.解試求密信的容,先假設(shè)密信容矩陣為或既或用MATLAB來求解,易得由英文字母與整數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系即得密信容為I LOVE YOU.3.4 明文矩陣的選擇如果明文矩陣為方陣,則當(dāng)為可逆矩陣時(shí)有或 , 其中為的逆矩陣.因此,如果竊密者以*種方式竊取到一對(duì)明文和相應(yīng)的密文,碰巧其中的明文

10、矩陣可逆,則竊密者可以輕而易舉地破解密文.因此, 在實(shí)際應(yīng)用時(shí), 明文矩陣不要采用方陣.另外,在實(shí)際應(yīng)用中,明文并不能總是恰好可以分成整數(shù)矩陣,出現(xiàn)這種情況時(shí)需要補(bǔ)充一些數(shù)據(jù),補(bǔ)充的數(shù)據(jù)可以是有意義的,也可以是無意義的.有時(shí),我們可以利用這些附加數(shù)據(jù)來到達(dá)*種特殊的效果,比方數(shù)據(jù)的完整性檢驗(yàn)等.3.5 加密矩陣的選擇設(shè),根據(jù)矩陣乘法的定義, 乘積矩陣中第行第列的元素等于矩陣中第行的所有元素與矩陣中第列的對(duì)應(yīng)元素之積的累加和.因此, 利用可逆矩陣來實(shí)現(xiàn)通信的另一個(gè)問題是, 如果加密矩陣選擇得不好, 密文矩陣的元素長(zhǎng)度會(huì)急劇膨脹.為了防止出現(xiàn)這種情況，加密矩陣最好滿足以下條件：對(duì)任意的明文矩陣,密

11、文矩陣中的每一個(gè)元素的長(zhǎng)度都不超過明文矩陣中對(duì)應(yīng)位置上的元素的長(zhǎng)度，或者退而求其次；對(duì)任意的明文矩陣，密文矩陣中所有元素的總長(zhǎng)度不超過明文矩陣中所有元素的總長(zhǎng)度.如果能找到一個(gè)加密矩陣,使得對(duì)任意的明文矩陣,密文矩陣中所有元素的總長(zhǎng)度在一個(gè)比擬理想的程度上小于明文矩陣中所有元素的總長(zhǎng)度,則這時(shí)的加密算法同時(shí)也是一種較好的壓縮算法.3.6算法優(yōu)化設(shè)加密矩陣為階矩陣,明文矩陣為行列矩陣, 利用向量的有關(guān)知識(shí), 密文矩陣的第行可以表示為其中為矩陣的第行第列位置上的元素,而則為矩陣的第行.顯然, 密文矩陣的每一個(gè)行向量都是明文矩陣的所有行向量的一種線性組合, 其組合系數(shù)正好是加密矩陣的相應(yīng)行上的所有元

12、素.根據(jù)矩陣乘法的定義直接計(jì)算密文矩陣時(shí), 計(jì)算密文矩陣的每行元素需要做次乘法和次加法,計(jì)算密文矩陣的每個(gè)元素需要做次乘法和次加法,因此計(jì)算整個(gè)密文矩陣總共需要次乘法和次加法.4 總結(jié)可逆矩陣作為矩陣乘法的逆運(yùn)算，是矩陣的一種重要運(yùn)算，在解決矩陣問題起著重要的作用.因而掌握可逆矩陣的求法，在解決實(shí)際問題時(shí)選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，往往可以起到事半功倍的效?本文首先從可逆矩陣入手給出了可逆矩陣的概念，并討論了可逆矩陣的性質(zhì)，其次對(duì)可逆矩陣的性質(zhì)進(jìn)展了討論并得出了一些定理，并且舉出了相應(yīng)的例題.最后給出了可逆矩陣在通信中的應(yīng)用，使的學(xué)習(xí)的人對(duì)可逆矩陣有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).對(duì)于其它方面的應(yīng)用，未進(jìn)一步進(jìn)展做討論，有待進(jìn)一步探討.致 在此謹(jǐn)向任天勝教師致以誠(chéng)摯的意.參 考 文 獻(xiàn)1 劍平, 施勁松主編. 線性代數(shù)M. ：華東理工大學(xué)，2011.2 熊小兵.可逆矩陣在通信中的應(yīng)用J.大學(xué)數(shù)學(xué),2007,23(3).3 徐仲主