導(dǎo)數(shù)中的構(gòu)造函數(shù)

1、 導(dǎo)數(shù)小題中構(gòu)造函數(shù)的技巧函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學(xué)思想中比較重要的兩大思想， 而構(gòu)造函數(shù)的解題思路恰好是這兩種思想的良好體現(xiàn)，尤其是在導(dǎo)數(shù)題型中，下 面我就導(dǎo)數(shù)小題中構(gòu)造函數(shù)的技巧和大家進(jìn)行分享和交流。(一)利用f (x)進(jìn)行抽象函數(shù)構(gòu)造1、利用f (x)與x構(gòu)造；常用構(gòu)造形式有 xf f ;這類形式是對(duì)u v/型函 xv數(shù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算的推廣及應(yīng)用，我們對(duì)u v, u_的導(dǎo)函數(shù)觀察可得知，u v型導(dǎo)函數(shù)中 v體現(xiàn)的是 “法，u型導(dǎo)函數(shù)中體現(xiàn)的是“ ”法，由此，我們可以猜測(cè)，當(dāng) v導(dǎo)函數(shù)形式出現(xiàn)的是“”法形式時(shí)，優(yōu)先考慮構(gòu)造u v型，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)形式出現(xiàn)的是”法形式時(shí)，優(yōu)先考慮構(gòu)造u,我

2、們根據(jù)得出的“優(yōu)先”原則，看一看 v例1,例2.生【例1】f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x 0時(shí)，f (x) xf (x) 0,且 f ( 4) 0,則不等式xf (x) 0的解集為? 思路點(diǎn)撥：出現(xiàn)“ ”形式，優(yōu)先構(gòu)造F (x) xf (x),然后利用函數(shù)的單調(diào)性、 奇偶性和數(shù)形結(jié)合求解即可.【解析】構(gòu)造 F (x) xf (x)，貝 UF(x) f (x) xf (x),當(dāng) x 0 時(shí)，f (x) xf (x) 0 , 可以推出x 0 , F (x) 0 , F (x)在(，0)上單調(diào)遞減. f (x)為偶函數(shù)，x為奇函 數(shù),所以F (x)為奇函數(shù)，F(xiàn) (x)在(0,)上也單調(diào)遞減.根

3、據(jù)f ( 4) 0可得 F ( 4) 0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可知 xf (x) 0的解 集為(，4) (0,4).【例2】設(shè)f (x)是定義在R上的偶函數(shù),且f (1) 0 ,當(dāng)x 0時(shí)，有xf (x) f (x) 0恒成立，則不等式f (x) 0的解集為一一 f (x)?思路點(diǎn)撥：出現(xiàn)“”形式，優(yōu)先構(gòu)造F (x) 然后利用函數(shù)的單調(diào) x性、奇偶性和數(shù)形結(jié)合求解即可.唾【解析】構(gòu)造F (x)工竺，則F (x)f(X)x f(X),當(dāng)x 0時(shí)，Xxxf (x) f (x) 0 ,可以推出 x 0 , F (x) 0 , F (x)在(，0)上單調(diào)遞增Mx)為偶函數(shù)，x

4、為奇函數(shù)，所以F (x)為奇函數(shù)，. F (x)在(0,)上也單調(diào)遞減.根據(jù)f(1) 0可得F (1) 0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可知f (x) 0 的解集為(，1) (1,).xf (x)，但是比較簡(jiǎn)單常見的f (x)與x之間的函數(shù)關(guān)系式，如果碰見復(fù)雜的, x TOC o 1-5 h z 不易想的我們?cè)撊绾翁幚?，由此我們可以思考形如此類函?shù)的一般形式.F (x)xn f (x) , F (x) nxn 1 f (x) xn f (x) xn 1nf (x) f (x);F I f (x) F I f (x) xn nxn 1 f (x) xf(x) nf(x).F (

5、x) n ， F (x)2nn 1?xxx結(jié)論：出現(xiàn)nf(x) xf (x)形式，構(gòu)造函數(shù) F (x) xnf (x);出現(xiàn)xf (x) nf (x)形式，構(gòu)造函數(shù)F (x)f (x) .xn我們根據(jù)得出的結(jié)論去解決例3題0，當(dāng) x 0整【例3】已知偶函數(shù)f (x)(x 0)的導(dǎo)函數(shù)為f (x),且滿足f ( 1)時(shí)，2 f (x) xf (x),則使得f (x) 0成立的x的取值范圍是?思路點(diǎn)撥：滿足“ xf(x) nf (x)”形式，優(yōu)先構(gòu)造F (x)工也 然后利用nx函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和數(shù)形結(jié)合求解即可.【解析】構(gòu)造F (x)華，則F (x) xf (x) x 2 f (x)xf (x

6、) 2 f (x) 0，可以推出 x 0 ,F (x) 0 ,F (x)在(0,)上單調(diào)遞減.= f (x)為偶函數(shù)，x 【解析】構(gòu)造F (x) xf (2x),則 F (x) 2xf (x) f(2x),當(dāng) x 0 時(shí)，F(xiàn) (x) 2xf (x) f (2x) 0，可以推出 x 0 , F (x) 0 , F (x)在(，0)上單調(diào)遞減.為偶函數(shù)，所以F (x)為偶函數(shù)，F(xiàn) (x)在(，0)上單調(diào)遞增.根據(jù) f ( 1) 0可得F ( 1) 0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可知f (x) 0 的解集為(1,0) (0,1).生【變式提升】設(shè)函數(shù)f (x)滿足x3 f (x)

7、3x2 f (x)1 In x，且 f ( . e ),2e則 x 0 時(shí)，f (x)()A、有極大值，無極小值B、有極小值，無極大值C、既有極大值又有極小值D、既無極大值也無極小值?思路點(diǎn)撥：梆“ xf (x) nf (x) ”形式，為n 3時(shí)情況，優(yōu)先構(gòu)造F (x) 華,xn然后利用積分、函數(shù)的性質(zhì)求解即可.生i【例4】設(shè)f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，在(，0)上有2xf (2x) f (2x) 0 ,且f( 2) 0,則不等式xf (2x) 0的解集為.?思路點(diǎn)撥：滿足“ xf (x) nf (x) ”形式，優(yōu)先構(gòu)造F (x) xf (2x),然后利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和數(shù)形結(jié)合求解

8、即可.注意f ( 2) 0和F (x)的轉(zhuǎn)化.利用f (x)與ex構(gòu)造;(ex )f (x)與ex構(gòu)造，一方面是對(duì)u v, u函數(shù)形式的考察，另外一方面是對(duì)vf (x)ex的考察.所以又t于f (x) f (x)類型，我們可以等同 xf (x),的類型處理,法優(yōu)先考慮構(gòu)造F (x) f (x)xf (x)法優(yōu)先考慮構(gòu)造F (x) 【例5】已知f (x)是定義在()上的函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)f (x)滿足f (x) f (x)對(duì)于x R恒成立，則()A、f (2) e2 f (0), f (2014) e2014f (0)B、f (2)e2 f (0), f (2014)e2014f (0)C、f (2)

9、e2 f (0), f (2014) e2014f (0)D、f (2) e2 f (0), f (2014) e2014 f (0)? 思路點(diǎn)撥：滿足 f(x) f (x) 0”形式，優(yōu)先構(gòu)造F (x) 函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合求解即可.注意選項(xiàng)的轉(zhuǎn)化.f (x)；然后利用 xeM【解析】構(gòu)造F (x)孕形式，則F (x) eex f (x)exf (x) f (x) f (x)函數(shù)f (x)滿足f (x) f (x)，則f (x) 0 , F (x)在R上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性可知 選D.同樣exf (x),f (x)是比較簡(jiǎn)單常見的f (x)與ex之間的函數(shù)關(guān)系式，如果碰 xe見復(fù)雜的，我們

10、是否也能找出此類函數(shù)的一般形式呢？F (x)enxf (x) F (x) n enxf (x)enx f (x)enx f (x) nf (x).F (x)腎 F.(x)f (x)enx nenxf (x) f (x) nf (x)2nx enxe -結(jié)論:1、出現(xiàn) f (x)2、出現(xiàn) f (x)nf (x)形式，構(gòu)造函數(shù)F (x) enx f (x)；nf (x)形式，構(gòu)造函數(shù)F (x)-f-(x)-.e我們根據(jù)得出的結(jié)論去解決例6題.生【例6】若定義在R上的函數(shù)f (x)滿足f (x)2 f (x)0, f (0)f (x) e2x的解集為：ftx)h 匚* .?思路點(diǎn)撥：滿足“ f (x

11、) 2 f (x) 0”形式，優(yōu)先構(gòu)造F (x) 打，然后利用e函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合求解即可.注意選項(xiàng)的轉(zhuǎn)化.M【解析】構(gòu)造F (x)嬰形式，則F (x) e2 x 一2 x 一一一e f (x) 2e f (x) f (x) 2 f (x)導(dǎo)函數(shù)f (x)滿足f (x) 2 f (x)f (0) 1,則 F (0) 1 , f (x) e20 ,則 F (x) 0f (x)2x 1 F(x) eF (x)在R上單調(diào)遞增.又丁F (0),根據(jù)單調(diào)性得x 0 TOC o 1-5 h z I【變式提升】若定義在R上的函數(shù)f (x)滿足f (x) 2 f (x) 4 0, f (0)1則不等式f

12、(x) e2 x 2的解集為? 思路點(diǎn)撥：利用通式構(gòu)造函數(shù)時(shí)考慮4如何轉(zhuǎn)化.構(gòu)造函數(shù)F (x)、e? xe2 x芻【例7】已知函數(shù)f x在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f x ,若f x滿足：(x 1)f x f x 0, f(2 x) f x e2 2x ,則下列判斷一定正確的是()(A)f (1)f (0)(B)f (2)e2 f (0)(C)f (3)e3 f (0)(D)f (4)e4 f (0)f (x)? 思路點(diǎn)撥：滿足“ f (x) f (x) ”形式，優(yōu)先構(gòu)造F (x)，然后利用函數(shù)e的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合求解即可.注意選項(xiàng)的轉(zhuǎn)化.嘎1 解析構(gòu)造 F (x)舉形式，則 F (x) e f (

13、x) 2 xe f (x) f (x) x f (x),導(dǎo) eee函數(shù) f (x)滿足(x 1) f (x) f (x)0，則x HF (x) 0 , F (x)在1,)上單調(diào)遞增.當(dāng)x 1時(shí)F (x) 0 ,F (x)在(，1上單調(diào)遞減.又由f (2 x) f (x)e2 2 x F (2 x) F (x) F (x)關(guān)于x 1對(duì)稱，根據(jù)單調(diào)性和圖像，可知選C.(3)利用 f (x)與 sin x, cosx 構(gòu)造.sin x, cosx因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)存在一定的特殊性，所以也是重點(diǎn)考察的范疇，我們一起看看常考的幾種形式.F (x)f (x) sin x, F (x) f (x) sin x f

14、(x) cos x .?F (x)f (x), F (x) sin xf (x) sin x f (x) cosxsin 2 xF (x)f (x) cosx, F (x)f (x) cos x f (x) sin x .?F (x)f(x), F(x) f cosx(x) cos x f (x) sin xcos2 x根據(jù)得出的關(guān)系式，我們來看一下例【例8 1已知函數(shù) y對(duì)于任意的x ( 一)滿足2 2f x cos x f x sin x 0(其中f是函數(shù)f x的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式不成立的是()A、Wf ()24B、C、f (0)2 f ( 44f( 3) f( 4)f (0) 2 f

15、 (才? 思路點(diǎn)撥：滿足f x cosx f x sin x 0 ” 形式，優(yōu)先構(gòu)造 F (x) f (x) cos x然后利用函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合求解即可.注意選項(xiàng)的轉(zhuǎn)化.I【解析】構(gòu)造F (x).形式，則F (x)cosxf (x) cos x f (x) sin xcos2 x,導(dǎo)函數(shù)f (x)滿足f x cosx f x sin x 0，則F (x) 0 , F (x)在(一二)上單調(diào)遞增.把選項(xiàng)轉(zhuǎn) 2 2化后可知選B.【變式提升】 定義在(0,-)上的函數(shù)，函數(shù)f (x)是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有2f (x)f (x) tanx 成立，則()A . 3f(-)2f (-)B、f (1)

16、2 f (-) sinlG .2f ( -)f ( -)D3f ( -) f (-)? 思路點(diǎn)撥： 滿足 f (x) sin x_f (x) cos x” 形式，優(yōu)先構(gòu)造 F (x) f (x) , Wf sin x利用函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合求解即可.注意選項(xiàng)的轉(zhuǎn)化.(二)構(gòu)造具體函數(shù)關(guān)系式構(gòu)造這類題型需要根據(jù)題意構(gòu)造具體的函數(shù)關(guān)系式，通過具體的關(guān)系式去解決不 等式及求值問題.331【例9】， ，且sin sin 0,則下列結(jié)論正確的是()2 2-A、B、2【解析】構(gòu)造f (x) x sin x形式，則f (x) sin x x cosx , x 0,時(shí)導(dǎo)函數(shù) 2f (x) 0 , f (x)

17、單調(diào)遞增；x -0)時(shí)導(dǎo)函數(shù)f (x) 0 , f (x)單調(diào)遞減.有 f (x) 為偶函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性和圖像可知選B. 三【變式提升】定義在R上的函數(shù)f (x)滿足f(1) 1且對(duì)x R, f (x) 1則 ，2不等式f (log2x) 合的解集為.? 思路點(diǎn)撥：構(gòu)造函數(shù) F (x) f (x) 1 x2,令t 10g x，然后原不等式等價(jià)于 t 12 f (t) 限，利用單調(diào)性求解集，然后解對(duì)數(shù)不等式即可. -【例 10等比數(shù)列a。中，a1 2 , a8 4,函數(shù) f (x) x(x a1)(x a2)(x as),2C、D 0? 思路點(diǎn)撥：構(gòu)造函數(shù)f (x) x sin x,然后利用函數(shù)

18、的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合求解即A、26B、29C、212D、215可.?思路點(diǎn)撥：構(gòu)造函數(shù)f (x) xg(x),然后利用整體代換思想和數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【解 析】 令 g(x) (x a)(x a2)(x a8)形式，則 f (x) xg(x),_412f (x) g(x) xg (x)，.二 f (0) g(0) a a2 . a 8 (2 4) 2 ,故選 C.【例11】已知實(shí)數(shù)a, b, c滿足a 2eab1 ,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),那么(a c)2 (b d)2的最小值為()A、8 R 10 G 12 D 18?思路點(diǎn)撥：把(a c)2 (b d )2看成兩點(diǎn)距離的平方，然后利用數(shù)形結(jié)合以及點(diǎn)到直線的距離即可.【解析】由 1 b a *進(jìn)而 f (x)為(0,2),所以(ag(x) 2 x ;由 f (x) 1c)2 (b d )2的最小值為12ex1,得 xx 2ex ; 又由0,所以切點(diǎn)坐標(biāo)【變式提升】已知實(shí)數(shù)a,b滿足2a2 51n a b 0 , c R，則J(a c)2 (b c)2的最小值為一?思路點(diǎn)撥：構(gòu)造函數(shù)f (x) 2x2 5 In x , g(x) x，然后利用兩點(diǎn)之間的距離公式和數(shù)形結(jié)合思想求解即可.生!【課后作業(yè)】設(shè)函數(shù) f (x)在R上的導(dǎo)函數(shù)f (x),在(0,)上 f (x) sin 2x，且 x R，有f (