2010暑期培訓(xùn)-腎資源的優(yōu)化分配問題論文

1、論文題目：腎資源的優(yōu)化分配問題姓名年級、專業(yè)、班級聯(lián)系電話隊員 1李龍源08 電氣 7 員 2劉晟源08 軟計 3 員 3劉凱08 電氣茅資源的優(yōu)化分配問題摘要本文運用 0-1 規(guī)劃、計算機模擬、 模糊綜合評價等模型解決了腎資源優(yōu)化的 分配問題，提出了較優(yōu)的分配方案。問題一中，我們首先以患者是否接受腎資源為 0-1 決策變量，以“總 HLAMM 數(shù)最小”為目標(biāo)函數(shù)，不僅考慮了“ 1個腎資源只能分配給 1名患者， 1名患者 只能被分配給 1 個腎資源” 這兩個基本約束， 而且考慮 “每個患者的 HLAMM和個 體之間差

2、異盡可能小”這兩個約束，結(jié)合題中所給信息，建立起 0-1 規(guī)劃模型。 然后用 lingo 軟件進行求解，得到最優(yōu)分配方案，此時總 HLAMM數(shù)為最小值 6。針對問題二，我們首先根據(jù)效原則這一宗旨， 以“總 HLAMM數(shù)最小”為目標(biāo)， 建立了具有以腎資源的未知性為代表的隨機因素的優(yōu)化模型。 隨后，利用計算機 模擬模型，提出了“放棄概率”這一接近現(xiàn)實的概念，并構(gòu)造算法，提出了新的 腎資源分配方案，并且給出了具體分配結(jié)果。最后，建立了模糊綜合評價模型， 對分配方案不僅從“總 HLAMM數(shù)”“個體 HLAMM數(shù)”兩個方面，而且提出了“放 棄次數(shù)” 這一評價指標(biāo)， 綜合考慮三個評價指標(biāo)對其進行評價， 結(jié)

3、果顯示該分配 方案較優(yōu)。對于問題三， 我們綜合考慮有效原則和公平原則， 建立了具有以腎資源的未 知性為隨機因素的雙目標(biāo)規(guī)劃模型。 隨后，改變了問題二中腎資源分配的優(yōu)先級， 提出了在有效原則的前提下履行公平原則這一分配要求， 利用計算機模擬， 得出 了合理的分配方案，和較優(yōu)分配結(jié)果。最后，在問題二的基礎(chǔ)上加入“人均等待 時間”這一新的評價指標(biāo)，建立綜合評價模型，對分配結(jié)果進行模糊評價，評價 結(jié)果顯示該方案較優(yōu)。本文結(jié)合 EXCEL、MATLAB和 LINGO等軟件，主要使用了 0-1 規(guī)劃和計算機模 擬等方法， 大大降低了問題的難度和提高了問題的準(zhǔn)確度。 本文的特點是結(jié)合多 種隨機數(shù)學(xué)模型， 并

4、提出了新的分配理念， 更加接近于現(xiàn)實生活。 本文不僅給出 了較優(yōu)的分配方案，還對其進行了評價，為腎資源的分配提供了理論依據(jù)。關(guān)鍵詞： 0-1 規(guī)劃 計算機模擬 綜合評價 隨機性 MATLAB問題重述本題不需要額外的醫(yī)學(xué)知識。 腎移植是根治多種腎疾病的最有效和最徹底的療法。 近年來，我國的腎移植 技術(shù)快速發(fā)展， 隨之而來的是大量等待腎移植的患者。 但是， 符合移植條件的腎 資源非常匱乏， 而且法律禁止人體器官買賣， 因此腎資源只能以分配的形式進行 管理。國家衛(wèi)生部將要建立全國性的腎資源分配網(wǎng)絡(luò)， 以應(yīng)對患者的平均等待時 間日益延長的局面。 腎資源分配網(wǎng)絡(luò)的需要兼顧有效原則 （腎資源應(yīng)該分配給某

5、個將獲得最大的期望療效的患者） 和公平原則（所有患者都享有平等的獲得腎資 源的權(quán)利）的分配算法，在此基礎(chǔ)上再通過建立患者、腎資源信息庫，以提高整 體的分配效益。有效原則的衡量的標(biāo)準(zhǔn)是人類白細胞抗原錯配位點（ Human Leucocyte Antigen MisMatching, HLAMM ）數(shù)目。人類白細胞抗原（ HLA）又稱移植抗原， 是人體內(nèi)主要組織相容性復(fù)合物（ Major Histocompatibility Complex, MHC ）。 MHC包含三類緊密相連的基因， i 類基因的位點在染色體的著絲點另端，其產(chǎn)物 為 HLA-a、HLA-b、HLA-c 抗原； ii 類基因的位

6、點在染色體的著絲點端，其產(chǎn)物 為 HLA-dp、HLA-dq、HLA-dr 抗原；中間為補體成分 C2、C4、21- 羥基酶和腫瘤 壞死因子的位點。研究認為，腎移植中供（腎資源）受（患者）雙方共有的 HLA 越多，或已查出的 HLAMM越少，那么受方的存活率也就越高。 目前普遍采用氨基 酸殘基配型標(biāo)準(zhǔn)（ Res M）測定 HLAM。M研究顯示，中國人的 HLAMM分布如表 1 所示：表 1 中國人人類白細胞抗原錯配位點（ HLAM）M 數(shù)目分布HLAMM6543210比例9.57.223.931.116.78.23.3公平原則的衡量標(biāo)準(zhǔn)是從登記需要腎資源日開始計數(shù)的等待日期某大學(xué)的某項目組率先

7、建立了試驗性的腎資源分配網(wǎng)絡(luò)。在某次分配實驗 中：從 2007年1月 1日至同年 4月 10日，先后有 100名患者（由志愿者充當(dāng)） 在分配網(wǎng)絡(luò)中登記申請腎資源， 4月 11 日有 1 個腎資源進入分配網(wǎng)絡(luò)，此后每 天都有 1 個腎資源進入分配網(wǎng)絡(luò)， 直到共有 100個腎資源進入分配網(wǎng)絡(luò)。 每個腎 資源和每名患者的 HLAMM如附件 1所示。研究人員認為，如果 100個腎資源全部 進入分配網(wǎng)絡(luò)， 然后進行分配， 也許合理的數(shù)學(xué)模型可以有助于得到最優(yōu)的分配假設(shè)您現(xiàn)在是研究團隊中的骨干成員：任務(wù) 1：請根據(jù)附件 1 中的數(shù)據(jù)，建立合理的數(shù)學(xué)模型，幫助研究團隊求得 僅考慮 HLAMM時的最優(yōu)的分配方

8、案，其中 1個腎資源只能分配給 1名患者，1 名 患者只能被分配給 1 個腎資源。但是，幾天的時間足以讓腎資源變質(zhì)從而導(dǎo)致其作廢。 所以，移植醫(yī)生認為， 進入分配網(wǎng)絡(luò)的腎資源必須在當(dāng)天分配給某個患者， 才能為腎移植手術(shù)的成功爭 取更大的幾率。與之前（任務(wù) 1 中）的分配決策情形不同的是：之前分配決策時 已知所有腎資源與所有患者之間的 HLAM，M而現(xiàn)在只已知分配當(dāng)天到來的腎資源 與所有患者 HLAM，M將要到來的某個腎資源與所有患者的 HLAMM要等到未來的某 天才能知道。任務(wù) 2：請根據(jù)附件 1 中的數(shù)據(jù)，建立合理的數(shù)學(xué)模型，幫助研究團隊求得 僅考慮 HLAMM且必須當(dāng)天分配時的較優(yōu)的分配方

9、案， 其中 1 個腎資源只能分配給1 名患者， 1 名患者只能被分配給 1 個腎資源。請同時建立合理的數(shù)學(xué)模型，定 量的分析評價分配方案和模型的優(yōu)劣。任務(wù) 3：如果考慮兼顧有效原則和公平原則，患者與腎資源之間的HLAMM如附件 1 所示，患者截止第 1 個腎資源到來時 （此后每天都有 1個腎資源進入分配 網(wǎng)絡(luò)，直到共有 100個腎資源進入分配網(wǎng)絡(luò)） 等待的天數(shù)如附件 3 所示，建立合 理的數(shù)學(xué)模型兼顧兩大原則，并提出必須當(dāng)天分配時的較優(yōu)的分配方案，其中 1 個腎資源只能分配給 1 名患者，1 名患者只能被分配給 1 個腎資源。請同時建立 合理的數(shù)學(xué)模型，定量的分析評價分配方案和模型的優(yōu)劣。二、

10、模型假設(shè)1、腎資源進入分配網(wǎng)絡(luò)時的順序為 k001，k002， k100；2、每個患者和未出現(xiàn)的腎的 PLAMM的概率符合中國人 HLAMM數(shù)目分布，并 且各個腎之間相互獨立，互無關(guān)系；3、患者在得到腎資源之前不會死亡；4、公平原則要在有效原則的前提下履行。三、符號說明aij ：第 i 個患者和第 j 個腎資源之間的 HLAM；Mmi ：分配方案中第 i 個患者的 HLAMM數(shù)；n ：分配方案中總的 HLAMM數(shù)；k ：分配方案中總放棄次數(shù)；wi ：截止第 1個腎資源到來時，第 i 號患者的等待天數(shù)；d ：患者平均等待時間，單位：天。四、問題分析問題一的分析問題一要求我們建立合理的數(shù)學(xué)模型，求

11、得僅考慮HLAMM時的最優(yōu)分配方案。HLAMM最優(yōu)可以分為總體 HLAMM最小和每個人的 HLAMM最小，在建模中應(yīng)該 優(yōu)先考慮前者， 但不能忽視后者； 在該分配問題中， 我們討論后認為該模型是一 個簡單的 0-1 規(guī)劃模型。對題中表 1 給出的數(shù)據(jù)，我們利用其對附件中的數(shù)據(jù)進 行檢驗，接著由題目所給的信息得出模型的決策變量、 目標(biāo)函數(shù)和約束條件， 建 立單目標(biāo)優(yōu)化模型。在求出結(jié)果后，我們再對其進行分析，使其更透徹。問題二的分析問題二要求我們在問題一的基礎(chǔ)上加入 “每天只出一個腎且必須當(dāng)天分配給 一個患者” 這一條件來設(shè)計新的分配方案。 我們開始建立了隨機優(yōu)化模型， 然而 該模型十分難解，我們

12、轉(zhuǎn)而用計算機模擬的方式來求解該模型。在模擬算法中， 我們對新的分配方案提出了自己的見解，并定義了“放棄概率”這一新的方式， “放棄概率” 即腎資源分配給某位患者時， 該患者想要得到 HLAMM更小的腎而放 棄分配的腎的概率， 這一做法很接近于現(xiàn)實情況， 基于該方案模擬得出的結(jié)果將 會更有現(xiàn)實感。在建立評價模型時，除了必須考慮的指標(biāo)外，我們又定義了“放棄次數(shù)”這一評價指標(biāo)，旨在用患者放棄所分配的腎的次數(shù)來評價方案的優(yōu)劣， 這是一種新的理念。問題三的分析 問題三是在問題二的基礎(chǔ)上考慮公平原則而求得的分配方案， 我們認為，公 平原則應(yīng)該在有效原則的前提下履行， 即在分配的方案中， 有效原則的優(yōu)先級高

13、 于公平原則， 這樣才能在保證療效的前提下盡量保持公平。 評價模型在問題二的 基礎(chǔ)上應(yīng)加入人均等待時間這一指標(biāo)，以此來更好的衡量分配方案的優(yōu)劣。五、問題一的模型建立與求解問題一要求我們僅考慮 HLAMM這一因素， 確定腎資源的最優(yōu)分配方案， 結(jié)合 題目，我們建立了 0-1 規(guī)劃模型。數(shù)據(jù)分析本文給出的表 1 中的數(shù)據(jù)明確告訴我們中國 HLAMM數(shù)目的分布，我們相信所 給的數(shù)據(jù)時完全正確的，由表 1可以明顯看出 HLAMM數(shù)目大多為 3和4,0 偏少。附件 1 和附件 2 中給出了 100名患者和 100 個腎資源的 HLAMM數(shù)目，我們利 用表 1 給出的各個 HLAMM比例對附件 1 和 2

14、 中給出的數(shù)據(jù)進行了驗證， 我們統(tǒng)計 了附件中出現(xiàn)的不同 HLAMM出現(xiàn)的的比例，得出結(jié)果如表 5.1 所示。表 5.1 附件 1 中各個 HLAMM的比例和標(biāo)準(zhǔn)比例對比HLAMM6543210標(biāo)準(zhǔn)比 例9.57.223.931.116.78.23.3附件 1 比例9.27.523.730.817.28.43.2附件 2 比例9.87.124.231.016.87.83.4從上表可以看出， 附件中所給的數(shù)據(jù)的比例與標(biāo)準(zhǔn)比例相差不大， 可以認定 附件數(shù)據(jù)準(zhǔn)確，可以直接進行使用。模型的建立任務(wù) 1要求給出具體的分配方案， 我們考慮每個患者和每個腎資源的 HLAM，M 對其進行統(tǒng)一分配，建立起簡單優(yōu)

15、化模型。決策變量我們設(shè)決策變量為 0-1 變量 xij ，其中1,第 i個患者接受第 j個腎資源x。ij 0, 第i個患者不接受第 j個腎資源目標(biāo)分析題目中要求僅考慮 HLAMM最優(yōu)，即只考慮有效原則。 我們認為， 問題一應(yīng)該 統(tǒng)一考慮整體情況， 總體的 HLAMM之和最小時的方案才是最優(yōu)方案， 我們設(shè) aij 是 第i個患者和第 j 個腎資源之間的 HLAM（M值見于題目所給的附件 1），故目標(biāo)函 數(shù)如下：100 100Minxij aiji 1 j 1約束條件由于 1 個腎資源只能分配給 1 名患者，故應(yīng)有如下約束：100 xij 1i1另外 1 名患者只能被分配給 1 個腎資源，故應(yīng)由如

16、下約束：100 xij 1j1我們考慮到在分配的過程中應(yīng)該遵從醫(yī)學(xué)原則，應(yīng)避免出現(xiàn)為了降低總 HLAMM數(shù)而使某一個 HLAMM數(shù)過大， 同時不使每個患者和其所配腎的 HLAMM數(shù)之 間的差異過大，所以我們規(guī)定每個患者和其所配腎的 HLAMM不應(yīng)超過 2，約束如 下：100 xij aij 2j1最終模型 綜上所述，我們建立如下優(yōu)化模型：100 100 Minxij aiji 1 j 1100s.t.xij 1i1100 xij 1 j1100 xij aij 2 j1xij 為 0-1 變量5.3 模型的求解及分析模型的求解模型比較簡單，我們采用 lingo 軟件進行求解。將附錄中的 aij

17、 導(dǎo)入程序， 求得該分配方案中目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)為 6，即總 HLAMM數(shù)最優(yōu)時為 6，求得最優(yōu)方案 如表 5.2 所示。表 5.2 問題一的分配方案腎源號123456789101112131415患者號1034732654414249438115797880腎源號161718192021222324252627282930患者號6377943733754655218988339725腎源號313233343536373839404142434445患者號59183358229435122691923314885腎源號464748495051525354555657585960患者號62945906

18、5934453592841632688腎源號616263646566676869707172737475患者號717067953086766413914760971728腎源號767778798081828384858687888990患者號892050145257127224669940871158腎源號919293949596979899100患者號27682568161741003696模型的分析我們進一步求得具體分配方案中各 HLAMM的配對數(shù)，如表 5.3 所示表 5.3 各 HLAMM的配對數(shù)HLAMM6543210配對數(shù)00000694該分配方案中目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)為 6，而且患者中最

19、大的 HLAMM為 1且只有 6 個， 其余均為零，總的 HLAMM既達到了最小，每個患者和配對腎的 HLAMM數(shù)也很小， 且差距不大，故可以認為該方案在各個方面均最優(yōu)。六、問題二的模型建立與求解問題二在問題一的基礎(chǔ)上增加了一些條件， 每天來一個腎且當(dāng)天分配， 且只 知道分配當(dāng)天到來的腎資源和所有患者之間的 HLAM，M將要到來的腎資源和所有 患者的 HLAMM要等到未來某天才能知道。 問題二要求我們在當(dāng)前的情況下， 建立 合理的數(shù)學(xué)模型，得到對腎資源進行分配的方案，同時對該方案進行定量評價。分配方案的優(yōu)化模型為了建立合理的數(shù)學(xué)模型， 得到較優(yōu)的分配方案， 根據(jù)問題一的模型， 我們 期望對其改

20、進， 得到一個優(yōu)化模型， 并考慮以已經(jīng)分配的腎資源作為約束， 使得 該分配模型得到的總 HLAMM最小。這樣就可以找出一種較優(yōu)的分配方案。決策變量與目標(biāo)分析問題二與問題一都是要給出分配方案， 所以我們?nèi)匀辉O(shè)決策變量為 0-1 變量 xij ，其中，xij第 i個患者和第 j個腎資源配對0,第i 個患者和第 j 個腎資源不配對問題二中分配方案還是僅考慮 HLAM，M 方案最優(yōu)即總 HLAMM最小，故目標(biāo)函 數(shù)為：6.1.2約束條件Min100 100 xij aiji 1 j 1由于每次只進來 1 個腎資源，故應(yīng)該對每個腎資源分別考慮， 由題目只沒個 腎資源必須分配給 1 名患者，故應(yīng)有如下約束

21、：100 xi1 1，第 1 個腎進來時， i1 100 xi2 1，第 2 個腎進來時， i1100 xi,100 1，第 100 個腎進來時 i1可以看出腎資源的約束和第幾個腎資源無關(guān)，歸納如下：100 xij 1，第 j 個腎資源進來時 i1對于患者， 由于每次只有一名得到腎資源， 且名額是不能事先確定的， 故應(yīng) 該每進來一個腎資源后都應(yīng)對進行約束，如下所示：1xijj11，ii10，第 1 個腎資源進來時，i i2,i3,i10021， i i ,ixij 1 i i1,i2，第 2 個腎資源進來時，j 10，i i3 , i100100 xij 1，i 1,2,100，第 100 個

22、腎資源進來時。j1綜上，可以得出對每名患者只能接受一個腎資源的約束如下：k1， i i , ,ixij 1 i i1, ,ik ，第 k 個腎資源進來時 j 10， i ik 1,i100由于腎資源每天進入且分配一個， 而且這種分配帶有明顯的隨機性， 故之前分配的所有腎資源均對下一個腎資源的分配有影響，因此當(dāng)前分配變量xij 是之前所有分配變量 xi1,xi2,xi,j 1的函數(shù)，即xijx(ij xi1, xi2 , xi, j 1)由于該分配模型為順序分配， 且含有隨機因素， 故難以保證每個患者和所配 腎資源的 HLAMM均小于 2，故將該約束去掉。6.1.3 最終模型由于上述模型中的腎資

23、源分配均為隨機變量， 因此，我們建立隨機規(guī)劃模型如下：100 100Minxij aiji1 j 1100s.t.xij 1，第 j 個腎資源進來時i1k1，i i , ,ixij1，i i1,ik，第 k個腎資源進來時j 10， i ik 1, ,i100 xij x(ij xi1 , xi 2 , xi , j 1)計算機模擬模型 由于腎資源的分配不是同時進行，而是每天只分配一個腎資源給一個患者， 所以每一個腎資源的分配均和之前分配的所有腎資源有關(guān)系， 而之前的分配又明 顯具有隨機因素， 而且要來的腎資源和所有未分得腎的患者之間的 HLAMM也是隨 機因素。因此 6.1 中的模型難以求出最

24、優(yōu)解， 充分考慮到帶有隨機因素的規(guī)劃模 型求解的復(fù)雜性，我們可以采用計算機模擬的方法來對題目所要求的過程進行模 擬求解。概念引入及分配方案的提出 計算機模擬即利用所給的數(shù)據(jù)編寫算法或畫出流程圖編程來解決問題， 在模 擬分配腎資源的過程中首先要解決的便是分配方案怎么分配腎資源、 把腎資 源分配給哪一個患者，下面介紹一下我們關(guān)于分配方案的規(guī)定并提出分配方案。1、放棄概率在實際中， 要把腎資源分配給某位患者， 還要聽從患者的意見， 由于在配型 過程中 HLAMM出現(xiàn)的可能性有 7 種，如果分給患者認為分給自己的腎 HLAMM過高， 患者可以選擇放棄該腎繼續(xù)等待以選擇更好的腎資源。 由于下一個腎資源

25、HLAMM 數(shù)和上一個腎資源 HLAMM相互獨立，可以認為患者和下一個腎配型為 0-6 的概率 如題中表 1 數(shù)據(jù)所示?；颊咭獡Q腎則要考慮后面的腎資源的 HLAMM要比本次的好， 所以患者放棄的概率與本次出現(xiàn)的腎資源的 HLAMM有關(guān)。設(shè)放棄的概率為 P(m) ， m 為當(dāng)前腎的 HLAMM數(shù)，則P(m) 1 P(i) ，i0結(jié)合表 1，得出 HLAMM為各個數(shù)值時，放棄概率如表 6.1 所示：表 6.1 不同 HLAMM數(shù)對應(yīng)的放棄概率HLAMM6543210放棄概率90.483.259.328.211.53.302、標(biāo)記次數(shù)對于每一個腎資源， 初次選擇分配對象時是選擇 HLAMM最少的患者

26、， 這時就 有若干個“候選人”，每個腎資源再從候選人中進行選擇，其中肯定有人不能被 選上，而對于患者來說，每一次被選為“候選人”但沒有對其“詢問”便結(jié)束， 其心理上就會感覺機會就減少一次，這時其標(biāo)記次數(shù) s就增加 1。但是若已經(jīng)將 其選作“候選人”，患者由于自身原因放棄了腎資源， 則要再將其標(biāo)記次數(shù) s 減 1。 在以后分配過程中，同等情況下要優(yōu)先考慮標(biāo)記次數(shù)多的患者。3、放棄次數(shù)每次有患者放棄了腎資源，則總放棄次數(shù) k 加 1，用此來衡量分配方案的優(yōu) 劣性。4、患者和腎資源的“屬性” 為了標(biāo)記患者的各個性質(zhì)以便于后續(xù)編程模擬， 我們將其“屬性”分別列出 第i 號患者的屬性如下：aij ：第

27、i 號患者和第 j 個腎資源之間的 HLAM；Msi：第 i 號患者的標(biāo)記次數(shù)；xij ：第 i 號患者和第 j 個腎資源之間是否分配成功，成功為 1，失敗為 0；5、分配方案經(jīng)過討論，我們得出如下的腎資源分配方案：對于第 j 個腎資源，首先選擇 HLAMM即 aij 最小的患者； 如果相同，則從中選 擇放棄次數(shù)即 bij 較多的；如果還相同，則從中選擇患者序號即 i 較小的。對于選中的患者，根據(jù)其 PLAMM對應(yīng)的放棄概率，隨機決定是否放棄，如果放棄，則將 其放棄次數(shù)加 1，并按規(guī)則選擇下一位患者進行詢問，直到不放棄為止；若所有 患者均放棄，則將該腎資源分配給第一次詢問的患者。計算機模擬流程

28、圖根據(jù)提出的腎資源分配方案， 我們接著建立計算機模擬的模型， 下面本文給 出計算機模擬流程圖，如圖 6.1 所示。腎源序列號 j=1;患者被標(biāo)記次數(shù) si =0(i=1, ,100) 醫(yī)院提供的腎源被患者拒絕次數(shù) k=010圖 6.1 問題二計算機模擬流程圖模擬求解按上述流程圖進行模擬，用 MATLAB編程求解，得出一種較優(yōu)的分配方案， 如表 6.2 所示。表 6.2 問題二的分配方案腎資源號123456789101112131415患者號10341126373421784381479782HLAMM000000000000000腎資源號1617181920212223242526272829

29、30患者號4665479333408556421806839725HLAMM000000100010000腎資源號313233343536373839404142434445患者號613114358275635122831843294985HLAMM000000000000000腎資源號464748495051525354555657585960患者號16994512489644535593666158995HLAMM000000100000001腎資源號616263646566676869707172737475患者號71706798137776619915460585028HLAMM000

30、000001010000腎資源號767778798081828384858687888990患者號92874130529790322469986725773HLAMM101000100111013腎資源號919293949596979899100患者號272394568174100886220HLAMM0120022143其中，總的 HLAMM數(shù)為 31，比問題一中的要大，但平均情況為 0.31 ，總體 水平不算過大，可以認為該分配方案較優(yōu)?？偟姆艞壌螖?shù)為 k 2 ，說明該方案 比較適合患者。綜合評價模型 在用計算機模擬得到分配方案的一般研究指標(biāo)之后， 我們可以對該分配方案 有一個大致的、 分

31、指標(biāo)的評判， 但是本文更希望建立一個更加有適用性的綜合評 價模型。各類指標(biāo)的確定與隸屬化1、評價指標(biāo)的確定 在評價整個分配方案時， 首先我們要考慮到有效原則， 即總的 HLAMM越小越 好；其次我們從每一個患者進行分析，患者的 HLAMM越小，其滿意度就會越高； 最后我們從整個系統(tǒng)進行分析，一個好的分配系統(tǒng)，患者的放棄次數(shù)越少越好。 綜上所述，我們得出一下三個評價指標(biāo)： 總HLAMM數(shù)、個體 HLAMM數(shù)、放棄次數(shù)。對于這三個模糊指標(biāo)，我們采取用模糊隸屬函數(shù)對其進行統(tǒng)一處理。112、對總 HLAMM數(shù)的隸屬化對于總的 HLAMM數(shù) n 來說，總的 HLAMM越小，方案的有效原則就越能體現(xiàn)出 來

32、，這也是評價分配方案是否合理的一個重要標(biāo)準(zhǔn)。 我們定義總的 HLAMM數(shù)取下 列值時我們對方案的滿意度作如下變化：表 6.3 對總 HLAMM數(shù)的滿意度刻畫不滿意度很滿意滿意較滿意不太滿意很不滿意總 HLAMM數(shù)( n )20406080100為了連續(xù)量化指標(biāo)，這里選取偏大型柯西分布和對數(shù)函數(shù)作為隸屬函數(shù)：1 (x ) 2 1,1 x 3 f (x)alnx b, 3 x 5其中， ， ，a，b 為待定常數(shù)。當(dāng)很滿意時，隸屬度為 1，即 f (5) 1 ；當(dāng)較滿意時，隸屬度為 0.8，即 f (3) 0.8；當(dāng)很不滿意時，隸屬度為 0，即 f (1) 0 。最終求得1.1086， 0.8942

33、，a 0.3915，b 0.3699 。則f (x) 0.3915ln x 0.3699,1,1 1.1086( x 0.8942) 2 1,1 x 3 3x5 x5對于給出的滿意度，顯然可以得出：nx620所以總 HLAMM數(shù)的滿意度隸屬函數(shù)如下：1 1.1086(6 n 20 0.8942) 2 1,60 n 100fn0.3915ln(6 n 20) 0.3699, 20 n 601,n 200,n 1003、對個體 HLAMM數(shù)的隸屬化從心理學(xué)角度來分析， 每一個患者對得到的腎資源的 HLAMM都有一個期望滿 意度，即反應(yīng)患者對 HLAMM指標(biāo)的要求與實際水平的差異的程度， 我們定義患

34、者 對 HLAMM指標(biāo)的滿意程度如下：表 6.4 對每個患者的 HLAMM數(shù)的滿意度刻畫滿意程度很不滿 意不滿 意不太滿 意基本滿 意比較滿 意滿意很滿 意患者 HLAMM654321012為了得到滿意度的量化指標(biāo)，注意到人們對不滿意程度的敏感遠遠大于對 滿意程度的敏感， 根據(jù)這一事實， 我們選取偏大型柯西分布和對數(shù)函數(shù)作為隸屬 函數(shù)：f (x) 1 x 2aln x b,4 x 71,1 x 4其中 , ,a,b為待定常數(shù)。當(dāng)很滿意時，滿意度的量化值為 1，即 f (7) 1；基本滿意時，滿意度的量化值為 0.8，即 f (4) 0.8；當(dāng)很不滿意時，滿意度的量化值為 0，即 f(1) 0。

35、于是可以確定 2.4944 ， 0.8413 ，a 0.1787 ，b 0.6523 。故，,1 x 4x 0.6523,4 x 71 2.4944(x 0.8413) 2 f (x)0.1787ln對于患者的 HLAMM指標(biāo)，將其進行線性變換后代入上述隸屬函數(shù)， 即可得到 關(guān)于患者的 HLAMM指標(biāo) m 的隸屬函數(shù)：1 2.4944(7 m 0.8413) 2 f (m),3 m 6不滿意度很滿意滿意較滿意不太滿意很不滿意總 HLAMM數(shù)48121620( k )設(shè)隸屬函數(shù)為： f(x) ax b，1 x 5 其中， a，b 為待定常數(shù)。0.1787ln(7 m) 0.6523,0 m 34

36、 、對放棄次數(shù)的隸屬化 從醫(yī)院角度看， 在向患者提供腎資源時， 患者拒絕的情況發(fā)生的次數(shù)少， 則 說明該方案越好。定義其滿意度如下：表 6.5 放棄次數(shù)的滿意度刻畫當(dāng)很滿意時，隸屬度為 1，即 f (5) 1 ；當(dāng)很不滿意時，隸屬度為 0，即 f (1) 0 。求得 a 0.25，b 0.25 。則0.25x 0.25，1 x 5 f (x) ，1，x 5顯然，13k x64 所以，放棄次數(shù)滿意度的隸屬函數(shù)為：f (k) 0.25(6 k 4) 0.25， 4 k 20f (k) 1，k 4綜合評價模型的建立1、權(quán)重系數(shù)在三個評價指標(biāo)中， 有效原則為最基本的原則， 其重要性最大，所以總 HLA

37、MM 這一指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)取 0.5 ；腎資源分配方案的最終受益人是患者，所以該指標(biāo) 重要性其次，故個體 HLAMM數(shù)這一指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)取 0.4 ，然而共有 100個患者， 所以每個患者在該指標(biāo)中均占 0.01 的權(quán)重；對于整個分配方案來說，放棄次數(shù) 這一指標(biāo)重要性最低，其權(quán)重系數(shù)取 0.1 。2、評價模型的建立經(jīng)過上述分析，可以得到線性加權(quán)評價函數(shù)，即：100f 0.5f (n) 0.4( 0.01f (mi) 0.1f(k)i1綜上所述，該模糊綜合評價模型的表述如下：100f 0.5f (n) 0.4( 0.01f (mi) 0.1f (k)i1其中各指標(biāo)如下確定：1 1.1086(6 n

38、 20 0.8942) 2 1,60 n 1000.3915ln(6 n 20) 0.3699,20 n 60 fn1,n 200,n 100f (m ) 1 2.4944(7 mi 0.8413) 2 1,3 mi 60.1787ln(7 mi ) 0.6523,0 mi 3f (k) 0.25(6 k 4) 0.25，4 k 20f (k) 1，k 4 n,mi , k均可由計算機模擬求出模型的求解在計算機模擬的過程中， 我們得到了總 HLAMM數(shù)n ，每個患者的 HLAMM數(shù)mi ， 和總放棄次數(shù) k ，分別為 n 31，k 2，mi見表 6.2。可以求得各個隸屬函數(shù)的值，代入評價函數(shù)，

39、可以得到：14表 6.6 結(jié)果統(tǒng)計表f (n)1000.01f(mi)i1f(k)f0.95440.888610.9326從結(jié)果可以看出，該分配方案較優(yōu)。七、問題三的模型建立與求解問題三中要兼顧有效原則和公平原則， 其他條件和問題二均一致， 仍然要得出腎資源的分配方案，同時建立新的評價模型，對該方案進行定量評價。分配方案的優(yōu)化模型 在問題二模型的基礎(chǔ)上， 我們結(jié)合問題三的條件， 對其進行改進， 得到問題 三的優(yōu)化模型。和上述兩個模型一樣，其決策變量仍然為 0-1 變量 xij 。該模型要綜合考慮 有效原則與公平原則，所以該模型為雙目標(biāo)規(guī)劃模型。其中的一個目標(biāo)為總 HLAMM數(shù)最小，另一個則為平

40、均等待天數(shù)最小?？?HLAMM數(shù)最小，和問題二中模型相同，為：100 100Minxij aiji 1 j 1平均等待天數(shù)最少，即100 100Minxij (wi j)i 1 j 1其中， wi 為截止第一個腎資源到來時，第 i號患者的等待天數(shù)。問題三的約束條件和問題二的約束條件相同，不再贅述。綜上所述，問題三的隨機規(guī)劃模型如下：Min100 100 xij aiji 1 j 1100 100Minxij (wi j)i 1 j 1100s.t.xij 1，第 j 個腎資源進來時i1k1，i i , ,ixij 1 i i1, ,ik，第 k個腎資源進來時j 10， i ik 1, ,i10

41、0 xij x(ij xi1 , xi 2 , xi , j 1)15計算機模擬模型該模型除了有問題二中所說的隨機性因素外， 又增加了一個目標(biāo)， 這給求解 該模型帶來更大的難處， 其最優(yōu)解更不易得出。 在本模型中， 我們接著用計算機 模擬的方法對模型進行求解。分配方案的提出在計算機模擬中， 我們?nèi)匀焕脝栴}二中提出的模擬思想， 對“放棄概率”、 “標(biāo)記次數(shù)”、“放棄次數(shù)”等照舊使用，名詞解釋見 6.2.1 ，不再贅述。由于引入了時間這一目標(biāo)， 分配方案需要在問題二的基礎(chǔ)上進一步考慮時間 的因素，經(jīng)過我們討論， 認為 HLAMM數(shù)的優(yōu)先級應(yīng)高于等待時間， 因為對每一個 患者來說， 接受的腎資源如

42、果不能保證 HLAMM足夠小，就會有生命危險， 而多等 幾天則無大礙?？紤]以上因素，我們得出新的腎資源分配方案如下：對于第 j 個腎資源，首先選擇 HLAMM即 aij 最小的患者； 如果相同，則從中選 擇等待時間較長的患者； 如果還相同，則從中選擇放棄次數(shù)即 bij 較多的；如果再 相同，則從中選擇患者序號即 i 較小的。對于選中的患者，根據(jù)其 PLAMM對應(yīng)的 放棄概率，隨機決定是否放棄，如果放棄，則將其放棄次數(shù)加 1，并按規(guī)則選擇 下一位患者進行詢問， 直到不放棄為止； 若所有患者均放棄， 則將該腎資源分配 給第一次詢問的患者。計算機模擬流程圖根據(jù)提出的腎資源分配方案， 我們接著建立計算

43、機模擬的模型， 下面本文給 出計算機模擬流程圖，如圖 7.1 所示。1617圖 7.1 問題三計算機模擬流程圖模擬求解 按上述流程圖進行模擬，用 MATLAB編程求解，得出一種較優(yōu)的分配方案， 如表 7.1 所示。表 7.1 問題三的分配方案腎資源號123456789101112131415患者號10818426371480176125515797898HLAMM000000000000000等待天數(shù)9642996858921057288108491111724112腎資源號161718192021222324252627282930患者號837747603375469664137468397

44、72HLAMM000000110010000等待天數(shù)112105961151041061161199095115926899102腎資源號313233343536373839404142434445患者號821890353229439522695323314885HLAMM000000000000000等待天數(shù)12577124121931349799421079810187100116腎資源號464748495051525354555657585960患者號1694527933454125715866495088HLAMM000000110000001等待天數(shù)10686561371029083

45、1201511501421298193135腎資源號616263646566676869707172737475患者號59706730408676625919987975711HLAMM100010000011010等待天數(shù)1338214113411812114086138868816093149129腎資源號767778798081828384858687888990患者號89204121448523246536739210028HLAMM001101110112111等待天數(shù)791701611369510683159911219413310793121腎資源號919293949596979

46、899100患者號385615146362199442HLAMM2111222143等待天數(shù)135128104125106131113105101158其中，總的 HLAMM數(shù)為 42，只比問題二中稍大一些，平均情況為 0. 42，總 體水平不算過大。 平均等待天數(shù)為 106 天，考慮到之前已經(jīng)等過很長時間， 這段 時間不算太長。綜上所述，可以認為該分配方案較優(yōu)。總的放棄次數(shù)為 k 1， 說明該方案比較適合患者。綜合評價模型評價指標(biāo)的確定和隸屬化1、評價指標(biāo)的確定在評價整個分配方案時，首先我們要考慮到有效原則， 即總HLAMM越小越好；18其次應(yīng)考慮公平原則， 患者人均等待時間越短越好； 再次

47、我們從每一個患者進行 分析，患者的 HLAMM數(shù)越小越好； 最后我們從整個系統(tǒng)進行分析， 一個好的分配 系統(tǒng)，患者的放棄次數(shù)越少越好。綜上所述，評價問題三中的分配方案，我們應(yīng) 該從以下四個方面來評價：總 HLAMM數(shù)、人均等待時間、個體 HLAMM數(shù)、放棄次 數(shù)。2、對人均等待時間的隸屬化除了人均等待時間這一指標(biāo)外， 我們對其余的三個指標(biāo)均采用模糊隸屬函數(shù) 對其進行了統(tǒng)一處理， 在這里，我們將對人均等待時間這一指標(biāo)進行隸屬化處理。由于公平原則， 患者平均等待時間 d 越短越好。我們定義患者平均等待時間 d 取下列值時我們對方案的滿意度作如下變化：表 7.2 對平均等待時間的滿意度刻畫不滿意度很

48、滿意滿意較滿意不太滿意很不滿意平均等待時間( d )80120160200240為了連續(xù)量化指標(biāo)，這里選取偏大型柯西分布和對數(shù)函數(shù)作為隸屬函數(shù)：f (x)1 (x ) 2 1,1 x 3alnx b, 3 x 5其中， ， ，a，b 為待定常數(shù)當(dāng)很滿意時，隸屬度為 1，即 f (5) 1 ；當(dāng)較滿意時，隸屬度為 0.8，即 f (3) 0.8；當(dāng)很不滿意時，隸屬度為 0，即 f (1) 0求得 1.1086，0.8942， a 0.3915，b 0.3699 。則1 1.1086( x 0.8942) 2 1,1 x 3 f (x) 0.3915ln x 0.3699, 3 x 51, x 5

49、對于給出的滿意度，顯然可以得出：x6d 4040所以平均等待時間的滿意度隸屬函數(shù)如下：1 1.1086(6 (d 40) 40 0.8942) 2 1,160 d 2400.3915ln(6 (d 40) 40) 0.3699,80 d 160 fd1,d 800,d 240綜合評價模型的建立1、權(quán)重系數(shù)在四個評價指標(biāo)中， 有效原則為基本原則中最重要的一個原則， 其重要性最19 大，所以總 HLAMM這一指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)取 0.4 ；另一個基本原則公平原則重 要性稍次，故人均等待時間這一指標(biāo)權(quán)重系數(shù)取 0.35 ；腎資源分配方案的最終 受益人是患者， 所以該指標(biāo)重要性再次， 故個體 HLAMM數(shù)

50、這一指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)取 0.2 ，然而共有 100個患者，所以每個患者在該指標(biāo)中均占 0.01 的權(quán)重；對于整 個分配方案來說，放棄次數(shù)這一指標(biāo)重要性最低，其權(quán)重系數(shù)取 0.05 。2、評價模型的建立經(jīng)過上述分析，可以得到線性加權(quán)評價函數(shù)，即：100f 0.4f (n) 0.35 f (d ) 0.2( 0.01f (mi) 0.05f (k)i1綜上所述，該模糊綜合評價模型的表述如下：100f 0.4f (n) 0.35f (d) 0.2( 0.01f (mi) 0.05f (k)i1其中各指標(biāo)如下確定：1 1.1086(6 n 20 0.8942) 2 1,60 n 1000.3915ln(

51、6 n 20) 0.3699,20 n 60 fn1,n 200,n 1001 1.1086(6 (d 40) 40 0.8942) 2 1,160 d 2400.3915ln(6 (d 40) 40) 0.3699,80 d 160 fd1,d 800,d 240f (mi )1 2.4944(7 mi 0.8413) 2 ,3 mi 60.1787ln(7 mi) 0.6523,0 mi 30.25(6 k 4) 0.25， 4 k 20 f (k)1，k 4n,d,mi,k均可由計算機模擬求出模型的求解在計算機模擬的過程中，我們得到了總 HLAMM數(shù)n ，平均等待時間 d ，每個 患者的

52、 HLAMM數(shù)mi ，和總放棄次數(shù) k，分別為 n 42，d 106，k 1， mi見表7.1?？梢郧蟮酶鱾€隸屬函數(shù)的值，代入評價函數(shù)，可以得到：表 7.3 結(jié)果統(tǒng)計表f (n)f(d)1000.01f (mi )i1f(k)f200.90270.94550.870610.9161從結(jié)果可以看出， 該分配方案比問題二中的方案略差一些， 但考慮到問題三 比問題二多考慮了時間這一因素， 下降也在情理之中， 總的來說， 該方案比較合 理，是較優(yōu)方案之一。八、模型的評價與改進模型的評價（1）問題一建立的 0-1 規(guī)劃模型中考慮到每個患者的 HLAMM不應(yīng)太大、個 體之間按差異理應(yīng)較小，增加了約束條件，

53、考慮的更加全面；（2）問題二的分配方案中提出了“放棄概率” ，這更接近于現(xiàn)實情況；（3）問題二的評價模型中加入了“放棄次數(shù)”這一指標(biāo)，對分配方案的評 價更加合理；（4）利用計算機模擬的方法來解決隨機性規(guī)劃模型，將復(fù)雜問題簡單化。模型的改進（1）模型求出的最優(yōu)方案有許多種，可以探索一種方法來優(yōu)中選優(yōu)，做到 真正的最優(yōu)；（2）由于能力所限，分配方案做得不細，假設(shè)過于理想化，與現(xiàn)實情況還 有很大差距，還可以進一步改進。九、參考文獻1 韓中庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用（第二版），北京：高等教育出版社， 2009 年；2 謝金星，薛毅. 優(yōu)化建模與 LINDO/LINGO軟件. 北京：清華大學(xué)出版社， 20

54、05.十、附錄附錄清單：問題一的程序和結(jié)果問題二、三中生成隨機數(shù)的函數(shù)問題二的計算機模擬程序問題三的計算機模擬程序問題一的程序 MODE: LTitle Kidney Problem; sets :line/1.100/;row/1.100/;link(line,row):HLAMM,x; endsets data:! 把附件 1轉(zhuǎn)換為 book1.xls 后放置于HLAMM = OL(EC:Book1.xls,file);21! 輸出的結(jié)果保存在 c:out_put.xlsC:;OL(Ec:out_put.xls,output)=x;中; enddataOBJ min = sum(link(

55、i,j):x(i,j)*HLAMM(i,j); for(line(i): sum(row(j):x(i,j)=1); for(row(j): sum(line(i):x(i,j)=1); for(link(i,j): bin(x(i,j); for(link(i,j):x(i,j)*HLAMM(i,j)=2); END問題二、三中生成隨機數(shù)的函數(shù) function randnum = getrandbinnum(probability_bin) if rand probability_binrandnum = 1;elserandnum = 0;end問題二的計算機模擬程序clear;load

56、 HLAMM.mat;HLAMM(100,101) = 0; person(100,5) = 0; %count_time(50) = 0; picked(100) = 0; per_no(100) = 0; for i = 1:100 HLAMM(i,101) = i;end for kidney_num = 1:100for mis_match = 0:6 HLAMM_size = size(HLAMM);% 尋找匹配人員 per_no_size = 0;for num = 1:HLAMM_size(1)if HLAMM(num,kidney_num) = mis_match22 per_

57、no_size = per_no_size + 1; per_no(per_no_size) = HLAMM(num,101);endendif per_no_size =0continue;end%per_no,y = find( HLAMM(:,kidney_num)=mis_match );% 被選擇數(shù)加一for per_no_size_count = 1:per_no_sizecount_time(per_no_size_count) person(per_no(per_no_size_count),1);person(per_no(per_no_size_count),1) pers

58、on(per_no(per_no_size_count),1) + 1;end% 選擇被選擇數(shù)最大的 %count_max = max(count_time); condition = 0;temp_count = 0;detime = 0;for count_max = max(count_time):-1:0if find(count_time = count_max)temp = find(count_time=count_max);for temp_size = 1:size(temp)if getrandbinnum(probability(mis_match+1) temp_cou

59、nt = temp_count + 1; condition = 1; break;elsetemp_count = temp_count + 1; count_time_temp = find(count_time count_max);person(temp(temp_count) person(temp(temp_count) - 1;count_time(temp(temp_count) count_time(temp(temp_count) - 1;23 detime = detime +1; endendendif condition = 1 break;endtemp_count

60、 = 0;clear temp; endif condition =0count_max = max(count_time);temp2 = find(count_time=count_max); person_picked = per_no(temp2(1);elseperson_picked = per_no(temp(temp_count); endpicked(kidney_num)=person_picked;temp_del = find(HLAMM(:,101)=person_picked);HLAMM(temp_del(1),:) = ;clear count_time; co