專題37 X型相似問題(原卷版)

1、專題37（雙）X型相似問題【規(guī)律總結(jié)】已知：ZABD=ZACD結(jié)論：相似三角形：相似三角形：【典例分析】例1. （2020-渠縣第二中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)。，E是BC的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)F，若DE 12，則DF等于（）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】D【分析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，E是BC中點(diǎn)，所以CE= 1 AD,由相似三角形的判定定理得出CEF00ADF，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得出.【詳解】 解：四邊形ABCD是正方形，E是BC中點(diǎn)，1CE= AD，2AD0BC，ADF=0DEC，0AFD=0EFC，CEF00ADF，EFD

2、F12 - DFDF解得DF=8, 故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，先根據(jù)題意判斷出SCEFADF，再 根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵.例2. （2020山東九年級(jí)二模）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C，D重合），AM，AN分別交BD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且0MAN=45，AF J2 -則下列結(jié)論：MN=BM+DN；0AEF幽BEM；而=項(xiàng)；I3FMC是等腰三角形.其中正確的是.（填寫正確序號(hào)）AD【答案】【分析】將ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ADM，根據(jù)正方形的性質(zhì)和且MAN=45可證明

3、MN=BM+DN；根據(jù)BD是正方形ABCD的對(duì)角線，推出EBMWMAN=45，于是得IAEFBEM；根據(jù)相似三角形的判定定理得到AEBFEM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到EMFWABE=45。，推出AFM是等腰直角三角形，于是得到4 空；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=CF，AM 2等量代換得到FMC是等腰三角形.【詳解】將ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ADM，MAD=MAB， AM=AM， BM=DM，MAN=45，DAN+MAB=45，MAN=DAN+MAD=DAN+MAB=45，在0AMN 和AMN 中，AM = AM AM AN = /MAN = 45。， AN = ANAMNAMN (SAS

4、),MN=NM，MN=MD+DN=BM+DN，MN=BM+DN ；故正確；BD是正方形ABCD的對(duì)角線，EBM=45，MAN=45，EBM=0MAN=45，AEF =0BEM，AEF00BEM，故正確；AE EFAE BE=，即=BE EMEF EMAEBWMEF，AEBFEM，EMFWABE=45，MAN=45，AFM是等腰直角三角形，AFaM故正確;在0ADF 與0CDF 中， ZADF = ZCDF = 45 , DF = DFADF00CDF (SAS),AF=CF,AF=MF,FM=FC,FMC是等腰三角形，故正確；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判

5、定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性 質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.例3. （2021上海青浦區(qū)九年級(jí)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC = 8，點(diǎn)E、F 是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE = EF = FD, AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G , GF的延長(zhǎng)線 交AD于點(diǎn)H .B QC求HD的長(zhǎng)； （2）設(shè)ABGE的面積為a，求四邊形AEFH的面積.（用含a的代數(shù)式表示）7 a【答案】HD = 2 ；（2）S四邊形心廣項(xiàng) 【分析】 （1）由0ADE00GBE，可求出BG的長(zhǎng)，再由0HDF00GBF，即可求出HD的長(zhǎng);1(2)由0ADE00GBE，可求出 S0ADE=4S0

6、BGE=4a，再由0HDF00GBF，即可求出 S0DHF= 4 S0BGF，由1三角形的面積公式可求出S0DHF= - S0BGF，進(jìn)而可求四邊形AEFH的面積.【詳解】 解：（1） 四邊形ABCD是平行四邊形， AD/BC, AD=BC=8,ADE00GBE，ADBGDEBE BE = EF = FD1BG= AD=4.2AD/BC，HDFGBF，HD DF= 一BG BF BE = EF = FDHD= - BG=2；2(2) ADEGBE， BE = EF = FDADE=4SBGE=4a.HDFGBF，S = - S .DHF 4 Q0BGR. BE EFS0BGF-2S0BGE，

7、S0DHF= 2 S0BGE= 2 3, S四邊形AEFH【點(diǎn)睛】 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性 質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.【好題演練】一、單選題1. （2018-河南九年級(jí)其他模擬）如圖，AB是半圓O的直徑，半徑OC0AB于點(diǎn)O,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接CD、OD.下列四個(gè)結(jié)論：AC/ OD；CE=OE；MDEEEADO；0ADC5BOD.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.B.C.D.2. （2020-河北九年級(jí)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB0AD, ADI3BC,且AB=BC=4, AD=2,點(diǎn)E是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF0BC交AD于點(diǎn)F,將四

8、邊形ABCD沿EF所在直線折疊，若兩邊重疊部分的面積為3,則BE的長(zhǎng)為（）4，一D.-或4+寸33A. 4或4-.3 B. 4-、：3二、填空題3. （2020-上海浦東新區(qū)九年級(jí)三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3, BC=4,將矩形ABCD 繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、B、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為Af、B、D，當(dāng)Af落在邊CD的延長(zhǎng)線上時(shí)， 邊Af D與邊AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CF，那么線段CF的長(zhǎng)度為.AL)4. （2020江蘇揚(yáng)州市九年級(jí)一模）如圖，把一個(gè)等腰直角三角形放在平面直角坐標(biāo)系中，k0ACB=90，點(diǎn)C （-1，0），點(diǎn)B在反比例函數(shù)J = 一的圖像上，且y軸平分0BAC，則k的值三、解答題5. (2021-全國(guó)九年級(jí))已知如圖，這正方形ABCD中，AB=4, M是邊AD的中線，E是邊 AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，GM0EM交邊DC于點(diǎn)P，交邊BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,延長(zhǎng)EM交邊CD的 延長(zhǎng)線與F,聯(lián)結(jié)FG求證：0AME國(guó)CPG；設(shè)A，E兩點(diǎn)的距離為x，0CFG的面積為y，求x，y之間的函數(shù)關(guān)系式及定義域；當(dāng)0PFG時(shí)等腰三角形時(shí)，求A