量子力學(xué)講義16-2版

1、6.4 三維各向同性諧振子考慮質(zhì)量為的粒子在三維各向同性諧振子勢 V (r) 中運(yùn)動(dòng)，V (r) 12 r 2(1)2是刻畫勢阱強(qiáng)度的參量。按6.1節(jié)式(6),徑向方程為 2 l (l 1) R (r ) 02r12 rR (r ) R (r ) E 222lllr 2(2),令 1,方程(2)化為仍采用自然R (r) 2 R (r) 2E r 2 l(l 1) R (r) 0lllr 2r(3)r=0,是微分方程的奇點(diǎn)。按6.1.2節(jié)的分析,在r=0領(lǐng)域，物理上可接受的徑向波函數(shù)的漸進(jìn)行為當(dāng)r 0時(shí)，R (r) rl(4)l當(dāng)r時(shí)，方程(3)化為R (r) r 2R (r) 0l不難看出，當(dāng)

2、rl2 r/2 R (r) e2er/2 不時(shí),但l滿足態(tài)條件，棄之。所以2當(dāng)r 時(shí)，R (r) er /2(5)l因此方程(3)的解可表為2R (r) rler / 2u(r)(6)l代入式(3),u 2 (l 1 r 2 )u 2E (2l 3)u 0(7)r令 r 2 ,上式化為2 d u du au 0()dd 2(8)這正是合流超幾何函數(shù)，式中參數(shù)為 1 (l 3 / 2 E)，2 l 3/ 2(9)( 整數(shù))u1 F ( , , )方程(8)有兩個(gè)解，u 1 F ( 1, 2 , ) 。由于 1 r 2l 12按6.1.2節(jié)的分析， u2此方程(8)的解只能取是物理上不能接受的。因

3、u1 F ( , , ) F (l 3 / 2 E) / 2, l 3 / 2, )但可以證明，當(dāng) 時(shí)， F ( , , ) e(10)。這樣的無窮級(jí)數(shù)解帶入式(6)，所得徑向波函數(shù)不滿足態(tài)邊條件。因此，必須要求無窮級(jí)數(shù)解中斷為一個(gè)多項(xiàng)式。而這就是要求 (l 3 / 2 E) / 2 n,nr 0,1, 2,(11),得 (12)(13)(14)而這就要求E (2nr l 3 / 2),添上能量自然E (2nr l 3 / 2),N 2nr lE EN (N 3 / 2),nr , l 0,1, 2,.,令則N 0,1, 2,此即三維各向同性諧振子的能量本征值。與之相 1 / )應(yīng)的徑向波函數(shù)

4、(添上長度自然為22l r/2 F (n , l 3 / 2, r ),22R(r) r enrlr經(jīng)歸一化后，表為1/ 2(2l 2n 1)! 2l 2nrR(r) 3/ 2r nrl n !(2l 1)!2r2 2 r) el r/2 F (n , l 3 / 2, r ), (22(15)(16)rR(r)2 r 2dr 1nrl0nrnr表示徑向波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)(不包括r=0,點(diǎn)), 0,1 的徑向波函數(shù)為1/ 2l 22( r)l e 2r 2 / 2 ,R 3/ 20l (2l 1)!1/ 22l 3l 2r2 / 2 3/ 2( r) e(l 3 / 2) r .22R1l (2l

5、 3)!：1.能級(jí)簡并度與一維諧振子相同，三位各項(xiàng)同性諧振子的能級(jí)也是均勻分布的(圖6.7),相鄰兩能級(jí)的間距為 。但與一維諧振子不同，三位和二維各項(xiàng)同性諧振子的能級(jí)一般是簡并的。這表現(xiàn)在能量本征值只依賴于 nr和l 的特殊組合 N 2n l,它是V (r) r 2這種特殊的中心力場帶來r的。對于給定能級(jí)EN，l N 2nr N, N 2, N 4,1(N奇)或0(N偶)N 1 或 Nn 0,1,2,(17)r22由此可證明，EN 能級(jí)的簡并度為f 1 (N 1)(N 2)(18)N2例如，N=偶數(shù)情況，(對N=奇數(shù),證明類似)(2l 1) 1 (N 1)(N 2)2fNl 0,2, N可以看

6、出，它高于一般中心力場的能級(jí)簡并度.這是由于三位各項(xiàng)同性諧振子場具有比幾何對稱性 SO3更高的動(dòng)力學(xué)對稱性SU3的緣故。76543210N17 / 215 / 213 / 211/ 29 / 27 / 25 / 23 / 23628211510631fN3p, 2f ,1h, 0 j 3s, 2d ,1g, 0i 2p,1f , 0h 2s,1d , 0g1p, 0f1s, 0d 0p0snrlEN ()圖 6.72.直角坐標(biāo)系中求解如采用直角坐標(biāo)系，利用 x2 y2z2r 2,三維各向同性諧振子可以分解成三個(gè)彼此獨(dú)立(相同)的一維諧振子，即H Hx Hy Hz(19)221 x2 2 x22

7、2Hx221 y2 2 y222Hy221 z2 2 z222Hz它的本征函數(shù)可以分離變量，這相當(dāng)于選擇(Hx , Hy , Hz )為守恒量完全集,他們的共同本征態(tài)為n n nx y z(x, y, z) n (x) n( y) n (z),xyznx , ny , nz 0,1, 2, (20)即三個(gè)一維諧振子能量本征態(tài)之積,相應(yīng)的能量本征值為 (n 1 ) (n 1 ) (n 1 )Enxnynzxyz222 (N 3 / 2)，N nx ny nz 0,1, 2,(21)與(14)式相同。類似可求出能級(jí)簡并度，因?yàn)閷τ诮o定N，有nx 0,ny nz N ,N 1,1,1,2,N ,0,

8、N 1, N 2,(n , n)可能xyN 1,N 1,N ,2,1,取值的數(shù)目所以 (nx , ny , nz )可能取值的數(shù)目,即能級(jí)的簡并度,1 2 N (N 1) 1 (N 1)(N 2)2為與(18)式也相同。知道，在能級(jí)有簡并的情況下，定態(tài)波函數(shù)的選取不是唯一的。這相當(dāng)于選擇不同的守恒量完全集。在球坐標(biāo)系中求解得出的本2征函數(shù)(r, ,)是守恒量完全集的共(H , l , lz )nrlm同本征態(tài)，而在直角坐標(biāo)系中求解得出的本征函數(shù) n n nx y z(x, y, z) 則是守恒量完全集(Hx , Hy , Hz )的共同本征態(tài)。它們之間通過一個(gè)幺正變換相聯(lián)系。例如N=1(第一激

9、發(fā)態(tài))有三個(gè)態(tài),可以取為(r, ,),n lm011011010r也可取為 n n n100 , 010 , 001xyz可以證明 0111/0 100 i /i /0222 011 1/0 010 2(22)01 010 001 當(dāng)然，對于基態(tài)(N=0)，能級(jí)是不簡并的。兩種守恒量完全集的共同本征態(tài)應(yīng)該是相同的。事實(shí)上 3/ 2 n 2r2 /2 3/ 4(23)e0,l 0,m0r 1/ 2 2 x2 /2 1/ 2 1/ 4 2 y2 /2 1/ 2 1/ 4 2 z2 /2 eeenx 0,ny 0,nz 0 1/ 4(24)二者完全相同。6.5 二維氫原子和各向同性諧振子6.5.1二

10、維氫原子和類氫離子采用平面極坐標(biāo)，Coulomb勢表示為V ( ) ( Ze2 , Z 1, 2, 3,)(1)Schrdinger方程表示為 1 2 22(2)1 2(E 0,=E態(tài))2 i 是守恒量。取 為守恒量完全集顯然 lz(H , lz )的共同本征態(tài),即令 (,) eim R( )則徑向方程表示為(自然, m 0, 1, 2,， 1)(3) 2E 2 R( ) 0d 22m 1d d d 22(4) 0, 為方程的奇點(diǎn)。在 0 時(shí)，方程(4)漸進(jìn)地表示為d 2m21dd R( ) 0d 22(5)令R s 代入上式，得 m2 0s2s m所以(6)的解是物理可以證明， 0 時(shí)漸進(jìn)行

11、為R |m|上不能接受的，予以拋棄。當(dāng) 時(shí)，方程(4)化為d 21dd 2E R() 0(E 0)d 2(7)可以看出R exp 2E ,但滿足態(tài)邊條件的令(8)(9)解只能是 R exp 2E 。因此，R( ) |m|eu( )其中 2E(E 0)代入式(4),得2d ud 2du1 2 2 2| m | 1 u 0 2| m | (10)(11)d 2令得1 2d ud 2dud 2| m | 1 | m | 1/ 2 u 0 (12)解這正是合流超幾何函數(shù)。它在 0 鄰域的表為 F ( , r, )，相應(yīng)參數(shù) | m | 1 12 2| m | 1(13)態(tài)邊條件要求 n ,n 0,1,

12、 2,(14)因此有 1n | m | 1/ 2代入式(9)，即得出能量本征值，為(自然)1n n | m | 1 1 ,35E ,22n222222相應(yīng)的波函數(shù)(未歸一化)表示為F n, 2 | m | 1, 2 (,) eim |m|e / n2n mn2(16)m 0, 1, 2,n 0,1, 2,n n | m | 1 1 ,35 22222容易證明能級(jí)簡并度為(17)fn 2n2 1, 3, 5,26.5.1二維各向同性諧振子V ( ) 1 2 2(18)2Schrdinger方程為 12 221 21 2 2(E =E0)(19)(20)+ 22 令 (,) eim R( ) 1)

13、則徑向方程表示為(自然d 2m21d (2E ) R( )=0(E 0) d 2d 22 0 時(shí)，變?yōu)?R( )=0d 22m 1dd d 22與式(5)全同，類似R( ) |m|( 0)當(dāng) ，得d 2 2 R( )=0 d 2所以 R() exp 2 / 2,而滿足態(tài)邊條件的解只能取 R() exp 2 / 2 ( ) 。因此，令R() |m| exp 2 / 2 u( )(22)代入式(21)，得 2| m | du2d ud 21 2E 2 | m | 1 u 02(23)(24) d 再令得 2| m | 1d 2uE dudd 21 | m | u 0 2 (25)2上式正是合流超幾

14、何方程.相應(yīng)參數(shù)為 | m | 1 E2 | m | 12(26)類似，要求 | m | 1 E nn 0,1, 2,22因此，二維各向同性諧振子的能量本征值為(自然)E (2n | m | 1)或(27)En (n 1),n 2n | m | 0,1, 2,相應(yīng)的波函數(shù)為(,) eim |m|e2 / 2 F n ,| m | 1, 2 n m不難求出能級(jí) En 的簡并度為fn (n 1) 1, 2, 3,6.6.1三維和二維中心力場的關(guān)系三維中心力場2Schrdinger方程的解通常取為 (H , l, lz )的共同本征態(tài)，即 (r, ,) Rl (r)Ylm ( ,)l 0,1, 2,

15、m l, l 1, l 1, lR(r)滿足徑向方程2 d 2l(l 1)2 d r dr V (r) Rl =ERl22r 2dr(31)對應(yīng)于態(tài)能級(jí)Enl的解記為Rnl (r) ,它們滿足正交歸一條件R*(r)R(r)r 2dr (32)nlnnnl0若令Rnl (r) nl (r) / r(33)則2 d 2l(l 1) V (r) nl =Enl2dr2r 2(34)(35)0而 (r)(r)dr nlnnnl二維中心力場Schrdinger方程的解取為 (H , lz )的共同本征態(tài)，即 (,) R ( )eim , m 0, 1, 2,(36)mR( )滿足徑向方程 V ( ) R

16、 =ERmm m22d 21d d 2d 22(37)能量本征值依賴于 | m | ,對應(yīng)于能級(jí)En|m| 的解記為Rn|m|滿足正交歸一條件R*( )R( )d (38)n|m|nnn|m|0令Rnm ( ) nm ( ) /(39)則22d 2m21 2 V ( ) nm =Enm4 2d 2可改寫成 (m 1/ 2)(m 1/ 2) V (2d 2E)=2d 2nmnm2(40)而(38)式化為0( )( )d *n|m|n|m|nn(41)比較方程(34)與(40)，參數(shù)對應(yīng)關(guān)系應(yīng)為l(l 1) m 1 m 1 2 2 l | m | 12即(42)例1三維各向同性諧振子E (2nr l 3 / 2)(43)把 l m | 1 ,即 2n l 3 / 2 2n | m | 1 ,便得出r2二維各向同性諧振子的能量為E (2n | m | 1),n ,| m | 0,1, 2,(44)例2三維Coulomb場中粒子能級(jí)1E n n l 1,nr2n2(45)把l m | 1，得出二維Coulomb場中粒子能級(jí)211(46)En 2n2 2(