點集拓撲講義ppt.1

1、點集拓撲學主講人：吳洪博1精選版課件ppt第一章 集合論初步 1.2 關系,等價關系1.1 集 合1.3 映 射1.4 集族及其運算 1.5 可數(shù)集，不可數(shù)集1.6 基 數(shù)2精選版課件ppt1.1 集 合重點:熟悉有關集合的等式和性質(zhì)難點:有關集合的有限笛卡爾積的等式和性質(zhì)3精選版課件ppt 集合一詞，我們在高中階段已經(jīng)接觸過，在那里，集合是指具有某種屬性的對象的全體.在這里，我們?nèi)圆捎脤系倪@種直觀的描述性定義，以后我們還將經(jīng)常遇到像這樣直觀的描述性定義或一些直觀的結(jié)論.雖然這樣做邏輯性差一些，不及公理集合論的嚴密性，但這樣做卻是我們易于理解和接受的，不致使讀者陷入邏輯困惑之中，從而盡快地

2、進入拓樸學基礎的學習程序.4精選版課件ppt定義1.1.1 對于兩個集合A,B,如果A的每個元素都是集合B的元素,我們稱A包含于B,或B包含A,或A是B的子集,記作 .如果 ，而且存在使得 ，稱A是B的真子集，記作 .如果，同時記作A=B.，稱集合A與集合B相等，5精選版課件ppt不含任何元素的集合稱為空集，用符號 表示.規(guī)定空集是任意集合的子集.含有有限個元素的集合叫做有限集，不是有限集的集合叫做無限集.6精選版課件ppt定義1.1.2 給定集合A,B,由A與B的全部元素構成的集合叫做A與B的并集,記作 .用描述法表示是: .定義1.1.3 給定集合A,B,由A和B的公共元素構成的集合叫做A

3、與B的交集,記作 .用描述法表示就是: 而且 .7精選版課件ppt定義1.1.4 給定集合A,B，把由屬于A而不屬于B的元素構成的集合叫做A與B的差集,記作 .用描述法表示是 .而此時可稱B為全集，全集在一個問題中是事先指定的或者是不言自明的.如果 , 稱 為A在B中的補集，記作 .8精選版課件ppt對于集合之間的運算，有時用圖象表示更直觀一些.在下面的圖1.1.1中，我們用兩個圓分別表示集合A,B，而用陰影部分表示兩個集合運算的結(jié)果.圖1.1.19精選版課件ppt觀察圖1.1.1我們不難得出下面的等式:這樣做的好處在于將并集 轉(zhuǎn)化成互不相交的集合并集.該集合等式也可以用定義證明.10精選版課

4、件ppt集合中的運算律 設X是全集，A，B，C是X的子集，則以下運算律成立：(1)交換律 (2)結(jié)合律 (3)零元,單位元 (4)吸收律 11精選版課件ppt(5)分配律 (6)冪等律 (7)對合律 (8)對偶律 (9)互補律 12精選版課件ppt以上運算定律由定義或作圖不難驗證,我們僅以對偶律的驗證為例,其余讀者自己完成.圖1.1.213精選版課件ppt.圖(a)中陰影部分表示 ,圖(b)中右斜線表示，左斜線表示 . 由圖1.1.2可得： . 定義1.1.5 對給定的非空集合 我們把由二元有序?qū)?(其中 ) 構成的集合叫做X與Y的笛卡 用描述法表示是:爾積，記作 14精選版課件ppt其中x是

5、第一個坐標,y是第二個坐標,X稱為第一個坐標集,Y稱為第二個坐標集.特別地，記 為 稱為X的二重笛卡爾積.對于有序?qū)暗芽柗e，讀者并不陌生，我們學過的笛卡爾直角坐標系中的點就是有序數(shù)對 ,因而整個直角坐標系平面就是集合R的二重笛卡爾積R 2 (R表示實數(shù)集合).15精選版課件ppt雖然對于任意給定集合,它們的元素不必有序,但我們可以把集合的元素串在一起,這樣就可用線段或直線表示集合.進而將集合的笛卡爾積就可用“平面圖形”直觀的表現(xiàn)出來. 例1.1.1 設 由下面的圖1.1.3很容易得16精選版課件ppt（A-B）（C-D）圖1.1.3該集合等式也可用定義證明,其過程讀者自己做為練習完成.17

6、精選版課件ppt習題 1.1 1. 試判斷下列關系式的正確與錯誤 的元素. 2. 設都是集合，其中,證明：如果, 則 3. 設，即X有 個互不相同的元素，X的冪集P (X)有多少個互不相同4. 設， 用列舉法給出P (X).5. 設A，B是集合，證明 的充要條件是 ,， 的充要條件是.且 18精選版課件ppt6. 設A，B都是集合,證明:若，則.；7. 設某一個全集已經(jīng)給定，證明 若，并且 ，則 8. 設A，B，C，D是全集X的子集,試判斷下列命題的正確性.若正確，給出證明，若不正確，給出反例. 若， 則 若 ，則 19精選版課件ppt，9. 設A，B，C表示集合，試用A，B，C及集合運算符號

7、表示下面集合.， 20精選版課件ppt1.2 關系,等價關系 重點：熟悉關系像，逆關系，復合關系和 等價關系的性質(zhì)難點：對命題演算知識的欠缺將影響性質(zhì) 證明的嚴謹性21精選版課件ppt定義1.2.1 設X,Y是兩個集合,如果,即R是X的一個子集,則稱R是從X到Y(jié)的與Y的笛卡爾積 一個關系. 定義1.2.2 設R是從集合X到集合Y的一個關系,即.(1)如果,則稱x與y是R相關的,并且記作xRy; ,則稱Y的子集(2)如果 存在使得A的象集,或者稱為集合A的R象,R(X)稱為關系R的值域; 為集合A相對于關系R而言的象集,或者簡單地稱為集合22精選版課件ppt(3)如果,則稱X的子集:存在使得為集

8、合B相對于R稱為關系R的定義域.的原象集,或者簡單地稱為集合B的原象,或者稱為集合B的R原象,關系，一個是自身，一個是進行簡單地考查. 關系是一個外延十分廣泛的概念.讀者很快便會看到在數(shù)學學科中學過的映射，等價,運算，序等概念都是關 系的特例，這里有兩個特別簡單的從集合X到集合Y的，請讀者自己對它23精選版課件ppt定義1.2.3 設R是從集合X到集合Y的一個關系,即,這時笛卡爾積的子集: 是從集合Y到集合X的一個關系，我們稱它為關系R的 逆，因此 當且僅當 . 顯然，若，集合B相對于關系R-1的象集就是集合B相對于關系R的原象集.特別地關系R-1的值域就是關關系R的定義域.24精選版課件pp

9、t集合 定義1.2.4 設R是從集合X到集合Y的一個關系,S是從集合Y到集合Z的一個關系,即存在使得是笛卡爾積. 當且僅當存在使得因此 顯然，當且僅當系R與關系S的復合,記作的一個子集,即從到 的一個關系,稱此關系為關25精選版課件ppt定理1.2.1 設R是從集合X到集合Y的一個關系,S是從集合Y到集合Z的一個關系,T是從集合Z到集合U的 一個關系,則(1) (2)(3) 26精選版課件ppt 證明：(1)當且僅當,當且僅當,而這當且僅當,這又當且僅當于是我們證明了. (2)和(3)的證明類似于(1)，可根據(jù)定義直接驗證,請讀者 自己完成.27精選版課件ppt定理1.2.2 設R是從集合X到

10、集合Y的一個關系,S是從A和B,我們有:集合Y到集合Z的一個關系,則對于X中的任意兩個子集 (1) (2) (3) (4) 28精選版課件ppt， ， ，僅當存在或存在，,當且僅當 . , ，證明(1)當且僅當存在使得當且僅當存在或存在使得當且 . 或，當且僅當于是 我們證明了 .(2) 設，則存在使得即存在 ，使得 因此29精選版課件ppt(3)由于當且僅當存在使得當且僅當存在使得 (存在使得當且僅當存在使得. )，(4)設,即. 因此存在，使得. 此時假設，由于，因此， 這與 矛盾，因此因此存在 ，因此， 30精選版課件ppt定義1.2.5 設X是一個集合,從集合X到集合X的一個稱為恒同關

11、系，或恒同、對角線.記作或.關系簡稱為集合X中的一個關系.集合X中的關系:定義1.2.6 設R是集合X中的一個關系,如果即對于任意,有,則稱關系R為自反的; 如果 ,即對于任何,如果,則 則稱關系R為對稱的; 如果,即對于任何31精選版課件ppt和不能同時成立,則稱 關系R為非對稱的;如果,即對于任何,如果 ，則 ，則稱關系R是傳遞的.定義1.2.7 設R是集合X中的一個等價關系.集合X中的兩個元素x,y,如果滿足條 件:xRy,則稱x與y是R等價的, 或簡稱等價的;對于每一個 ,集合X中的子集稱為x的R等價類或等價類,記作或,并且任何一個 都稱為R等價類的一個代表元素; 32精選版課件ppt

12、(1)如果則 , 因而.由等價類組成的集合 稱為集合X相對于.等價關系R而言的商集,記作 .定理1.2.3 設R是非空集合X中的一個等價關系,則:(2)對于任意或者，或者證明：設由于R是自反的，所以，因此因而.33精選版課件ppt有(2)對于任意,如果,設,如圖1.2.1,因此必 ,又由于R,又由于R是傳遞的,所以 .是對稱的,所以34精選版課件ppt 對于任何一個 有 ，由上述 以及R的傳 . ，由 定義即得 .因此證明了遞性可得 同理可證 .因此 .例1.2.1 給出平面上的一個關系 ,的意義是指 和 到原點 的距離相等,容易驗證是平面 上的一個等價關系. 相對于等價關系而言的商集 為，

13、35精選版課件ppt即商集是由單點集和以原點為中心的所有圓周組成的集合.習 題 1.2 1. 設 ， , ，. 試求的值域，R的定義域.2. 設R是從集合X到集合Y的一個關系,證明下列條件等價:(1) 對于任意 ，36精選版課件ppt(2) 對于任意 ，.限制定義為 ，證明:一個等價關系的限制仍是等價關系.3. 設C是X上的一個關系， ，關系C在上的4. 設R是集合X中的一個對稱的，傳遞的關系.證明R是一個等價關系當且僅當R的定義域為X.5. 設R1，R2是集合X中的兩個等價關系，證明仍是集合X中的一個等價關系當且僅當.6. 實數(shù)集合R中的一個關系定義為：37精選版課件ppt 證明關系R是實數(shù)

14、集合R上的一個等價關系，并且 ，即給出實數(shù)集R關于關系R的商集.給出38精選版課件ppt1.3 映 射重點：熟悉由映射所誘導的逆關系得所有性質(zhì)難點：對映射的逆關系性質(zhì)的理解39精選版課件ppt定義1.3.1 設f是從集合X到集合Y的一個關系,即 ,如果對每一個使得果 f 滿足：(1) 即對 存在.使得xfy；那么稱關系f是從集合X到集合Y的一個映射.(2)設,如果對于有xfy1和xfy2,則y1=y2. , 則稱關系 f 是從集合X到集合Y的一映射,并且記作換言之，設 如40精選版課件ppt定義1.3.2 設X和Y是兩個集合, ,即使得xfy的是從集合X到集合Y的映射,對每個唯一元素 稱為x的

15、象或值,記作f(x)，即y=f(x);（值得注意的是 可以沒有原象,也可以有不止一個原象 不必是單元素集, 有時也記作 .x是y的一個原像.對于 ,如果存在使得xfy(即y是x的象),則稱41精選版課件ppt由于映射是滿足一定條件的關系，因此如果即f是從集合X到集合Y的映射， ，則都是有意義的.(1) |存在 ,使得并稱f(A)為A在映射f下的象. 并稱 為B在映射f下的原象.(2)(4)f(X)叫映射f的值域.(3) (Y)=X,即映射f的定義域是X.42精選版課件ppt (6) f -1作為Y到X的關系有定義,但一般說來f -1不是一個從Y到X的映射.,則關系f和g的(5)如果Z是一個集合

16、并且復合 作為從X到Z的關系有定義.定理1.3.1 設X、Y、Z都是集合，如果f是從集合X 到集合Y的映射，g 是從集合Y 到集合 Z 的映射，則f和g關系的復合 是從集合X到集合Z的映射，并且對于任何 ，有 43精選版課件ppt證明：第一步驗證復合關系是映射.再結(jié)合定理1.2.2(3)得(1)由于 ， ,因此根據(jù)定理1.2.1得.)()(1111ZgfZgf-=o因此，.(2)對 ,設 使得 因此，存在 ,使得由 和 得 由 和 以及 得因此， 是從X到Z的映射. 44精選版課件ppt .如果定理1.3.2 設 和 是兩個集合, ，則(2)(3)簡單地說，設，則 保持交，并，差運算.(1)

17、第二步證明,這由定理1.2.2 (3)直接可證.45精選版課件ppt證明：(1)由于是關系 的逆關系,因此由定理 1.2.2 直接可得(2)由于 是關系,由定理1.2.2 可得,因此,這就證明了因此,因此得,由;又設得,由)(1Bfx-46精選版課件ppt(3)由于 ,當且僅當 ,當且僅當 ,當且僅當當且僅當 ,因此需要說明兩點：設 ，則 f 是保并運算.(見定理1.2.2),但f不必是保交或保差運算; 其逆關系R-1是保并運算(見定理1.2.2),但R -1不必是保差或保交運算.其中原因留給讀者自己思考.對于一般關系47精選版課件ppt 定義1.3.3 設X和Y是兩個集合,. 如果f(X)=

18、Y，即對任意 , 存在 使得 (也就是xfy), 則稱f是一個滿射,或者稱f為從X到Y(jié)上的映射;如果對于 X中任意互異的兩點x1,x2一定有(換言之,如果 ,一定有x1=x2). 則稱f是一個單射;如果f即是一個單射又是一個滿射,則稱f是一個一一映射.的映射.并且當 時，稱f是一個取常值如果f(X)是一個單元素集，則稱f是一個常值映射 48精選版課件ppt根據(jù)下面的定理1.3.3,一一映射又稱為可逆映射.),并且也是一一映射,此外還有如果f是個一一映射，則其逆關系f-1便是從Y到X的映射(因此可以寫作 定理1.3.3 設X和Y是兩個集合,又設. 的映射，即證明了Y到X 是從由定義1.3.1知

19、是單射，因此有 ,由于 則有x1fy，x2fy，因此 使得證明: 是一個映射.由于 是滿射，因而由定理1.2.1得 ,又設存在49精選版課件ppt,因此由定義1.3.1有 是滿射.由于f是映射因此 是滿射.是單射.若存在使得即,因此由逆關系定義 ,由于是映射，因此有.對于任意,設，由定理1.2.2有因此有由于是單射,因此有因此對于任意有,這就證明了50精選版課件ppt ,對于, 令 ,由定理1.2.2得 .因此 ,由于已證 是單映射因此有 ,亦對任意 ,因此 是滿射;如果f定理1.3.4 設 都是集合,如果 和 都是滿射,則和g都是單射,則 也是單射.因此如果f和g都是一一映射，則 也是一一映

20、射.證明：結(jié)合定理1.3.1和單射、滿射定義容易證明, 本定理,略.51精選版課件ppt定義1.3.4 設X和Y是兩個集合, .映射 和 如果滿足條件 ,即:即對于有 ,則稱映射g是映射f的限制,或稱f是g的擴張,記作 .特別地,恒同映射 在子集A上的限制 稱為內(nèi)射. 從關系出發(fā)定義映射的本意使得我們在本書的理論體系中除了“集合”和“元素”不再有任何未定義對象.但是，如果每次定義一個映射都要將映射寫成它的定義域與值域的笛卡爾積的一個子集，畢竟是件不太方便的事，因此在定義映射時仍采用我們習慣的方法：對定義域中的每一個元素指定值域中的唯一一個元素作為它的象.52精選版課件ppt定義1.3.5 設

21、兩個給定集合，從笛卡爾積到它的第i個坐標集的投射(或稱第i個投射) 定義為對于每一個事實上，第i個投射pi關系定義便是容易驗證pi是一個滿映射.定義1.3.6 設是集合X中的一個等價關系.從集合X到它的商集 的自然投射定義為對于每一個 這個自然投射用關系定義便是：53精選版課件ppt習 題 1.3 1. 設 是一個滿射,關系 定義為： 證明 R是X上的一個等價關系. 證明存在滿射 (其中 是X關于R的商集).其中 是 的簡寫. 2. 設X是一個給定集合，定義為稱其為A與B的對稱差.證明集合的對稱差滿足交換群公理,即設 則 (1) (2) (3) 存在集合-A，使得(4) 54精選版課件ppt4

22、.設 是兩個集合，,證明下列條件等價: f是單射. 對于任意 ). 對于任意3. 設X和Y是兩個集合, ,證明 對于任意 ,而且如果 是一個單射,則,而且如果f是一個滿射,則 對于任意 , 對于任意55精選版課件ppt 定義映射 ,使得對任意 有 在什么情況下 是滿射？在什么情況下 是單射？ 設 ，寫 出集合 6. 設 是兩個集合，,定義映射,使得對任意 有 (2)證明：(1) 和 都是單射; (3) (4) 為取常值a的映射,為取常值b的映射.5. 設 和 是兩個集合, 是第i 個投射 其中56精選版課件ppt 構造一個函數(shù)f使它有右逆，但沒有左逆. 使得7. 設 是兩個集合，.若存在，則稱h為f 的左逆，若存在 ,使得，則稱g是f是右逆. 證明:如果f有左逆，則f是單射，如果f是右逆，則f是滿射. 能否構造一個函數(shù) f 使其有兩個左逆. 若函數(shù)f 即有左逆元h，又有右逆元g，則是f一一映射，且57精選版課件ppt1.4 集族