線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1、 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 引言定義（BIBO）證明由H()的極點(diǎn)位置判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性穩(wěn)定性準(zhǔn)則一引言某連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 當(dāng)輸入為(t)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)為 但t 很大時(shí)，這個(gè)正指數(shù)項(xiàng)超過其他項(xiàng)并隨著t 的增大而不斷增大 續(xù) 實(shí)際的系統(tǒng)不會(huì)是完全線性的這樣，很大的信號(hào)將使設(shè)備工作在非線性部分，放大器的晶體管會(huì)飽和或截止，一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)可能停車或發(fā)生故障等。這不僅使系統(tǒng)不能正常工作，有時(shí)還會(huì)發(fā)生損壞危險(xiǎn)，如燒毀設(shè)備等。 穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵(lì)信號(hào)的情況無關(guān)。沖激響應(yīng)和h(t)、H(s)系統(tǒng)函數(shù) 從兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性，所以能從兩個(gè)方面確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。二定義（B

2、IBO） 一個(gè)系統(tǒng)，如果對(duì)任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)有界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定系統(tǒng)。對(duì)所有的激勵(lì)信號(hào)f(t)其響應(yīng)y(t)滿足 則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。式中，穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是（絕對(duì)可積或可和條件）：三證明（以連續(xù)系統(tǒng)為例）對(duì)任意有界輸入f(t)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：充分性充分性得證必要性必要性得證。四由H(s)、 H(z) 的極點(diǎn)位置判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性例 7.2-2 如圖7.2-4所示的離散系統(tǒng)，當(dāng)K滿足什么條件時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？ 五. 連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則（羅斯準(zhǔn)則）羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則設(shè)n階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 式中，mn，ai(i=0, 1

3、, 2, , n)、bj(j=0, 1, 2, , m)是實(shí)常數(shù)。H(s)的分母多項(xiàng)式為 H(s)的極點(diǎn)就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，則A(s)稱為霍爾維茲多項(xiàng)式。 A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條件是：A(s)的各項(xiàng)系數(shù)ai都不等于零，并且ai全為正實(shí)數(shù)或全為負(fù)實(shí)數(shù)。若ai全為負(fù)實(shí)數(shù)，可把負(fù)號(hào)歸于H(s)的分子B(s)，因而該條件又可表示為ai0。顯然， 若A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式， 則系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項(xiàng)式為霍爾維茲多項(xiàng)式的準(zhǔn)則，稱為羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則(R-H準(zhǔn)則)。羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)

4、則)。 羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項(xiàng)式為霍爾維茲多項(xiàng)式的準(zhǔn)則，稱為羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則 (R-H準(zhǔn)則)。羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)則)。 若n為偶數(shù)，則第二行最后一列元素用零補(bǔ)上。羅斯陣列共有n+1行(以后各行均為零)，第三行及以后各行的元素按以下規(guī)則計(jì)算： 羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)則) 指出： 多項(xiàng)式A(s)是霍爾維茲多項(xiàng)式的充分和必要條件是羅斯陣列中第一列元素全為正值。 若第一列元素的值不是全為正值， 則表明A(s)=0在右半平面有根， 元素值的符號(hào)改變的次數(shù)(從正值到負(fù)值或從負(fù)值到正值的次數(shù))等于A(s)=0在右半平面根的數(shù)目。根據(jù)羅斯準(zhǔn)則和霍爾維茲多

5、項(xiàng)式的定義，若羅斯陣列第一列元素值的符號(hào)相同(全為正值)，則H(s)的極點(diǎn)全部在左半平面， 因而系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 若羅斯陣列第一列元素值的符號(hào)不完全相同， 則系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。 綜上所述，根據(jù)H(s)判斷線性連續(xù)系統(tǒng)的方法是：首先根據(jù)霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條件檢查A(s)的系數(shù)ai(i=0, 1, 2, , n)。 若ai中有缺項(xiàng)(至少一項(xiàng)為零)，或者ai的符號(hào)不完全相同，則A(s)不是霍爾維茲多項(xiàng)式， 故系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。若A(s)的系數(shù)ai無缺項(xiàng)并且符號(hào)相同，則A(s)滿足霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條件，然后進(jìn)一步再利用羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 判斷三個(gè)系統(tǒng)是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。 例 4.8

6、-2 已知三個(gè)線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為 解 H1(s)的分母多項(xiàng)式的系數(shù)a1=0，H2(s)分母多項(xiàng)式的系數(shù)符號(hào)不完全相同，所以H1(s)和H2(s)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。H3(s)的分母多項(xiàng)式無缺項(xiàng)且系數(shù)全為正值，因此，進(jìn)一步用R-H準(zhǔn)則判斷。H3(s)的分母為 A3(s)的系數(shù)組成的羅斯陣列的行數(shù)為n+1=4，羅斯陣列為 根據(jù)式(4.8 - 20)和式(4.8 - 21)， 得 因?yàn)锳3(s)系數(shù)的羅斯陣列第一列元素全大于零，所以根據(jù)R-H準(zhǔn)則，H3(s)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。 六.離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則（朱里準(zhǔn)則） 朱里提出了一種列表的方法來判斷H(z)的極點(diǎn)是否全部在單位圓內(nèi)，這種方法稱為朱里準(zhǔn)則。朱里準(zhǔn)則是根據(jù)H(z)的分母A(z)的系數(shù)列成的表來判斷H(z)的極點(diǎn)位置，該表又稱朱里排列。 設(shè)n階離散系統(tǒng)的 A(z)為 朱里排列如下： 朱里排列共有(2n-3)行。第1行為A(z)的各項(xiàng)系數(shù)從an到a0依次排列，第2行是第1行的倒排。若系數(shù)中某項(xiàng)為零，則用零替補(bǔ)。第3行及以后各行的元素按以下規(guī)則計(jì)算： 朱里準(zhǔn)則是: A(z)=0的根，即H(z)的極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)的充分和必要條件為 各奇數(shù)行，其第一個(gè)元素必大于最后一個(gè)