高二數(shù)學上冊重難點突破：專題16 圓錐曲線?？碱}型04-定值問題（解析版）

1、 23/23專題17 圓錐曲線常考題型04定值問題圓錐曲線中的定值問題是圓錐曲線問題中的另一個難點解決這個難點的基本思想是函數(shù)思想，可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關系中不受變量影響的某個值，就是要求的定值具體地說，就是將要證明或要求解的量表示為某個合適變量的函數(shù)，化簡消去變量即得定值1過拋物線的焦點為且斜率為的直線交曲線于，、，兩點，交圓于，兩點，兩點相鄰）求證：為定值；【解答】證明：依題意直線的方程為，代入，得，則，為定值；2已知橢圓的左、右頂點分別為、，設是曲線上的任意一點當點異于、時，直線，的斜率分別為，則是否為定值？請說明理由；【解答】解

2、：由橢圓的方程及題意可得：，設，因為在橢圓上，所以，所以則，所以由題意可得是為定值，且定值為；3橢圓，的離心率，點在上（1）求橢圓的方程；（2）直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值【解答】（1）解：橢圓，的離心率，點在上，可得，解得，所求橢圓方程為：（2）證明：設直線，把直線代入可得，故，于是在的斜率為：，即直線的斜率與的斜率的乘積為定值4已知拋物線與雙曲線有相同的焦點（1）求的方程，并求其準線的方程；（2）過且斜率存在的直線與交于不同的兩點，證明：，均為定值【解答】（1）解：雙曲線，可得雙曲線的右焦點為，則，即，故的方程為，其準線的方程

3、為；（2）證明：由題意直線過點且斜率存在，設其方程為，聯(lián)立，整理得，為定值，則為定值5已知橢圓的焦點與雙曲線的焦點相同，且的離心率為（1）求與的方程；（2）若，直線與交于，兩點，且直線，的斜率都存在求的取值范圍；試問兩直線，的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由【解答】解：（1）因為的離心率為，所以，解得，則的方程為因為的焦點與的焦點相同，所以，所以，則的方程為（2）聯(lián)立得，其中，解得又直線，的斜率都存在，所以，故的取值范圍是設，則，則，故直線，的斜率之積不是定值6設點為雙曲線上任意一點，雙曲線的離心率為，右焦點與橢圓的右焦點重合（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點作雙曲線

4、兩條漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于點，求證：平行四邊形的面積為定值，并求出此定值【解答】解：（1）由雙曲線的離心率為，右焦點與橢圓的右焦點重合，得，解得，所以雙曲線的方程為（2）設點坐標為，過點與漸近線平行的直線分別為，方程分別為，聯(lián)立，解得，同理聯(lián)立，解得，又漸近線方程為，則，所以，又點在雙曲線上，則，所以，所以平行四邊形的面積為定值，且定值為7已知橢圓的離心率為，點在橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）設動直線與橢圓有且僅有一個公共點，判斷是否存在以原點為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點，（兩點均不在坐標軸上），且使得直線，的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程與定值；若不存在，請說明理由【解

5、答】解：（1）由題意可得，解得：，所以橢圓的方程為：；（2）結論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為：，證明如下：假設存在符合條件的圓，且此圓為，當直線的斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立，整理可得：，因為直線與橢圓有且僅有一個公共點，所以，即，由方程組得，則，設，則，設直線，直線的斜率為，所以，將，代入上式得，要使得以為定值，則，即，所以當圓的方程為時，圓與的斜率不存在時，由題意知的方程為，此時圓與的交點，也滿足以為定值，綜上，當圓的方程為時，圓與的交點，滿足定值8已知拋物線的準線過點（1）求拋物線的標準方程；（2）過點作直線交拋物線于，兩點，證明：為定值【解答】（1）解：由題意可得，拋物線的準線

6、方程為，故拋物線的方程為；（2）證明：當直線的斜率不存在時，直線方程為，此時，；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯(lián)立，得則為定值9已知平面上的動點及兩定點，直線，的斜率分別是，且（1）求動點的軌跡的方程；（2）設直線與曲線交于不同的兩點，若為坐標原點），證明點到直線的距離為定值，并求出這個定值若直線，的斜率都存在并滿足，證明直線過定點，并求出這個定點【解答】解：（1）由題意得，即動點的軌跡的方程是（2）設點，聯(lián)立，化為，若，則，化為，此時點到直線的距離，代入化為，化簡得，解得或當時，直線恒過原點；當時，直線恒過點，此時直線與曲線最多有一個公共點，不符合題意，綜上可知：直線恒過定點10如圖，

7、已知橢圓經過點，離心率為，直線經過橢圓的右焦點，交橢圓于，兩點（）求橢圓的方程（）若直線交軸于點，且，當直線的傾斜角變化時，是否為定值？若是，請求出的值；否則，請說明理由【解答】解：（）設橢圓的半焦距為，則有，解得，所以橢圓的方程為；（）由（）知，由條件得直線的斜率必存在，設方程為，又，設，則由，解得，所以，因為，則有，所以，同理可得，所以，即是定值11已知橢圓的離心率為，其右頂點為，下頂點為，定點，的面積為3，過點作與軸不重合的直線交橢圓于，兩點，直線，分別與軸交于，兩點（1）求橢圓的方程；（2）試探究，的橫坐標的乘積是否為定值，說明理由【解答】解：（1）由題意可知：點，的面積為3，又，解得

8、，橢圓的方程為：；（2）由題意可知，直線的斜率存在，故設直線的方程為，點，則直線的方程為，令，得點的橫坐標，直線的方程為，令，得點的橫坐標，把直線代入橢圓得：，12已知橢圓，、分別是橢圓短軸的上下兩個端點；是橢圓的左焦點，是橢圓上異于點、的點，是邊長為4的等邊三角形（）寫出橢圓的標準方程；（）設點滿足：，求證：與的面積之比為定值【解答】解：（）因為是邊長為4的等邊三角形，所以所以所以，橢圓的標準方程為（）設直線，的斜率分別為，則直線的方程為由，直線的方程為將代入，得，因為是橢圓上異于點，的點，所以所以由，所以直線的方程為由，得所以13給定橢圓，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”若橢圓的

9、離心率，點在上求橢圓的方程和其“衛(wèi)星圓”方程；（）點是橢圓的“衛(wèi)星圓”上的一個動點，過點作直線，使得，與橢圓都只有一個交點，且，分別交其“衛(wèi)星圓”于點，證明：弦長為定值【解答】解：（）由條件可得：解得所以橢圓的方程為，（3分）衛(wèi)星圓的方程為（4分）證明：當，中有一條無斜率時，不妨設無斜率，因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為或，當方程為時，此時與“衛(wèi)星圓”交于點和，此時經過點且與橢圓只有一個公共點的直線是或，即為或，所以，所以線段應為“衛(wèi)星圓”的直徑，所以（7分）當，都有斜率時，設點，其中，設經過點，與橢圓只有一個公共點的直線為，則，聯(lián)立方程組，消去，整理得，（9分）所以（10分）所以（11分

10、）所以，滿足條件的兩直線，垂直所以線段應為“衛(wèi)星圓”的直徑，所以綜合知：因為，經過點，又分別交其“衛(wèi)星圓”于點，且，垂直，所以線段為“衛(wèi)星圓” 的直徑，所以為定值（12分）14已知橢圓的左、右焦點分別是、，離心率，過點的直線交橢圓于、兩點，的周長為16（1）求橢圓的方程；（2）已知為原點，圓與橢圓交于、兩點，點為橢圓上一動點，若直線、與軸分別交于、兩點，求證：為定值【解答】解：（1）由題意和橢圓的定義得，則，由，解得，則，所以橢圓的方程為；（2）證明：由條件可知，兩點關于軸對稱，設，則，由題可知，所以，又直線的方程為，令得點的橫坐標，同理可得點的橫坐標，所以，即為定值15已知橢圓的兩個焦點分別

11、為，以橢圓短軸為直徑的圓經過點（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓相交于、兩點，設點，記直線，的斜率分別為，問：是否為定值？并證明你的結論【解答】解：（1）橢圓的兩個焦點分別為，以橢圓短軸為直徑的圓經過點，解得，橢圓的方程為（2）是定值證明如下：設過的直線：或者時，代入橢圓，令，代入橢圓，設，則，16如圖，橢圓經過點，且離心率為（）求橢圓的方程；（）經過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點，（均異于點，問直線與的斜率之和是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由【解答】解：（）由題意知，結合，解得，橢圓的方程為；（）由題設知，直線的方程為，代入，得，由已知，設，則，從而直線與的斜

12、率之和：17已知直線與橢圓相交于，兩點，是橢圓上一點（）當時，求面積的最大值；（）設直線和與軸分別相交于點，為原點證明：為定值【解答】解：（）當時，將代入，解得：， 當為橢圓的頂點時，到直線的距離取得最大值3， 面積的最大值是（）設，兩點坐標分別為，從而 設，則有， 直線的方程為， 令，得，從而 直線的方程為，（10分）令，得，從而 所以， 為定值 18如圖，已知點是拋物線上一點，過點作兩條斜率相反的直線分別與拋物線交于、兩點，直線的斜率為（）若直線、恰好為圓的切線，求直線的斜率；（）求證：直線的斜率為定值并求出當為直角三角形時，的面積【解答】解：（）依題意，由直線與圓相切，可得，解得（）設，

13、聯(lián)立直線與拋物線方程，消去可得：，用代替可得：，因此，即直線的斜率為定值，當時，由得，此時，求得，當時，可得，此時，求得，當時，無解綜上所述，當為直角三角形時，的面積為或1219已知橢圓的兩個焦點是，點，在橢圓上，且（）求橢圓的方程；（）設點關于軸的對稱點為，是橢圓上一點，直線和與軸分別相交于點，為原點證明：為定值【解答】解：（）由橢圓的定義，得，即（2分）將點，的坐標代入，得，解得：（4分）橢圓的方程是（5分）（）證明：由關于軸于對稱，得，設，則有，（6分）直線的方程為，（7分）令，得，（8分）直線的方程為：，（9分）令，得，（10分）（12分）為定值（14分）20橢圓焦點在軸上，離心率為，

14、上焦點到上頂點距離為（）求橢圓的標準方程；（）直線與橢圓交于，兩點，為坐標原點，的面積，則是否為定值，若是求出定值；若不是，說明理由【解答】解：（）由題意可得，解得，可得，即有橢圓的標準方程為：；（）設，（1）當斜率不存在時，兩點關于軸對稱，又，解得，；（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由題意知，將其代入，得，即有，則，到距離，則，解得，滿足，則，即有，綜上可得為定值521已知圓和點是圓上任意一點，線段的垂直平分線和相交于點，記的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）點是曲線與軸正半軸的交點，過點的直線交于、兩點，直線，的斜率分別是，試探索是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由

15、【解答】（1）圓的圓心為，半徑為，點在圓內，所以曲線是，為焦點，長軸長為的橢圓，由，得，所以曲線的方程為（2）設，由已知直線的斜率存在，設直線，聯(lián)立方程組，得，（定值）22如圖，已知動圓過點，且與圓內切，設動圓圓心的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）過圓心的直線交曲線于，兩點，問：在軸上是否存在定點，使當直線繞點任意轉動時，為定值？若存在，求出點的坐標和的值；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）由圓的方程知，圓心為，半徑為設圓和圓內切于點，則，三點共線，且因為圓過點，則，于是，所以圓心的軌跡是以，為焦點的橢圓因為，則，又，則，所以曲線的方程：（2）當直線與軸不重合時，設直線的方程為，代入，

16、得，即設點，則，設點，則，則若為定值，則，解得，此時為定值當直線與軸重合時，點，對于點，則，此時綜上分析，存在點，使得為定值23已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率為設過點的直線與橢圓相交于不同兩點，周長為8（）求橢圓的標準方程；（）已知點，證明：當直線變化時，總有與的斜率之和為定值【解答】解：由題意知，所以因為，所以，則所以橢圓的方程為（）證明：當直線垂直于軸時，顯然直線與的斜率之和為0，當直線不垂直于軸時，設直線的方程為，整理得：，恒成立，由，的斜率存在，由，兩點的直線，故，由，直線與的斜率之和為0，綜上所述，直線與的斜率之和為定值，定值為024在直角坐標系中，曲線與軸交于、兩點，點的坐標為，當變化時，解答下列問題：（1）能否出現(xiàn)的情況？說明理由；（2）證明過、三點的圓在軸上截得的弦長為定值【解答】解：（1）曲線與軸交于、兩點，可設，由韋達定理可得，若，則，即有，即為這與矛盾，故不出現(xiàn)的情況；（2）證明：設過、三點的圓的方程為，由題意可得時，與等價，可得，圓的方程即為，由圓過，