新高考高考數(shù)學一輪復習鞏固練習7.7第62練《立體幾何小題易錯練》（解析版）

1、第62練立體幾何小題易錯練1設a，b，c表示三條互不重合的直線，表示兩個不重合的平面，則使得“ab”成立的一個充分條件為()Aac，bcBa，bCa，a，bDb，c，ac答案C解析A項，ac，bc，則a，b可能平行、異面、相交，不是ab的充分條件；B項，a，b，則a，b可能平行、異面、相交，不是ab的充分條件；C項，a，a，b，由線面平行的性質(zhì)可知ab，是ab的充分條件；D項，b，c，ac，則a，b可能平行、異面、相交，不是ab的充分條件2已知直線m，n和平面，滿足mn，m，則()An Bn或nCn Dn或n答案D解析如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，記平面ABCD為，平面ADD1

2、A1為，BB1所在直線為m，若n為B1C1，滿足mn，顯然n，n，所以A，C錯誤；若n為A1B1，滿足mn，顯然n，所以B錯誤；對D，n或n，顯然滿足題意，若n與交于點P，點Q為直線n上不同于點P的另外一點，連接PB，因為m，PB，所以mPB，又mn，而n與PB交于點P，所以m平面PBQ，又因為m，于是過點B存在兩個不同的平面與m垂直，矛盾，所以D正確3已知角的兩邊和角的兩邊分別平行，且20，則等于()A20 B160C20或160 D不能確定答案C解析因為角的兩邊和角的兩邊分別平行，所以，相等或者互補，所以20或160.4.如圖，正方形OABC的邊長為1 cm，它是水平放置的一個平面圖形的直

3、觀圖，則原圖形的周長是()A8 cm B6 cmC2(1eq r(3) cm D2(1eq r(2) cm答案A解析由直觀圖知原圖形是平行四邊形OABC，如圖，OAOA1，OBOA，OB2OB2eq r(2)，ABeq r(122r(2)2)3，所以平行四邊形OABC的周長是8 cm.5已知在正方體ABCDA1B1C1D1中，P，M為空間任意兩點，如果eq o(PM,sup6()eq o(PB1,sup6()7eq o(BA,sup6()6eq o(AA1,sup6()4eq o(A1D1,sup6()，那么點M必()A在平面BAD1內(nèi)B在平面BA1D內(nèi)C在平面BA1D1內(nèi)D在平面AB1C1內(nèi)

4、答案C解析因為eq o(PM,sup6()eq o(PB1,sup6()7eq o(BA,sup6()6eq o(AA1,sup6()4eq o(A1D1,sup6()eq o(PB1,sup6()eq o(BA,sup6()6eq o(BA1,sup6()4eq o(A1D1,sup6()eq o(PB1,sup6()eq o(B1A1,sup6()6eq o(BA1,sup6()4eq o(A1D1,sup6()eq o(PA1,sup6()6(eq o(PA1,sup6()eq o(PB,sup6()4(eq o(PD1,sup6()eq o(PA1,sup6()11eq o(PA1,s

5、up6()6eq o(PB,sup6()4eq o(PD1,sup6()，所以M，B，A1，D1四點共面6.如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB1，AA1eq r(3)，點E為AB上的動點，則D1ECE的最小值為()A2eq r(2)B.eq r(10)C.eq r(5)1D2eq r(2)答案B解析如圖，連接D1A，C1B并分別延長至F，G，使得AFAD，BGBC，連接EG，F(xiàn)G，四棱柱ABCDA1B1C1D1為正四棱柱，AB平面ADD1A1，AB平面BCC1B1，ABAF，ABBG，又ABADAF，四邊形ABGF為正方形，EGeq r(BE2BG2)eq r(BE2BC2)CE

6、，D1ECE的最小值為D1G，又D1Geq r(D1F2FG2)eq r(91)eq r(10)，D1ECE的最小值為eq r(10).7我國古代數(shù)學名著九章算術中“開立圓術”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑“開立圓術”相當于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式deq r(3,f(16,9)V).人們還用過一些類似的近似公式根據(jù)3.141 59判斷，下列近似公式中最精確的一個是()Adeq r(3,f(16,9)V) Bdeq r(3,2V)Cdeq r(3,f(300,157)V) Ddeq r(3,f(21,11)V)答案D解析球的體積Veq f(4,3

7、)eq blc(rc)(avs4alco1(f(d,2)3，d3eq f(6,)Veq f(3,f(,2)V.3.141 59，eq f(,2)1.570 79.記d1eq r(3,f(16,9)V)，deq oal(3,1)eq f(16,9)Veq f(3,f(27,16)V；d2eq r(3,2V)，deq oal(3,2)2Veq f(3,1.5)V；d3eq r(3,f(300,157)V)，deq oal(3,3)eq f(3,1.57)V；d4eq r(3,f(21,11)V)，deq oal(3,4)eq f(3,f(11,7)V.eq f(27,16)1.688，eq f(1

8、1,7)1.571，在eq f(27,16)，1.5,1.57，eq f(11,7)中，eq f(11,7)最接近eq f(,2).d4更精確8(2022杭州模擬)已知正三棱錐的底面邊長為2eq r(3)，高為eq r(3)，則三棱錐的內(nèi)切球的表面積為()A4 B.eq f(1,3) C.eq f(4,3) D3答案C解析如圖所示，設正三棱錐為PABC，設O為三棱錐的內(nèi)切球的球心，D為正ABC的中心，所以PD為正三棱錐的高，PDeq r(3)，設E是AB的中點，正三棱錐的底面邊長為2eq r(3)，所以CEeq r(CB2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)AB)2)eq r(12

9、3)3，DEeq f(1,3)CE1，因為PD為正三棱錐的高，所以PEeq r(PD2DE2)eq r(31)2，由正三棱錐的性質(zhì)可知SPABSPACSPCBeq f(1,2)2eq r(3)22eq r(3)，SABCeq f(1,2)2eq r(3)33eq r(3)，VPABCeq f(1,3)3eq r(3)eq r(3)3，設內(nèi)切球的半徑為r，VPABCVOABCVOPBCVOPBAVOPACeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)3r(3)3f(1,3)2r(3)r3，解得req f(r(3),3)，所以三棱錐的內(nèi)切球的表面積為4eq blc(rc)(avs4alco

10、1(f(r(3),3)2eq f(4,3).9(多選)如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB1，AA1eq r(3)，若APAC，0,1，則()A當eq f(1,2)時，D1PA1C1B直線BP與平面A1BC1所成角的最大值大于eq f(,3)C當平面PB1D1截直四棱柱所得截面面積為eq f(15,8)時，eq f(3,4)D四面體A1C1DP的體積為定值答案ABD解析當eq f(1,2)時，P為AC的中點，連接A1C1，D1P，B1D1，BD(圖略)，則A1C1B1D1，因為BB1平面A1B1C1D1，所以BB1A1C1，又B1D1BB1B1，B1D1，BB

11、1平面BDD1B1，所以A1C1平面BDD1B1，因為D1P平面BDD1B1，所以D1PA1C1，A正確；因為四棱柱ABCDA1B1C1D1為直四棱柱，所以ACA1C1，因為AC平面A1BC1，A1C1平面A1BC1，所以AC平面A1BC1，則點P到平面A1BC1的距離等于點A到平面A1BC1的距離設點A到平面A1BC1的距離為d，則，即eq f(1,3)deq f(1,3)eq f(1,2)1eq r(3)1，所以eq r(2)eq r(22blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)2)deq r(3)，所以deq f(r(21),7).設直線BP與平面A1BC1所成的角為，eq

12、 blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)，因為點P到平面A1BC1的距離為定值，所以當BP最小，即P為AC的中點時，直線BP與平面A1BC1所成的角最大，此時BPeq f(r(2),2)，所以sin eq f(r(42),7)，因為sin2eq f(6,7)eq f(3,4)，所以eq f(,3)，B正確；當eq f(3,4)時，點P為AC上靠近點C的四等分點，則平面PB1D1截四棱柱所得截面為等腰梯形B1D1EF，如圖，易知EFeq f(1,2)BDeq f(r(2),2)，等腰梯形B1D1EF的高heq r(r(3)2blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),4)2)eq

13、 f(5r(2),4)，所以梯形B1D1EF的面積為eq f(1,2)eq f(3,2)B1D1heq f(15,8)，由幾何體的對稱性可知，當平面PB1D1截直四棱柱所得截面面積為eq f(15,8)時，eq f(1,4)或eq f(3,4)，C錯誤；由上可知，AC平面A1C1D，所以點P到平面A1C1D的距離恒為定值，因為A1C1D的面積為定值，所以四面體A1C1DP的體積為定值，D正確10(多選)(2022沈陽模擬)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，點M，N，P分別是平面ADD1A1，平面CDD1C1，平面ABCD的中心，點Q是線段A1C1上的動點，則下列結論正確的是()A

14、PN與A1C1所成的角為eq f(,3)BD點到平面MNP的距離為eq f(r(3),3)aC三棱錐MNPQ的體積為定值eq f(1,24)a3D直線DQ與平面A1ACC1所成角的正切值的最大值為eq f(1,2)答案ABC解析如圖所示，連接C1D，NP，BD，A1B，BC1，QP，QD，則點N是C1D的中點，點P是BD的中點，則NPC1B，故PN與A1C1所成的角即C1B與A1C1所成的角，即A1C1B，又A1C1BC1A1Beq r(2)a，則A1C1Beq f(,3)，故A正確；NPeq f(1,2)BC1eq f(r(2),2)a，同理知MNMPeq f(r(2),2)a，又DMDND

15、Peq f(r(2),2)a，則三棱錐DMNP為棱長為eq f(r(2),2)a的正四面體，則易知點D到平面MNP的距離為eq f(r(3),3)a，故B正確；易知MNAC，ACA1C1，則MNA1C1，A1C1平面MNP，即A1C1平面MNP，又點Q是線段A1C1上的動點，則點Q到平面MNP的距離為定值，且與點A1到平面MNP的距離相等，而M為A1D的中點，則點A1到平面MNP的距離與點D到平面MNP的距離相等，為eq f(r(3),3)a，故三棱錐MNPQ的體積VMNPQVQMNPeq f(1,3)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)a)2sin

16、eq f(,3)eq f(r(3),3)aeq f(1,24)a3，故C正確；在正方體ABCDA1B1C1D1中，易知BD平面ACC1A1，則直線DQ與平面A1ACC1所成角即為DQP，tanDQPeq f(DP,PQ)，又DPeq f(r(2),2)a，則tanDQP取最大值時，PQ取最小值為a，此時tanDQPeq f(f(r(2),2)a,a)eq f(r(2),2)，故D錯誤11將底面直徑為8，高為2eq r(3)的圓錐體石塊打磨成一個圓柱，則該圓柱側(cè)面積的最大值為_答案4eq r(3)解析欲使圓柱側(cè)面積最大，需使圓柱內(nèi)接于圓錐，如圖，設圓柱的高為h，底面半徑為r，則eq f(2r(3

17、)h,2r(3)eq f(r,4)，解得h2eq r(3)eq f(r(3),2)r，所以S圓柱側(cè)2rh2req blc(rc)(avs4alco1(2r(3)f(r(3),2)r)eq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(4rr2)，當r2時，S圓柱側(cè)取得最大值4eq r(3).12若m，n是兩條不重合的直線，為兩個不重合的平面，給出下列命題：若mn，m，則n；若m，n，mn，則；若mn，n，則m；若m，n，mn，則.上面命題中，所有真命題的序號是_答案解析對于，若mn，m，則n或n，故選項錯誤；對于，若m，n，mn，則與平行或相交，如圖所示，故選項錯誤；對于，若mn，n，根據(jù)

18、兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直這個平面，故m，故選項正確；對于，若m，n，mn，直線m，n的方向向量即為平面，的法向量，因為mn，則兩個平面的法向量垂直，故，故選項正確13(2022上海市西南位育中學模擬)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AC12，BCCC12eq r(2)，點P是直線BC1上一動點，則A1PPC的最小值是_答案10eq r(2)解析如圖，連接A1B，沿BC1將CBC1展開與A1BC1放在同一個平面內(nèi)，在BC1上取一點與A1C構成三角形，由三角形兩邊之和大于第三邊，可知A1PPC的最小值是A1C的值，因為在直三棱柱ABCA1B1C1中， ACB90，AC12，BCCC12eq r(2)，所以矩形BCC1B1是邊長為2eq r(2)的正方形，則BC14，又在矩形ABB1A1中，A1B1AB2eq r(38)，BB12eq r(2)，則A1B4eq r(10)，又A1Ceq oal(2,1)BCeq oal(2,1)A1B2，所以A1C1B900，則A1C1C135，在A1C1C中，利用余弦定理可得A1Ceq r(A1Coal(2,1)C1C22A1C1C1Ccos 135)eq r(1222r(2)22122r(2)cos 135)