大學高等數(shù)學經(jīng)典課件7-3

1、第三節(jié) 曲面及其方程一 曲面方程的概念1 曲面方程是平面解析幾何中曲線方程概念的推廣:(1) 就叫做曲面S的方程.而曲面S叫做方程(1)的圖形.不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程(1). 那么,方程有如下對應(yīng)關(guān)系:.曲面S上任一點的坐標都滿足方程(1).定義:給定空間曲面S及三元方程F(x,y,z)=0 (1) 如果它們下面,我們舉例說明.2 建立空間曲面方程的思想方法:空間曲面看成流動點的軌跡. 而方程看成相應(yīng)的流動坐標所滿足的等式.以此思想來建立曲面方程的方法如下:在所求的曲面上任找一動點M(x,y,z)以動點所滿足的條件得到等式.把坐標代入,轉(zhuǎn)化為方程.xyzsF(x,y,z)=0例1

2、建立球心在點M0(x0,y0,z0), 半徑為R的球面方程.把坐標代入,轉(zhuǎn)化為方程.以動點所滿足的條件得到等式.在所求的曲面上任找一動點M(x,y,z)1.設(shè)M(x,y,z)是球面上的任一點.xyzM0(x0,y0,z0)M(x,y,z)點所滿足的條件得到等式)2.那么M點到球心M0(x0,y0,z0)的距離為半徑R(這就是以動3.把坐標代入,轉(zhuǎn)化為方程.半徑為R的球面方程為x2+y2+z2=R2因為球面上任一點都適合等式(*),其坐標滿足(*).從而 滿足方程 (2).反之,不在球面上的點必不滿足(*),其坐標不滿足(*),從而不滿足方程(2). 故(2)為以M0(x0,y0,z0)為球心,

3、R為半徑的方程.如果球心為(0,0,0), 則以球心為坐標原點(0,0,0),形狀.例2. 方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0.表示怎樣的曲面的形狀?曲面代表圓心為(1,-2,-1),半徑為的球面.3. 空間解析幾何研究的兩個基本問題:(1). 已知一空間曲面,建立其方程.(2). 已知坐標x,y,z 的一個方程,研究該方程所代表的曲面一般二次方程Ax2+Ay2+Az2+Bx+cy+Dz+E=0表示球面.特點是平方項系數(shù)相等.不含交叉項.推廣到空間中,所以球心的坐標為:由兩點的距離公式可得到,球半徑為例3 球的一條直徑的兩端為(1,-2,3)和(-3,4,1),求此球面方程.解:首先,

4、平面幾何中關(guān)于定比點及線段中點坐標的公式可所以球面方程為: (x+1)2+(y-1)2+(z-2)2=14二 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)一周,得到一個以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面.定義:一條平面曲線C,繞該曲線C所在的平面內(nèi)一直線L旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面,叫做旋轉(zhuǎn)曲面,這條直線L叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸.曲線C稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線.垂直于旋轉(zhuǎn)軸的平面,如果與旋轉(zhuǎn)面相交,它們的交線是中心在軸上的圓周. 在坐標系下建立旋轉(zhuǎn)曲面的方程.設(shè)yoz平面內(nèi)有一已知曲線C,方程為f(y,z)=0.將其繞z軸CLxyzof(y1,z)=0 (1)現(xiàn)在我們利用已知曲線方程f(y,z)=0建立 旋轉(zhuǎn)曲面方程.在曲面上找一點M.它是曲線C上對應(yīng) 點(

5、同一圓上的點)M1旋轉(zhuǎn)得到的.M1(0, y1,z).因為M1在C上,它滿足曲線C的方程因為M,M1到z軸的距離相等,有代入方程(1),得到這就是旋轉(zhuǎn)曲面方程. 特點: yoz平面曲線C:f(y,z)=0,繞z軸旋轉(zhuǎn).得到的旋轉(zhuǎn)曲面.如果yoz平面曲線C:f(y,z)=0,繞y軸旋轉(zhuǎn).得到的旋轉(zhuǎn)曲面方代入代入方程z不變.而y用方程z不變.而y用旋轉(zhuǎn)得到的曲面方程是x不變,把y變成成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解: 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周,x不變,y用這曲面叫做旋轉(zhuǎn)橢球面.同理,我們可以得到xoy,xoz平面上的曲線,它們繞軸旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)曲面的方程.例如在xoy平面上的曲線f(x,y)繞x軸例3:把xoy坐標面上

6、的橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周,求所代入,就得到所求的方程例4 將xoy平面上的雙曲線解:繞x軸一周的曲面方程為這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.三 柱 面下面我們研究柱面方程.考慮母線平行于坐標軸的柱面.定義:動直線L始終平行于一固定直線B沿另一條曲線C移動而生成的曲面叫做柱面. 動直線L稱為母線.曲線C稱為柱面的準線. 當母線與準線相互垂直時,這個柱面稱為直立柱面,簡稱柱面.繞x,y軸旋轉(zhuǎn)一周,求其方程曲面方程為繞y軸一周的LCB則它一定不在這空間曲面上.例:方程表示怎樣的曲面. 方程表示在xoy平面上圓心在坐標原點,半徑為R的一個圓.在空間表示一曲面.該曲面的形狀是:它不含有z坐標,因此不論空間點的z坐

7、標,只要其橫坐標和縱坐標滿足方程該點必定在這空間曲面上.反之如果點不滿足方程二次曲線, 則這種柱面叫做二次柱面.此曲面可以看成由平行于z軸的直線沿xoy平面上的圓周移動而成的,它是一個柱面,它的母線一定平行z軸.即垂直于xoy平面.準線是圓的周長.類似地,在空間直角坐標系中,方程G(x,z)=0和方程H(y,z)=0分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面.在母線平行于坐標軸的柱面中,如果準線是坐標面上的yxzzxy橢圓柱面雙曲柱面zxy拋物柱面：四. 二 次 曲 面 便于圖形和方程之間的關(guān)系空間解析幾何中,把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.前面我們講過的球面,二次柱面就屬于二次曲面.現(xiàn)在再介

8、紹幾個常見的二次曲面方程,并用平行截面法來討論這些方程所表示的圖形.研究本節(jié)的目的是: 重積分一般在空間圖形上積分,為了由方程(4)可知這說明橢球面(4)完全包含在為x=a,y=b,z=c.a,b,c叫做橢球面的半軸.xyzabc所表示的曲面叫做橢球面.1.橢球面 方程一個以原點為中心的長方體內(nèi).這長方體的六個面的方程(1)橢球面與三個坐標面的交線為xyzabc這些交線都是橢圓.(2)橢球面與平行于xoy平面的z=z1的交線(|z|c)到c,橢圓截面由大到小,最后縮小為一點.是平面z=z1內(nèi)的橢圓.中心在z軸上. 當z1變動時,|z1|由0增大結(jié)果. 特例:(10)(20)a=b=c,變成球面

9、方程 x2 + y2 + z 2 = a2以平面y=y1,(y1b)或x=x1,(x10)截這曲面所得到截痕為中心在z兩它的個半軸分別為和當z1變動時,這種橢圓的中心都在z軸上.原點叫做這橢圓拋物面的頂點.它的軸與z軸相重合.用平面y=y1截這曲面所得到截痕為拋物線截面橢圓隨z1的增大而增大.平面z=z2(z20,q0時,它的形狀如圖示.它的兩個半軸分別為a及b.用平行于平面z=0平面z=z1截所得截痕是中心在z軸上的橢圓.它的兩個半軸分別為a及b.用平行于平面z=0的平面z=z1截曲面,曲面,所得截痕是中心在z軸上的橢圓.和它的兩個半軸分別為(2) )用坐標面xoz截曲面,所得截痕為中心在原

10、點O的雙曲線y=y1(y10)截曲面,所得截痕是中心在y軸上的雙曲線.它的兩個半軸的平方為和它的實軸與x軸相重合,虛軸與z軸相重合.用平面于點(0,b,0)的直線,它們的方程為.(0,b,0)的直線,它們的方程為.如果如果軸. 如果y1=b那么平面y=b截曲面,所得截痕為一對相交如果y1=b那么平面y=b截曲面,所得截痕為一對相交于點那么雙曲線的實軸平行于x軸,虛軸平行于z軸.那么雙曲線的實軸平行于z軸,虛軸平行于 x(0,-b,0)的直線,它們的方程為.綜上所述,可知單葉雙曲面(6)的形狀如圖示如果y1=-b那么平面y=-b截曲面,所得截痕為一對相交于點 (3)類似地,用坐標面yoz和平行于坐標面yoz的平面截曲面,得到的截痕也是雙曲線,兩平面x=a截曲面,得到的截痕是兩對相交的直線.xyzoyxz方程它進行討論.它的形狀如右圖所示.所表示的曲面叫做雙葉雙曲面.同學可用平行截面法對4. 二次錐面方程所表示的曲面稱為二次錐面.有時稱為錐面.形狀(見圖)xyz若a=b,則方程(8)變?yōu)橐步凶鰣A錐面.我們可以利用它和坐標面及其平行平面的截痕來考察其這方程表示一個以z軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面xyzc1c例3 有一立體,由z=x2+y2 和所圍成,求它在xoy面上的投影.分析: