起始點的跳變和突變條件

1、起始點的跳變和突變條件電容電壓的突變電感電流的突變沖激函數(shù)匹配法確定初始條件我們來進一步討論 的條件。 一起始點的跳變當系統(tǒng)用微分方程表示時，系統(tǒng)從 到 狀態(tài)有沒有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項是否包含 及其各階導數(shù)項。 說明一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則：對于一個具體的電網(wǎng)絡，系統(tǒng)的 狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲能元件的儲能情況;但是當有沖激電流強迫作用于電容或有沖激電壓強迫作用于電感， 狀態(tài)就會發(fā)生跳變。 1電容電壓的突變由伏安關系當有沖激電流或階躍電壓作用于電容時：例2-3-1電流為沖激信號。2電感電流的突變?nèi)绻麨橛邢拗?，沖激電壓或階躍電流

2、作用于電感時：例2-3-2配平的原理：t =0 時刻微分方程左右兩端的(t)及各階導數(shù)應該平衡(其他項也應該平衡，我們討論初始條件，可以不管其他項）例： 三沖激函數(shù)匹配法確定初始條件該過程可借助數(shù)學描述在 中 時刻有 分析中的表示 到 的相對跳變函數(shù)，所以，數(shù)學描述設則代入方程得出所以得即即2.4 零輸入響應和零狀態(tài)響應 起始狀態(tài)與激勵源的等效轉(zhuǎn)換系統(tǒng)響應劃分對系統(tǒng)線性的進一步認識一起始狀態(tài)與激勵源的等效轉(zhuǎn)換在一定條件下，激勵源與起始狀態(tài)之間可以等效轉(zhuǎn)換。即可以將原始儲能看作是激勵源。電容的等效電路電感的等效電路電容器的等效電路電路等效為起始狀態(tài)為零的電容與電壓源 的串聯(lián)等效電路中的電容器的起

3、始狀態(tài)為零故電路等效為起始狀態(tài)為零的電感L和電流源的并聯(lián)。電感的等效電路二系統(tǒng)響應劃分自由響應強迫響應( Natural + Forced )零輸入響應零狀態(tài)響應( Zero-input + Zero-state )暫態(tài)響應 + 穩(wěn)態(tài)響應( Transient + Steady-state ) (1)自由響應：也稱固有響應，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵形式無關。對應于齊次解。 強迫響應：形式取決于外加激勵。對應于特解。 (2)暫態(tài)響應：是指激勵信號接入一段時間內(nèi)，完全響應中暫時出 現(xiàn)的有關成分，隨著時間t 增加，它將消失。 穩(wěn)態(tài)響應： 由完全響應中減去暫態(tài)響應分量即得穩(wěn)態(tài)響應分量。 (3)零

4、輸入響應：沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)儲能）構(gòu)成的等效激勵源產(chǎn)生的響應。 零狀態(tài)響應：不考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵信號產(chǎn)生的響應。 各種系統(tǒng)響應定義舉例 系統(tǒng)零輸入響應，實際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值 決定的初始值求出待定系數(shù)。 系統(tǒng)零狀態(tài)響應，是在激勵作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解，由狀態(tài)值 為零決定的初始值求出待定系數(shù)。 求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引出卷積積分法。動態(tài)電路系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應=激勵與系統(tǒng)沖激響應的卷積，即幾點說明3. 同時由于零輸入分量的存在，使響應的變化不可能只

5、發(fā)生在激勵變化之后，因而系統(tǒng)也是非因果的。這樣可以說用常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)只有在起始狀態(tài)為零的條件下，系統(tǒng)才是線性時不變的，而且是因果的。4.把起始狀態(tài)等效成系統(tǒng)的激勵，如電壓源 和電流源 ，則對零輸入響應而言也滿足疊加性和均勻性，因而可以把常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)的線性加以擴展。三對系統(tǒng)線性的進一步認識由常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)在下述意義上是線性的。(1)響應可分解為：零輸入響應零狀態(tài)響應。(2)零狀態(tài)線性：當起始狀態(tài)為零時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應對于各激勵信號呈線性。(3)零輸入線性：當激勵為零時，系統(tǒng)的零輸入響應對于各起始狀態(tài)呈線性。 2.5 沖激響應和階躍響應沖激響應階躍響應系統(tǒng)

6、在單位沖激信號 作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應，稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，一般用h(t)表示。 一沖激響應1定義 2一階系統(tǒng)的沖激響應3n階系統(tǒng)的沖激響應響應及其各階導數(shù)(最高階為n次)3n階系統(tǒng)的沖激響應(1)沖激響應的數(shù)學模型對于線性時不變系統(tǒng),可以用一高階微分方程表示 激勵及其各階導數(shù)(最高階為m次)令 e(t)=(t) 則 r(t)=h(t)(2)h(t)解答的形式設特征根為簡單根（無重根的單根） 由于 及其導數(shù)在 時都為零，因而方程式右端的自由項恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應形式與齊次解的形式相同。 與n, m相對大小有關 與特征根有關二階躍響應 系統(tǒng)的輸入 ，其響應為 。系統(tǒng)方程的右

7、端將包含階躍函數(shù) ，所以除了齊次解外，還有特解項。我們也可以根據(jù)線性時不變系統(tǒng)特性，利用沖激響應與階躍響應關系求階躍響應。 系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的零狀態(tài)響應，稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應。1定義 2階躍響應與沖激響應的關系線性時不變系統(tǒng)滿足微、積分特性三齊次解法求沖激響應（補充）左端最高階微分中含有(t)項(n-1)階微分中含有u(t)項?？梢杂纱硕ǔ跏紬l件令方程左端系數(shù)為1，右端只有一項(t)時，沖激響應為此方法比奇異函數(shù)系數(shù)平衡法簡單。對于高階系統(tǒng)更有優(yōu)越性。求沖激響應的幾種方法方法1：沖激函數(shù)匹配法求出 躍變值，定系數(shù)A。方法2：奇異函數(shù)項相平衡法，定系數(shù)A。 方法3: 齊次解法求

8、沖激響應。總結(jié)沖激響應的求解至關重要。沖激響應的定義零狀態(tài)；單位沖激信號作用下，系統(tǒng)的響應為沖激響應。沖激響應說明：在時域，對于不同系統(tǒng)，零狀態(tài)情況下加同樣的激勵 ，看響應 ， 不同，說明其系統(tǒng)特性不同，沖激響應可以衡量系統(tǒng)的特性。用變換域(拉氏變換)方法求沖激響應和階躍響應簡捷方便，但時域求解方法直觀、物理概念明確。2.卷積卷積利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應卷積圖解說明卷積積分的幾點認識一卷積（Convolution）利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。二利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應任意信號e(t)可表示為沖激序列之和這就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。三卷積的計算由于系統(tǒng)的因果性或激勵信號存在時間的局限性

9、，卷積的積分限會有所變化。卷積積分中積分限的確定是非常關鍵的。借助于階躍函數(shù)u(t)確定積分限利用圖解說明確定積分限卷積的圖解說明 用圖解法直觀，尤其是函數(shù)式復雜時，用圖形分段求出定積分限尤為方便準確，用解析式作容易出錯，最好將兩種方法結(jié)合起來。 四對卷積積分的幾點認識(1) t ：觀察響應的時刻，是積分的參變量； : 信號作用的時刻，積分變量 從因果關系看，必定有(2) 分析信號是手段，卷積中沒有沖激形式， 但有其內(nèi)容；即d f() 是h(t-)的加權，積分 f() 是h(t-)的加權，求和(t-)的響應(3)卷積是系統(tǒng)分析中的重要方法，通過沖激響應h(t)建立了響應r(t)與激勵e(t)之

10、間的關系。 (4)卷積是數(shù)學方法，也可運用于其他學科 。信號無起因時： 一般數(shù)學表示： (5)積分限由 存在的區(qū)間決定，即由 的范圍決定。 總結(jié)求解響應的方法：時域經(jīng)典法：雙零法：零輸入響應：零狀態(tài)響應：完全解 = 齊次解 + 特解解齊次方程，用初（起）始條件求系數(shù)； 2.7 卷積的性質(zhì)代數(shù)性質(zhì)微分積分性質(zhì)與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積一代數(shù)性質(zhì)1交換律2分配律3結(jié)合律系統(tǒng)并聯(lián)運算系統(tǒng)級聯(lián)運算系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)，框圖表示： 結(jié)論：子系統(tǒng)并聯(lián)時，總系統(tǒng)的沖激響應等于各子系統(tǒng)沖激響應之和。系統(tǒng)級聯(lián)系統(tǒng)級聯(lián)，框圖表示： 結(jié)論：時域中，子系統(tǒng)級聯(lián)時，總的沖激響應等于子系統(tǒng)沖激響應的卷積。 二微分積分性質(zhì)推廣

11、：微分性質(zhì)積分性質(zhì)聯(lián)合實用對于卷積很方便。g(t)的積分微分n次，積分m次m=n, 微分次數(shù)積分次數(shù) 三.與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積推廣：2.8 用算子符號表示微分方程算子符號的表示方法算子符號基本規(guī)則用算子符號建立微分方程傳輸算子概念則：一算子符號的表示定義對于算子方程：其含義是：高階微分方程可以表示為或簡化為進一步令分別表示兩個算子多項式，則微分方程可表示為二算子符號基本規(guī)則微分算子不是代數(shù)方程，而是算子記法的微積分方程。式中算子與變量不是相乘，而是一種變換。多項式的算子可以像代數(shù)量那樣進行乘法運算，也可以像代數(shù)式那樣進行因式分解的運算。算子方程兩邊的公共因子一般不允許消去。如：但：但在某種情況下公共因子可以消去，如：但簡單的如：但算子的乘除順序不可隨意顛倒二用算子符號建立微分方程系統(tǒng)的自然頻率(特征根)：的根為系統(tǒng)的自然頻率或特征根。電感、電容的等效算子符號分別為：電感其中 就是用算子符號表示的等效電容容抗值。電容其中 就是用算子符號表示的等效電感感抗值。算子阻抗三傳輸算子概念 用輸入-輸出法描述系統(tǒng)是，關心